(相加平均) ≧ (相乗平均) (2変数)
式と証明(教科書範囲) ★★★
相加平均と相乗平均の大小関係について扱います．
このページでは基本から最大・最小問題で自由自在に使えるようになるまで扱います．
数学Ⅲ既習者向けかつ得意な人向けですがn変数版もあります．
相加平均と相乗平均の定義と関係式
ポイント
2変数の相加平均と相乗平均
$\boldsymbol{a>0}$，$\boldsymbol{b>0}$ とするとき，$\dfrac{a+b}{2}$ を相加平均，$\sqrt{ab}$ を相乗平均といい
$\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}}$
が成り立つ．
実用上はこれを両辺2倍した
$\displaystyle \boldsymbol{a+b\geqq 2\sqrt{ab}}$
をよく使う．
等号成立は $\displaystyle \boldsymbol{a=b}$ のとき．
証明
$a>0$，$b>0$のとき
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a+b-2\sqrt{ab}\geqq 0$
$\Longleftrightarrow a+b\geqq 2\sqrt{ab}$
$\Longleftrightarrow \dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$
等号成立は $\displaystyle a=b$ のとき．
この(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うときには，基本的に以下の3ステップを踏みます．
(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うための3ステップ
ポイント
(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うための3ステップ
STEP1： $a>0$，$b>0$ (主役2つが正である)ことを断る．
STEP2： $\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$ または $a+b\geqq 2\sqrt{ab}$ を使用する．
STEP3：等号成立確認を行う(等号成立は $a=b$ のとき)
注意点
特にSTEP3の等号成立確認は最小値を求めるときには必須です(不等式の証明に必要ない場合もありますが，確認をする癖をつけて損はないです)．
例えば当サイト管理人(Akira)の身長はおよそ $172$ cmです．朝起きた後や運動直後では多少変動するかもしれませんが
(Akiraの身長) $\geqq 100$ cm
という不等式は正しいです．しかし実際に $100$ cmを取れるかは別の話で，等号が成り立つか確認しなければなりません．
例題と練習問題
例題
例題
$x>0$ とする．
(1) $x+\dfrac{16}{x}\geqq8$ を示せ．
(2) $x+\dfrac{4}{x}$ の最小値を求めよ．
(3) $x+\dfrac{16}{x+2}$ の最小値を求めよ．
(4) $\left(x+\dfrac{4}{x}\right)\left(x+\dfrac{9}{x}\right)$ の最小値を求めよ．
(5) $\displaystyle \dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ の最小値を求めよ．
解答
(1) $x>0$，$\dfrac{16}{x}>0$，(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より
$\displaystyle x+\dfrac{16}{x}\geqq2\sqrt{x\cdot \dfrac{16}{x}}=8$
(2) $x>0$，$\dfrac{4}{x}>0$，(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より
$\displaystyle x+\dfrac{4}{x}\geqq2\sqrt{x\cdot \dfrac{4}{x}}=4$
等号成立は $\displaystyle x=\dfrac{4}{x} \Longleftrightarrow x=2$ のとき． ←確認必須
このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{4}$
(3) $x+2>0$，$\dfrac{16}{x+2}>0$，(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より
$\displaystyle x+\dfrac{16}{x+2}$
$\displaystyle =(x+2)+\dfrac{16}{x+2}-2$
$\displaystyle \geqq2\sqrt{(x+2)\cdot \dfrac{16}{x+2}}-2=6$
等号成立は $\displaystyle x+2=\dfrac{16}{x+2} \Longleftrightarrow x=2$ のとき． ←確認必須
このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{6}$
(4) $\left(x+\dfrac{4}{x}\right)\left(x+\dfrac{9}{x}\right)=x^{2}+\dfrac{36}{x^2}+13$
$x^{2}>0$，$\dfrac{36}{x^2}>0$，(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より
$\displaystyle \left(x+\dfrac{4}{x}\right)\left(x+\dfrac{9}{x}\right)$
$\displaystyle \geqq2\sqrt{x^{2} \cdot \dfrac{36}{x^{2}}}+13=25$
等号成立は $\displaystyle x^{2}=\dfrac{36}{x^{2}} \Longleftrightarrow x=\sqrt{6}$ のとき． ←確認必須
このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{25}$
※以下は誤答です．
$x>0$，$\dfrac{4}{x}>0$，$\dfrac{9}{x}>0$，(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より
$\displaystyle \left(x+\dfrac{4}{x}\right)\left(x+\dfrac{9}{x}\right)$
$\displaystyle \geqq2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}\cdot2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}}=24$
このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{24}$
これは誤りです！左の等号は $x=2$ のとき，右の等号は $x=3$ のときなので，最小値 $24$ をとる $x$ が存在しません．だから等号成立確認が重要なのです．
(5) $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$
$=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+18}{\sqrt{3x^{2}+8}}$
$=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+8+10}{\sqrt{3x^{2}+8}}$
$=\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3x^{2}+8}+\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}\right)$
$\sqrt{3x^{2}+8}>0$，$\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}>0$，(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より
$\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$
$\displaystyle \geqq\dfrac{1}{3}\cdot2\sqrt{\sqrt{3x^{2}+8} \cdot \dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{10}$
等号成立は $\displaystyle \sqrt{3x^{2}+8}=\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ のとき． ←確認必須
このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{10}}$
練習問題
練習
$x>0$，$y>0$ とする．
(1) $x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{2}$ を示せ．
(2) $2x+\dfrac{1}{x}$ の最小値を求めよ．
(3) $3x+\dfrac{15}{x+2}$ の最小値を求めよ．
(4) $\left(5x+2y\right)\left(\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{y}\right)$ の最小値を求めよ．
(5) $\displaystyle \dfrac{x}{2x^{2}+3x+2}$ の最大値を求めよ．
(6) $\displaystyle \dfrac{4\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}+4}$ の最大値を求めよ．
解答
(1) $x>0$，$\dfrac{2}{x}>0$，(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より
$\displaystyle x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{x\cdot \dfrac{2}{x}}=2\sqrt{2}$
(2) $2x>0$，$\dfrac{1}{x}>0$，(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より
$\displaystyle 2x+\dfrac{1}{x}\geqq2\sqrt{2x\cdot \dfrac{1}{x}}=2\sqrt{2}$
等号成立は $\displaystyle 2x=\dfrac{1}{x} \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき．
このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{2\sqrt{2}}$
(3) $3x+6>0$，$\dfrac{15}{x+2}>0$，(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より
$\displaystyle 3x+\dfrac{15}{x+2}$
$\displaystyle =(3x+6)+\dfrac{15}{x+2}-6$
$\displaystyle \geqq2\sqrt{(3x+6)\cdot \dfrac{15}{x+2}}-6=6\sqrt{5}-6$
等号成立は $\displaystyle 3x+6=\dfrac{15}{x+2} \Longleftrightarrow x=\sqrt{5}-2$ のとき．
このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{6\sqrt{5}-6}$
(4) $\left(5x+2y\right)\left(\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{y}\right)$
$=25+\dfrac{10x}{y}+\dfrac{10y}{x}+4$
$=\dfrac{10x}{y}+\dfrac{10y}{x}+29$
$\dfrac{10x}{y}>0$，$\dfrac{10y}{x}>0$，(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より
$\left(5x+2y\right)\left(\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{y}\right)$
$\displaystyle \geqq 2\sqrt{\dfrac{10x}{y} \cdot \dfrac{10y}{x}}+29=49$
等号成立は $\displaystyle \dfrac{10x}{y}=\dfrac{10y}{x} \Longleftrightarrow x=y$ のとき．
このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{49}$
(5) $\displaystyle \dfrac{x}{2x^{2}+3x+2}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2x+\dfrac{2}{x}+3}$
$2x>0$，$\dfrac{2}{x}>0$，(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より
$\displaystyle \dfrac{x}{2x^{2}+3x+2}$
$\displaystyle \leqq \dfrac{1}{2\sqrt{2x \cdot \dfrac{2}{x}}+3}=\dfrac{1}{7}$
等号成立は $\displaystyle 2x=\dfrac{2}{x} \Longleftrightarrow x=1$ のとき．
このとき最大値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{1}{7}}$
(6) $\displaystyle \dfrac{4\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}+4}$
$\displaystyle =4\dfrac{1}{\dfrac{x^{2}+4}{\sqrt{x^{2}+1}}}$
$\displaystyle =4\dfrac{1}{\dfrac{x^{2}+1+3}{\sqrt{x^{2}+1}}}$
$\displaystyle =4\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+1}}}$
$\sqrt{x^{2}+1}>0$，$\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+1}}>0$，(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より
$\displaystyle \dfrac{4\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}+4}$
$\displaystyle \leqq 4\dfrac{1}{2\sqrt{\sqrt{x^{2}+1} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+1}}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$
等号成立は $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}=\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+1}} \Longleftrightarrow x=\sqrt{2}$ のとき．
このとき最大値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{3}}$