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三角方程式

三角比,三角関数(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

数学Ⅰ,数学Ⅱ共通ページです.

$\sin \theta=\dfrac{1}{2}$ などの三角方程式の問題を扱います.

数学Ⅰの三角比を勉強中の人は,2章までです.



三角方程式とその解き方(数学Ⅰ,数学Ⅱ共通)

ポイント

三角方程式の解き方

・ $\sin\theta=p$ を解くとき

単位円と $y=p$ の交点の角度を求める.

・ $\cos\theta=q$ を解くとき

単位円と $x=p$ の交点の角度を求める.

・ $\tan\theta=r$ を解くとき

単位円と $y=rx$ の交点の角度を求める.


解き方は上記の通りですが,どの範囲の $\theta$ を求めるかに注意します.$x^{2}=4$ $(x>0)$ などのように条件がある場合,$x=2$ のみに解が絞られるのと同じように,三角方程式を解く上では条件( $\boldsymbol{\theta}$ の範囲)に注意です.

数学Ⅰの三角比では $\theta$ を $0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ で制限していることが多く,数学Ⅱの三角関数では,弧度法で $0\leqq \theta < 2\pi$ で制限した問題が多いです.制限なしの一般解を問う問題もあります.

例題と練習問題(数学Ⅰ三角比)

例題

例題

$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき,次の等式を満たす $\theta$ を求めよ.

(1) $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\sqrt{3}\tan\theta+1=0$

(3) $\sin^{2}\theta+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\cos\theta+1=0$


講義

(1)では $\sin$ は $y$ 座標を表すので,単位円を書いて $y$ 座標が $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である角度を求めます.

(2)では $\tan$ は傾きを表すので,単位円を書いて $y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$ との交点で考えます.

(3)では $\cos$ に統一するために,$\color{red}{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1}$ をまず使います.


解答

(1)

三角方程式例題(1)

$\boldsymbol{\theta=60^{\circ},120^{\circ}}$


(2)

$\tan\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ より原点を通る傾きが $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ の直線を引いて考える.

三角方程式例題(2)

$\boldsymbol{\theta=150^{\circ}}$


(3)

 $\sin^{2}\theta+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\cos\theta+1$

$=\color{red}{1-\cos^{2}\theta}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\cos\theta+1=0$

$\Longleftrightarrow \ 2\cos^{2}\theta-3\sqrt{2}\cos\theta-4=0$

$\Longleftrightarrow \ (2\cos\theta+\sqrt{2})(\cos\theta-2\sqrt{2})=0$

$\therefore \ \cos\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $(\because -1\leqq\cos\theta\leqq 1)$

三角方程式例題(3)

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=135^{\circ}}$

練習問題

練習1

$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき,次の等式を満たす $\theta$ を求めよ.

(1) $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\tan^{2}\theta+\sqrt{3}\tan\theta=0$

(3) $\sqrt{2}\cos^{2}\theta+(1+\sqrt{2})\sin\theta-1-\sqrt{2}=0$

練習1の解答

(1)

三角方程式練習(1)

$\boldsymbol{\theta=45^{\circ},135^{\circ}}$

これ以降では練習問題では単位円を割愛します.答案に単位円を書く必要はありませんので.


(2)

$\tan\theta(\tan\theta+\sqrt{3})=0$

$\tan\theta=0,-\sqrt{3}$

$\boldsymbol{\theta=0^{\circ},120^{\circ},180^{\circ}}$


(3)

 $\sqrt{2}\cos^{2}\theta+(1+\sqrt{2})\sin\theta-1-\sqrt{2}$

$=\sqrt{2}(1-\sin^{2}\theta)+(1+\sqrt{2})\sin\theta-1-\sqrt{2}$

$=-\sqrt{2}\sin^{2}\theta+(1+\sqrt{2})\sin\theta-1=0$

$\Longleftrightarrow \ \sqrt{2}\sin^{2}\theta-(1+\sqrt{2})\sin\theta+1=0$

$\Longleftrightarrow \ (\sqrt{2}\sin\theta-1)(\sin\theta-1)=0$

$\Longleftrightarrow \ \sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}},1$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=45^{\circ},90^{\circ},135^{\circ}}$


例題と練習問題(数学Ⅱ三角関数)

例題

例題

$0\leqq \theta < 2\pi$ のとき,次の等式を満たす $\theta$ を求めよ.また,その一般解も求めよ.

(1) $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\sqrt{3}\tan\theta+1=0$

(3) $\sin^{2}\theta+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\cos\theta+1=0$

(4) $\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

(5) $\cos2\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$


講義

(3)まで上の数学Ⅰの例題と同じですが,範囲が $0\leqq \theta < 2\pi$ であるのに注意です.

(4)は $X=\theta-\dfrac{\pi}{6}$ と置き換えをして解くとわかりやすいです.

(5)は $2\theta$ の解をまず出しますが,範囲が $0\leqq 2\theta < 4\pi$ (2回転分)であるのに注意です.

一般解は,どれも周期に注目して答えます.


解答

(1)

三角方程式数学Ⅱ例題(1)

$\boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2}{3}\pi}$

また,一般解は $\sin\theta$ の周期は $2\pi$ なので

$\boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\dfrac{2}{3}\pi+2k\pi}$ ( $\boldsymbol{k}$ は整数 )


(2)

$\tan\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ より原点を通る傾きが $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ の直線を引いて考える.

三角方程式数学Ⅱ例題(2)

$\boldsymbol{\theta=\dfrac{5}{6}\pi,\dfrac{11}{6}\pi}$

また,一般解は $\tan\theta$ の周期は $\pi$ なので

$\boldsymbol{\theta=\dfrac{5}{6}\pi+k\pi}$ ( $\boldsymbol{k}$ は整数 )


(3)

 $\sin^{2}\theta+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\cos\theta+1$

$=\color{red}{1-\cos^{2}\theta}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\cos\theta+1=0$

$\Longleftrightarrow \ 2\cos^{2}\theta-3\sqrt{2}\cos\theta-4=0$

$\Longleftrightarrow \ (2\cos\theta+\sqrt{2})(\cos\theta-2\sqrt{2})=0$

$\therefore \ \cos\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $(\because -1\leqq\cos\theta\leqq 1)$

三角方程式数学Ⅱ例題(3)

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=\dfrac{3}{4}\pi,\dfrac{5}{4}\pi}$

また,一般解は $\cos\theta$ の周期は $2\pi$ なので

$\boldsymbol{\theta=\dfrac{3}{4}\pi+2k\pi,\dfrac{5}{4}\pi+2k\pi}$ ( $\boldsymbol{k}$ は整数 )


(4)

$X=\theta-\dfrac{\pi}{6}$ とおくと

$\sin X=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\left(-\dfrac{\pi}{6}\leqq X < \dfrac{11\pi}{6}\right)$

三角方程式数学Ⅱ例題(4)

$X=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3}{4}\pi$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=\dfrac{5\pi}{12},\dfrac{11}{12}\pi}$

また,一般解は $\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)$ の周期は $2\pi$ なので

$\boldsymbol{\theta=\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi,\dfrac{11}{12}\pi+2k\pi}$ ( $\boldsymbol{k}$ は整数 )


(5)

$\cos2\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\left(0\leqq 2\theta < 4\pi\right)$

三角方程式数学Ⅱ例題(5)

$2\theta=\color{blue}{\dfrac{\pi}{4},\dfrac{7}{4}\pi},\color{green}{\dfrac{9}{4}\pi,\dfrac{15}{4}\pi}$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{8},\dfrac{7}{8}\pi,\dfrac{9}{8}\pi,\dfrac{15}{8}\pi}$

また,一般解は $\cos2\theta$ の周期は $\pi$ なので

$\boldsymbol{\theta=\dfrac{1}{8}\pi+k\pi,\dfrac{7}{8}\pi+k\pi}$ ( $\boldsymbol{k}$ は整数 )

練習問題

練習2

$0\leqq \theta < 2\pi$ のとき,次の等式を満たす $\theta$ を求めよ.

(1) $2\sin^{2}\theta+\sqrt{3}\cos\theta-2=0$

(2) $\cos\left(\theta+\dfrac{5}{6}\pi\right)=-\dfrac{1}{2}$

(3) $\tan2\theta=\sqrt{3}$

(4) $\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}$

練習2の解答

(1)

 $2\sin^{2}\theta+\sqrt{3}\cos\theta-2$

$=2(1-\cos^{2}\theta)+\sqrt{3}\cos\theta-2$

$=-2\cos^{2}\theta+\sqrt{3}\cos\theta=0$

$\Longleftrightarrow \ \cos\theta(2\cos\theta-\sqrt{3})=0$

$\Longleftrightarrow \ \cos\theta=0,\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3}{2}\pi,\dfrac{11}{6}\pi}$


(2)

$X=\theta+\dfrac{5}{6}\pi$ とおくと

$\cos X=-\dfrac{1}{2}$ $\left(\dfrac{5}{6}\pi\leqq X < \dfrac{17}{6}\pi\right)$

$X=\dfrac{4}{3}\pi,\dfrac{8}{3}\pi$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{11}{6}\pi}$


(3)

$\tan2\theta=\sqrt{3}$ $\left(0\leqq 2\theta < 4\pi\right)$

$2\theta=\dfrac{\pi}{3},\dfrac{4}{3}\pi,\dfrac{7}{3}\pi,\dfrac{10}{3}\pi$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2}{3}\pi,\dfrac{7}{6}\pi,\dfrac{5}{3}\pi}$


(4)

$X=2\theta+\dfrac{\pi}{4}$ とおくと

$\sin X=\dfrac{1}{2}$ $\left(\dfrac{\pi}{4}\leqq X < \dfrac{17}{4}\pi\right)$

$X=\dfrac{5}{6}\pi,\dfrac{13}{6}\pi,\dfrac{17}{6}\pi,\dfrac{25}{6}\pi$

$2\theta=\dfrac{7}{12}\pi,\dfrac{23}{12}\pi,\dfrac{31}{12}\pi,\dfrac{47}{12}\pi$

$\therefore \ \boldsymbol{\theta=\dfrac{7}{24}\pi,\dfrac{23}{24}\pi,\dfrac{31}{24}\pi,\dfrac{47}{24}\pi}$