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4つの頂点の座標が与えられた四面体の体積の求め方

タイプ:入試の標準 レベル:★★★★ 


アイキャッチ

任意の4つの頂点の座標が与えられた四面体の体積の求め方について解説します.

今までのあらゆる知識を動員して解くので演習効果が高く,個人的には,ベクトルを学ぶ目的の一つにこれを掲げてもいいのではと思っています.





4つの頂点の座標が与えられた四面体の体積の求め方まとめ

以下の3つの方法があります.



ポイント

4つの頂点 ${\rm ABCD}$ の座標が与えられた四面体の体積の求め方

四面体ABCD

(Ⅰ) 教科書範囲で解く標準的な方法

点 ${\rm D}$ から平面 ${\rm ABC}$ に垂線の足 ${\rm H}$ を下ろし,$\overrightarrow{\mathstrut \rm AH}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}$ などと設定(共面条件)

$\overrightarrow{\mathstrut \rm DH}$ を出す

$\begin{cases}\overrightarrow{\mathstrut \rm DH}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=0 \\ \overrightarrow{\mathstrut \rm DH}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=0\end{cases}$ から $s$ と $t$ を出す

$|\overrightarrow{\mathstrut \rm DH}|$ を出す

$V={\triangle \rm ABC} \times |\overrightarrow{\mathstrut \rm DH}| \times \dfrac{1}{3}$


(Ⅱ) 平面の方程式を使い,垂線の足Hを出す方法

平面 ${\rm ABC}$ の方程式を出す

点 ${\rm D}$ から平面 ${\rm ABC}$ に垂線の足Hを下ろす.平面 ${\rm ABC}$ の方程式の法線ベクトルを使って,直線 ${\rm DH}$ を出す

直線 ${\rm DH}$ と平面 ${\rm ABC}$ を連立して,${\rm H}$ の座標を出す

${\rm DH}$ の長さを出す

$V={\triangle \rm ABC} \times {\rm DH} \times \dfrac{1}{3}$


(Ⅲ) 平面の方程式と点と平面の距離を使い素早く出す方法

平面 ${\rm ABC}$ の方程式を出す

点と平面の距離で ${\rm DH}$ の長さを出す.

$V={\triangle \rm ABC} \times |\overrightarrow{\mathstrut \rm DH}| \times \dfrac{1}{3}$



どれを使うか

まずは(Ⅰ)の方法を習得してから,(Ⅱ),(Ⅲ)の解答方法を理解するのが重要です.

(Ⅱ),(Ⅲ)はかつて教科書範囲内だった解き方ですが,現在高校の定期試験や入試でこの解き方で解答した場合,どのような措置がなされるか不明で,(Ⅰ)で解くのが記述の答案としては無難であると言わざるを得ません.

どちらにせよ,${\rm H}$ の座標が問われていない場合は(Ⅲ)が圧倒的に早くてオススメです.

どの場合も,三角形の面積はこちらで出します.




例題と練習問題

例題

例題

${\rm A}(1,1,2)$,${\rm B}(3,0,2)$,${\rm C}(-1,1,1)$,${\rm D}(4,2,3)$ を4つの頂点とする,四面体の体積 $V$ を求めよ.


講義

上の(Ⅰ)〜(Ⅲ)のすべての方法での解答を省略せず載せました.是非比較してください.

四面体ABCD

(Ⅰ)での解答

点 ${\rm D}$ から平面 ${\rm ABC}$ に垂線の足 ${\rm H}$ を下ろし,$\overrightarrow{\mathstrut \rm AH}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}$ とすると

$\overrightarrow{\mathstrut \rm AH}= s\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2s-2t \\ -s \\ -t \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathstrut \rm DH}=\overrightarrow{\mathstrut \rm AH}-\overrightarrow{\mathstrut \rm AD}= \overrightarrow{\mathstrut \rm AH}-\begin{pmatrix}3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2s-2t-3 \\ -s-1 \\ -t-1 \end{pmatrix}$


続いて,$\overrightarrow{\mathstrut \rm DH}$ と $\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}$,$\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}$ がそれぞれ垂直なので

$\begin{cases}\overrightarrow{\mathstrut \rm DH}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=5s-4t-5=0 \\ \overrightarrow{\mathstrut \rm DH}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AC}=-4s+5t+7=0\end{cases}$

$\therefore \ s=-\dfrac{1}{3}$,$t=-\dfrac{5}{3}$

$\therefore \ \overrightarrow{\mathstrut \rm DH}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}$


つまり高さは

$|\overrightarrow{\mathstrut \rm DH}|=\sqrt{\dfrac{1+4+4}{9}}=1$


底面積は

${\triangle \rm ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}|^{2}-\left(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AC}\right)^{2}}$

 $=\dfrac{1}{2}\sqrt{5\cdot 5-(-4)^{2}}$

 $=\dfrac{3}{2}$


よって $V=\dfrac{3}{2}\cdot 1 \cdot \dfrac{1}{3}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$

※ ちなみに,$s$ と $t$ が負なので,${\rm H}$ は$\triangle{\rm ABC}$ の内部には存在しないですね.



(Ⅱ)での解答

$z=ax+by+c$ に ${\rm A,B,C}$ の3点代入すると

$\begin{cases}2=a+b+c \\ 2=3a+c \\ 1=-a+b+c \end{cases}$

解くと $a=\dfrac{1}{2},b=1,c=\dfrac{1}{2}$

平面 ${\rm ABC}$ $: \ z=\dfrac{1}{2}x+y+\dfrac{1}{2}$

$\Longleftrightarrow x+2y-2z+1=0$

この法線ベクトルが直線 ${\rm DH}$ の方向ベクトルになるので,$t$ を実数として

直線 ${\rm DH}$ $:\begin{cases}x=4+t \\ y=2+2t \\ z=3-2t \end{cases}$

と表せる.これと平面 ${\rm ABC}$ を連立すると

$4+t+2(2+2t)-2(3-2t)+1=0$

$\therefore t=-\dfrac{1}{3}$

$\therefore {\rm H}\left(4-\dfrac{1}{3},2-\dfrac{2}{3},3+\dfrac{2}{3}\right)$

$\therefore \ \overrightarrow{\mathstrut \rm DH}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}$


つまり高さは

$|\overrightarrow{\mathstrut \rm DH}|=\sqrt{\dfrac{1+4+4}{9}}=1$


底面積は

$\triangle {\rm ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}|^{2}-\left(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AC}\right)^{2}}$

 $=\dfrac{1}{2}\sqrt{5\cdot 5-(-4)^{2}}$

 $=\dfrac{3}{2}$


よって $V=\dfrac{3}{2}\cdot 1 \cdot \dfrac{1}{3}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$



(Ⅲ)での解答

$z=ax+by+c$ に ${\rm A,B,C}$ の3点代入すると

$\begin{cases}2=a+b+c \\ 2=3a+c \\ 1=-a+b+c \end{cases}$

解くと $a=\dfrac{1}{2},b=1,c=\dfrac{1}{2}$

平面 ${\rm ABC}$ $: \ z=\dfrac{1}{2}x+y+\dfrac{1}{2}$

$\Longleftrightarrow x+2y-2z+1=0$

この平面と ${\rm D}$ との距離は

 $L=\dfrac{|4+2\cdot 2-2\cdot 3+1|}{\sqrt{1+4+4}}=1$


底面積は

$\triangle {\rm ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut \rm AC}|^{2}-\left(\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AC}\right)^{2}}$

 $=\dfrac{1}{2}\sqrt{5\cdot 5-(-4)^{2}}$

 $=\dfrac{3}{2}$


よって $V=\dfrac{3}{2}\cdot 1 \cdot \dfrac{1}{3}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$



練習問題

練習

${\rm A}(1,1,1)$,${\rm B}(2,3,0)$,${\rm C}(3,1,2)$,${\rm D}(4,5,4)$ を4つの頂点とする,四面体の体積 $V$ を求めよ.

練習の解答



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