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(相加平均) ≧ (相乗平均) (2変数)

式と証明(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

相加平均と相乗平均の大小関係について扱います.

このページでは基本から最大・最小問題で自由自在に使えるようになるまで扱います.

数学Ⅲ既習者向けかつ得意な人向けですがn変数版もあります.



相加平均と相乗平均の定義と関係式

ポイント

2変数の相加平均と相乗平均

$\boldsymbol{a>0}$,$\boldsymbol{b>0}$ とするとき,$\dfrac{a+b}{2}$ を相加平均,$\sqrt{ab}$ を相乗平均といい

$\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}}$

が成り立つ.

実用上はこれを両辺2倍した

$\displaystyle \boldsymbol{a+b\geqq 2\sqrt{ab}}$

をよく使う.

等号成立は $\displaystyle \boldsymbol{a=b}$ のとき.

証明

$a>0$,$b>0$のとき

 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a+b-2\sqrt{ab}\geqq 0$

$\Longleftrightarrow a+b\geqq 2\sqrt{ab}$

$\Longleftrightarrow \dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$

等号成立は $\displaystyle a=b$ のとき.


この(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うときには,基本的に以下の3ステップを踏みます.

(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うための3ステップ

ポイント

(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うための3ステップ

STEP1: $a>0$,$b>0$ (主役2つが正である)ことを断る.

STEP2: $\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$ または $a+b\geqq 2\sqrt{ab}$ を使用する.

STEP3:等号成立確認を行う(等号成立は $a=b$ のとき)

注意点

特にSTEP3の等号成立確認は最小値を求めるときには必須です(不等式の証明に必要ない場合もありますが,確認をする癖をつけて損はないです).

例えばAKR(当サイト管理人)の身長はおよそ $172$ cmです.朝起きた後や運動直後では多少変動するかもしれませんが

(AKRの身長) $\geqq 100$ cm

という不等式は正しいです.しかし実際に $100$ cmを取れるかは別の話で,等号が成り立つか確認しなければなりません.

例題と練習問題

例題

例題

$x>0$ とする.

(1) $x+\dfrac{16}{x}\geqq8$ を示せ.

(2) $x+\dfrac{4}{x}$ の最小値を求めよ.

(3) $x+\dfrac{16}{x+2}$ の最小値を求めよ.

(4) $\left(x+\dfrac{4}{x}\right)\left(x+\dfrac{9}{x}\right)$ の最小値を求めよ.

(5) $\displaystyle \dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ の最小値を求めよ.


解答

(1) $x>0$,$\dfrac{16}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より

 $\displaystyle x+\dfrac{16}{x}\geqq2\sqrt{x\cdot \dfrac{16}{x}}=8$


(2) $x>0$,$\dfrac{4}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より

 $\displaystyle x+\dfrac{4}{x}\geqq2\sqrt{x\cdot \dfrac{4}{x}}=4$

等号成立は $\displaystyle x=\dfrac{4}{x} \Longleftrightarrow x=2$ のとき. ←確認必須

このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{4}$


(3) $x+2>0$,$\dfrac{16}{x+2}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より

 $\displaystyle x+\dfrac{16}{x+2}$

$\displaystyle =(x+2)+\dfrac{16}{x+2}-2$

$\displaystyle \geqq2\sqrt{(x+2)\cdot \dfrac{16}{x+2}}-2=6$

等号成立は $\displaystyle x+2=\dfrac{16}{x+2} \Longleftrightarrow x=2$ のとき. ←確認必須

このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{6}$


(4) $\left(x+\dfrac{4}{x}\right)\left(x+\dfrac{9}{x}\right)=x^{2}+\dfrac{36}{x^2}+13$

$x^{2}>0$,$\dfrac{36}{x^2}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より

 $\displaystyle \left(x+\dfrac{4}{x}\right)\left(x+\dfrac{9}{x}\right)$

$\displaystyle \geqq2\sqrt{x^{2} \cdot \dfrac{36}{x^{2}}}+13=25$

等号成立は $\displaystyle x^{2}=\dfrac{36}{x^{2}} \Longleftrightarrow x=\sqrt{6}$ のとき. ←確認必須

このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{25}$


※以下は誤答です.

$x>0$,$\dfrac{4}{x}>0$,$\dfrac{9}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より

 $\displaystyle \left(x+\dfrac{4}{x}\right)\left(x+\dfrac{9}{x}\right)$

$\displaystyle \geqq2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}\cdot2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}}=24$

このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{24}$

これは誤りです!左の等号は $x=2$ のとき,右の等号は $x=3$ のときなので,最小値 $24$ をとる $x$ が存在しません.だから等号成立確認が重要なのです.


(5) $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$

$=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+18}{\sqrt{3x^{2}+8}}$

$=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+8+10}{\sqrt{3x^{2}+8}}$

$=\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3x^{2}+8}+\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}\right)$

$\sqrt{3x^{2}+8}>0$,$\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より

 $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$

$\displaystyle \geqq\dfrac{1}{3}\cdot2\sqrt{\sqrt{3x^{2}+8} \cdot \dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{10}$

等号成立は $\displaystyle \sqrt{3x^{2}+8}=\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ のとき. ←確認必須

このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{10}}$

練習問題

練習

$x>0$,$y>0$ とする.

(1) $x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{2}$ を示せ.

(2) $2x+\dfrac{1}{x}$ の最小値を求めよ.

(3) $3x+\dfrac{15}{x+2}$ の最小値を求めよ.

(4) $\left(5x+2y\right)\left(\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{y}\right)$ の最小値を求めよ.

(5) $\displaystyle \dfrac{x}{2x^{2}+3x+2}$ の最大値を求めよ.

(6) $\displaystyle \dfrac{4\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}+4}$ の最大値を求めよ.

解答

(1) $x>0$,$\dfrac{2}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より

$\displaystyle x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{x\cdot \dfrac{2}{x}}=2\sqrt{2}$


(2) $2x>0$,$\dfrac{1}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より

$\displaystyle 2x+\dfrac{1}{x}\geqq2\sqrt{2x\cdot \dfrac{1}{x}}=2\sqrt{2}$

等号成立は $\displaystyle 2x=\dfrac{1}{x} \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき.

このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{2\sqrt{2}}$


(3) $3x+6>0$,$\dfrac{15}{x+2}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より

 $\displaystyle 3x+\dfrac{15}{x+2}$

$\displaystyle =(3x+6)+\dfrac{15}{x+2}-6$

$\displaystyle \geqq2\sqrt{(3x+6)\cdot \dfrac{15}{x+2}}-6=6\sqrt{5}-6$

等号成立は $\displaystyle 3x+6=\dfrac{15}{x+2} \Longleftrightarrow x=\sqrt{5}-2$ のとき.

このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{6\sqrt{5}-6}$


(4) $\left(5x+2y\right)\left(\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{y}\right)$

$=25+\dfrac{10x}{y}+\dfrac{10y}{x}+4$

$=\dfrac{10x}{y}+\dfrac{10y}{x}+29$

$\dfrac{10x}{y}>0$,$\dfrac{10y}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より

 $\left(5x+2y\right)\left(\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{y}\right)$

$\displaystyle \geqq 2\sqrt{\dfrac{10x}{y} \cdot \dfrac{10y}{x}}+29=49$

等号成立は $\displaystyle \dfrac{10x}{y}=\dfrac{10y}{x} \Longleftrightarrow x=y$ のとき.

このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{49}$


(5) $\displaystyle \dfrac{x}{2x^{2}+3x+2}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2x+\dfrac{2}{x}+3}$

$2x>0$,$\dfrac{2}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より

 $\displaystyle \dfrac{x}{2x^{2}+3x+2}$

$\displaystyle \leqq \dfrac{1}{2\sqrt{2x \cdot \dfrac{2}{x}}+3}=\dfrac{1}{7}$

等号成立は $\displaystyle 2x=\dfrac{2}{x} \Longleftrightarrow x=1$ のとき.

このとき最大値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{1}{7}}$


(6) $\displaystyle \dfrac{4\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}+4}$

$\displaystyle =4\dfrac{1}{\dfrac{x^{2}+4}{\sqrt{x^{2}+1}}}$

$\displaystyle =4\dfrac{1}{\dfrac{x^{2}+1+3}{\sqrt{x^{2}+1}}}$

$\displaystyle =4\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+1}}}$

$\sqrt{x^{2}+1}>0$,$\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+1}}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より

 $\displaystyle \dfrac{4\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}+4}$

$\displaystyle \leqq 4\dfrac{1}{2\sqrt{\sqrt{x^{2}+1} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+1}}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$

等号成立は $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}=\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+1}} \Longleftrightarrow x=\sqrt{2}$ のとき.

このとき最大値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{3}}$