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三角不等式(三角比,三角関数)

三角比,三角関数(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

数学Ⅰ,数学Ⅱ共通ページです.

このページでは $\sin \theta>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ などの,三角比,三角関数を含む不等式である三角不等式(trigonometric inequalities)の問題を扱います.

数学Ⅰの三角比を勉強中の人は,2章までです.

$|a+b|\leqq |a|+|b|$ の三角不等式(trinangle inequality)のページではありません.



三角不等式とその解き方(数学Ⅰ,数学Ⅱ共通)

ポイント

三角不等式の解き方

一旦,三角方程式を考え,不等式を満たす $\theta$ の範囲を考える.


解く上ではどの範囲の $\theta$ を求めるかに注意します.$x^{2}>4$ $(x>0)$ などのように条件がある場合,$x>2$ に範囲が絞られるのと同じように,三角不等式を解く上では条件( $\boldsymbol{\theta}$ の範囲)に注意です.

数学Ⅰの三角比では $\theta$ を $0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ で制限していることが多く,数学Ⅱの三角関数では,弧度法で $0\leqq \theta < 2\pi$ で制限した問題が多いです.

例題と練習問題(数学Ⅰ三角比)

例題

例題

$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき,次の不等式を解け.

(1) $\sin\theta>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\sqrt{3}\tan\theta+1\geqq0$

(3) $2\sin^{2}\theta-\cos\theta-2\leqq 0$


講義

(1)では $\sin$ は $y$ 座標を表すので,単位円を書いて $y$ 座標が $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より大きくなる $\theta$ の範囲を求めます.

(2)では $\tan$ は傾きを表すので,単位円を書いて,傾きが $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 以上の $\theta$ の範囲を求めます.

(3)では $\cos$ に統一するために,$\color{red}{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1}$ をまず使います.


解答

(1)

三角不等式例題(1)

$\boldsymbol{60^{\circ} < \theta < 120^{\circ}}$


(2)

$\tan\theta \geqq -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

三角不等式例題(2)

$\boldsymbol{0^{\circ} \leqq \theta < 90^{\circ},150^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}}$


(3)

 $2\sin^{2}\theta-\cos\theta-2$

$=2(\color{red}{1-\cos^{2}\theta})-\cos\theta-2 \leqq 0$

$\Longleftrightarrow \ 2\cos^{2}\theta+\cos\theta\geqq 0$

$\Longleftrightarrow \ \cos\theta(2\cos\theta+1)\geqq0$

$\therefore \ \cos\theta\leqq -\dfrac{1}{2}$,$0\leqq \cos\theta$

三角不等式例題(3)

$\therefore \ \boldsymbol{0^{\circ}\leqq \theta \leqq 90^{\circ}}$,$\boldsymbol{120^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}}$

練習問題

練習1

$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき,次の不等式を解け.

(1) $\sin\theta>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\tan^{2}\theta-3\leqq0$

(3) $2\cos^{2}\theta-(2-\sqrt{3})\sin\theta-2+\sqrt{3}< 0$

練習1の解答

(1)

三角不等式練習(1)

$\boldsymbol{45^{\circ}< \theta <135^{\circ}}$


(2)

$\tan^{2}\theta\leqq3$

$\Longleftrightarrow -\sqrt{3}\leqq \tan\theta\leqq\sqrt{3}$

三角不等式練習(2)

$\boldsymbol{0^{\circ}\leqq \theta \leqq 60^{\circ},120^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}}$


(3)

 $2\cos^{2}\theta-(2-\sqrt{3})\sin\theta-2+\sqrt{3}$

$=2(1-\sin^{2}\theta)-(2-\sqrt{3})\sin\theta-2+\sqrt{3}<0$

$\Longleftrightarrow \ 2\sin^{2}\theta+(2-\sqrt{3})\sin\theta-\sqrt{3}>0$

$\Longleftrightarrow \ (2\sin\theta-\sqrt{3})(\sin\theta+1)>0$

$\therefore \ \sin\theta>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $(\because 0\leqq\sin\theta\leqq 1)$

三角不等式練習(3)

$\boldsymbol{60^{\circ} < \theta < 120^{\circ}}$


例題と練習問題(数学Ⅱ三角関数)

例題

例題

$0\leqq \theta < 2\pi$ のとき,次の不等式を解け.

(1) $\sin\theta>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\sqrt{3}\tan\theta+1 \geqq 0$

(3) $2\sin^{2}\theta-\cos\theta-2\leqq 0$

(4) $\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

(5) $\cos2\theta \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$


講義

(3)まで上の数学Ⅰの例題と同じですが,範囲が $0\leqq \theta < 2\pi$ であるのに注意です.

(4)は $X=\theta-\dfrac{\pi}{6}$ と置き換えをして解くとわかりやすいです.

(5)は $2\theta$ の範囲をまず出しますが,範囲が $0\leqq 2\theta < 4\pi$ (2回転分)であるのに注意です.


解答

(1)

三角不等式数学Ⅱ例題(1)

$\boldsymbol{\dfrac{\pi}{3} < \theta < \dfrac{2}{3}\pi}$


(2)

$\tan\theta \geqq -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

三角不等式数学Ⅱ例題(2)

$\boldsymbol{0\leqq \theta <\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5}{6}\pi \leqq \theta <\dfrac{3}{2}\pi,\dfrac{11}{6}\pi \leqq \theta <2\pi}$


(3)

 $2\sin^{2}\theta-\cos\theta-2$

$=2(\color{red}{1-\cos^{2}\theta})-\cos\theta-2 \leqq 0$

$\Longleftrightarrow \ 2\cos^{2}\theta+\cos\theta\geqq 0$

$\Longleftrightarrow \ \cos\theta(2\cos\theta+1)\geqq0$

$\therefore \ \cos\theta\leqq -\dfrac{1}{2}$,$0\leqq \cos\theta$

三角不等式例題(3)

$\boldsymbol{0\leqq \theta \leqq\dfrac{\pi}{2},\dfrac{2}{3}\pi \leqq \theta \leqq\dfrac{4}{3}\pi,\dfrac{3}{2}\pi \leqq \theta <2\pi}$


(4)

$X=\theta-\dfrac{\pi}{6}$ とおくと

$\sin X>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\left(-\dfrac{\pi}{6}\leqq X < \dfrac{11\pi}{6}\right)$

三角不等式数学Ⅱ例題(4)

$\dfrac{\pi}{4} < X < \dfrac{3}{4}\pi$

すべての辺に $\dfrac{\pi}{6}$ を足すと

$\boldsymbol{\dfrac{5}{12}\pi < \theta < \dfrac{11}{12}\pi}$


(5)

$\cos2\theta \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\left(0\leqq 2\theta < 4\pi\right)$

三角不等式数学Ⅱ例題(5)

$\color{blue}{0\leqq 2\theta\leqq \dfrac{\pi}{4}},\color{green}{\dfrac{7}{4}\pi\leqq 2\theta\leqq \dfrac{9}{4}\pi},\color{brown}{\dfrac{15}{4}\pi\leqq 2\theta < 4\pi}$

すべての辺を $2$ で割ると

$\boldsymbol{0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{8},\dfrac{7}{8}\pi\leqq \theta\leqq \dfrac{9}{8}\pi,\dfrac{15}{8}\pi\leqq \theta < 2\pi}$

練習問題

練習2

$0\leqq \theta < 2\pi$ のとき,次の不等式を解け.

(1) $\tan^{2}\theta-3\leqq0$

(2) $2\cos^{2}\theta-(2-\sqrt{3})\sin\theta-2+\sqrt{3}\leqq 0$

(3) $\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

(4) $\sin\left(2\theta-\dfrac{3}{4}\pi\right)<-\dfrac{1}{2}$

練習2の解答

(1)

$\tan^{2}\theta\leqq3$

$\Longleftrightarrow -\sqrt{3}\leqq \tan\theta\leqq\sqrt{3}$

三角不等式数学Ⅱ練習(1)

$\boldsymbol{0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{3},\dfrac{2}{3}\pi\leqq \theta\leqq \dfrac{4}{3}\pi,\dfrac{5}{3}\pi\leqq \theta<2\pi}$


(2)

 $2\cos^{2}\theta-(2-\sqrt{3})\sin\theta-2+\sqrt{3}$

$=2(1-\sin^{2}\theta)-(2-\sqrt{3})\sin\theta-2+\sqrt{3}\leqq0$

$\Longleftrightarrow \ 2\sin^{2}\theta+(2-\sqrt{3})\sin\theta-\sqrt{3}\leqq0$

$\Longleftrightarrow \ (2\sin\theta-\sqrt{3})(\sin\theta+1)\leqq0$

$\therefore \ \sin\theta\geqq \dfrac{\sqrt{3}}{2},\sin\theta=-1$ $(\because -1\leqq\sin\theta\leqq 1)$

三角不等式数学Ⅱ練習(2)

$\boldsymbol{\dfrac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \dfrac{2}{3}\pi,\theta=\dfrac{3}{2}\pi}$


(3)

$X=\theta+\dfrac{\pi}{4}$ とおくと

$\cos X\leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\left(\dfrac{\pi}{4}\leqq X < \dfrac{9}{4}\pi\right)$

三角不等式数学Ⅱ練習(3)

$\dfrac{\pi}{4} \leqq X \leqq \dfrac{11}{6}\pi$,$\dfrac{13}{6}\pi \leqq X < \dfrac{9}{4}\pi$

すべての辺から $\dfrac{\pi}{4}$ を引くと

$\boldsymbol{0 \leqq \theta \leqq \dfrac{19}{12}\pi,\dfrac{23}{12}\pi \leqq \theta < 2\pi}$


(4)

$X=2\theta-\dfrac{3}{4}\pi$ とおくと

$\sin X< -\dfrac{1}{2}$ $\left(-\dfrac{3}{4}\pi\leqq X < \dfrac{13}{4}\pi\right)$

三角不等式数学Ⅱ練習(4)

$\color{blue}{-\dfrac{3}{4}\pi\leqq X < -\dfrac{\pi}{6}}$,$\color{green}{\dfrac{7}{6}\pi < X < \dfrac{11}{6}\pi}$,$\color{brown}{\dfrac{19}{6}\pi < X < \dfrac{13}{4}\pi}$

すべての辺に $\dfrac{3}{4}\pi$ を足すと

$0\leqq 2\theta < \dfrac{7}{12}\pi$,$\dfrac{23}{12}\pi < 2\theta < \dfrac{31}{12}\pi$,$\dfrac{47}{12}\pi < 2\theta < 4\pi$

すべての辺を $2$ で割ると

$\boldsymbol{0 \leqq \theta < \dfrac{7}{24}\pi,\dfrac{23}{24}\pi < \theta < \dfrac{31}{24}\pi,\dfrac{47}{24}\pi < \theta < 2\pi}$