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対数方程式・不等式

指数・対数(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

対数を用いた方程式・不等式について基本から応用まで扱っていきます.

解くために少し注意点があるのでそれについてまとめます.



対数方程式・不等式の解き方

ポイント

対数方程式・不等式の解き方

STEP1:真数条件(真数が正)を確認する.

※ 底が $x$ になっている場合は底の条件 $x>0,x\neq 1$ もチェック.

STEP2:両辺底を揃えた対数にする.

$\log_{a}□=\log_{a}○$

$\Longleftrightarrow \ □=○$

として解く.

※ 不等式の場合は不等号の向きの変化に注意(後述).

STEP3:STEP1の範囲内で答えを出す.


真数条件を忘れずに最初にチェックするのがオススメです.

対数不等式の場合の注意

上のSTEP2で例えば

$\log_{2}x<\log_{2}4$

$\Longleftrightarrow \ x<4$

のように底が $1$ より大きければ対数を外しても向きの変化がありませんが

$\log_{0.5}x<\log_{0.5}4$

$\Longleftrightarrow \ x\color{red}{>}4$

のように対数の底が $1$ より小さいと向きの変化が起こります.これは $y=\log_{a}x$ $(0<a<1)$ が単調減少なグラフから生じます.

例題と練習問題

例題

例題

次の方程式・不等式を解け.

(1) $\log_{2}x+\log_{2}(x-15)=4$

(2) $2(\log_{2}x)^{2}+3\log_{2}x-2=0$

(3) $\log_{3}x<\dfrac{1}{2}$

(4) $\log_{\frac{1}{2}}x<2$

(5) $\log_{5}(x-3)+\log_{5}(x+1)\leqq 1$


講義

例題では比較的基本的なものを扱います.例題のみ答案がどのステップにあるのかわかるように可視化することにします(当然実際の答案でSTEP名は不要です).


解答

(1)

STEP1

真数が正より $\begin{cases}x>0 \\ x-15>0\end{cases}$ $\therefore \ x>15$ $\cdots$ ①

STEP2

$\log_{2}x(x-15)=\log_{2}16$

$\Longleftrightarrow \ x(x-15)=16$

$\Longleftrightarrow \ x^{2}-15x-16=0$

$\Longleftrightarrow \ x=-1,16$

STEP3

①より $\boldsymbol{x = 16}$


(2)

STEP1

真数が正より $x>0$ $\cdots$ ①

STEP2

$\log_{2}x=t$ とおくと

$2t^{2}+3t-2=0$

解くと

$t=\log_{2}x=-2,\dfrac{1}{2}$

$x=\dfrac{1}{4},\sqrt{2}$

STEP3

①より $\boldsymbol{x=\dfrac{1}{4},\sqrt{2}}$


(3)

STEP1

真数が正より $x>0$ $\cdots$ ①

STEP2

$\log_{3}x<\log_{3}\sqrt{3}$

$\Longleftrightarrow \ x<\sqrt{3}$

STEP3

①より $\boldsymbol{0<x<\sqrt{3}}$


(4)

STEP1

真数が正より $x>0$ $\cdots$ ①

STEP2

$\log_{\frac{1}{2}}x<\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{4}$

$\Longleftrightarrow \ x\color{red}{>}\dfrac{1}{4}$

STEP3

①より $\boldsymbol{x>\dfrac{1}{4}}$

※ STEP2で,底が $1$ より小さいので,$\log$ を外すときに符号が反転することに注意です.


(5)

STEP1

真数が正より $\begin{cases}x-3>0 \\ x+1>0\end{cases}$ $\therefore \ x>3$ $\cdots$ ①

STEP2

$\log_{5}(x-3)(x+1)\leqq\log_{5}5$

$\Longleftrightarrow \ (x-3)(x+1)\leqq 5$

$\Longleftrightarrow \ x^{2}-2x-8\leqq 0$

$\Longleftrightarrow \ -2\leqq x \leqq 4$

STEP3

①より $\boldsymbol{3< x \leqq 4}$

練習問題

練習

次の方程式・不等式を解け.

(1) $2\log_{2}x=\log_{2}(6-x)$

(2) $(\log_{2}x)^{2}-2\log_{2}8x\leqq 2$

(3) $\log_{2}x-6\log_{x}2+1\geqq 0$

(4) $(\log_{2}x+\log_{4}x)\log_{8}x=\log_{8}(2\sqrt{2}x^{4})$

(5) $\left(\log_{\frac{1}{2}}x\right)\log_{x^3}\left(-x^{2}+\dfrac{5}{4}x\right)\geqq \dfrac{2}{3}$

練習の解答

(1)

真数が正より $\begin{cases}x>0 \\ 6-x>0\end{cases}$ $\therefore \ 0<x<6$ $\cdots$ ①

$\log_{2}x^{2}=\log_{2}(6-x)$

$\Longleftrightarrow \ x^{2}=6-x$

解くと

$x=-3,2$

①より $\boldsymbol{x = 2}$


(2)

真数は正より $x>0$ $\cdots$ ①

$(\log_{2}x)^{2}-2\log_{2}8x\leqq 2$

$\Longleftrightarrow \ (\log_{2}x)^{2}-2\log_{2}8-2\log_{2}x\leqq 2$

$\Longleftrightarrow \ (\log_{2}x)^{2}-2\log_{2}x-8\leqq 0$

$\Longleftrightarrow \ \left(\log_{2}x+2\right)(\log_{2}x-4)\leqq0$

$\Longleftrightarrow \ -2\leqq\log_{2}x\leqq4$

$\therefore \ \boldsymbol{\dfrac{1}{4}\leqq x\leqq16}$ (①を満たす)


(3)

$x$ は真数かつ底なので $x>0,x\neq 1$

$\log_{2}x-6\dfrac{\log_{2}2}{\log_{2}x}+1\geqq 0$

(ⅰ) $\log_{2}x >0 \ \Longleftrightarrow \ x>1$ のとき

$(\log_{2}x)^{2}+\log_{2}x-6\geqq 0$

$\Longleftrightarrow \ \left(\log_{2}x+3\right)(\log_{2}x-2)\geqq0$

$\log_{2}x >0$ より $\log_{2}x\geqq2$

$\therefore \ x\geqq4$

(ⅱ) $\log_{2}x <0 \ \Longleftrightarrow \ 0< x<1$ のとき

$(\log_{2}x)^{2}+\log_{2}x-6\leqq 0$

$\Longleftrightarrow \ \left(\log_{2}x+3\right)(\log_{2}x-2)\leqq0$

$\log_{2}x <0$ より $ -3\leqq\log_{2}x <0$

$\therefore \ \dfrac{1}{8}\leqq x<1$

(ⅰ),(ⅱ)より $\boldsymbol{\dfrac{1}{8}\leqq x<1,4\leqq x}$


(4) 出典:2008年福岡大医学部

真数は正より $x>0$

$\left(\log_{2}x+\dfrac{\log_{2}x}{\log_{2}4}\right)\dfrac{\log_{2}x}{\log_{2}8}=\dfrac{\log_{2}(2\sqrt{2}x^{4})}{\log_{2}8}$

$\Longleftrightarrow \ \left(\dfrac{3}{2}\log_{2}x\right)\left(\dfrac{1}{3}\log_{2}x\right)=\dfrac{\frac{3}{2}+4\log_{2}x}{3}$

$\Longleftrightarrow \ \dfrac{1}{2}\left(\log_{2}x\right)^{2}=\dfrac{4}{3}\log_{2}x+\dfrac{1}{2}$

$\Longleftrightarrow \ 3\left(\log_{2}x\right)^{2}-8\log_{2}x-3=0$

$\Longleftrightarrow \ \log_{2}x=-\dfrac{1}{3},3$

$\boldsymbol{x=2^{-\frac{1}{3}},8}$


(5) 出典:2008年福岡大医学部

真数は正より $\begin{cases}x>0 \\ -x^{2}+\dfrac{5}{4}x>0\end{cases}$

さらに $x$ は底より $x>0,x\neq 1$.これらの共通範囲は $0<x<1,1< x <\dfrac{5}{4}$ $\cdots$ ①

$\left(-\log_{2}x\right)\dfrac{\log_{2}\left(-x^{2}+\dfrac{5}{4}x\right)}{\log_{2}x^3}\geqq \dfrac{2}{3}$

$\Longleftrightarrow \ -\dfrac{1}{3}\log_{2}\left(-x^{2}+\dfrac{5}{4}x\right)\geqq \dfrac{2}{3}$

$\Longleftrightarrow \ \log_{2}\left(-x^{2}+\dfrac{5}{4}x\right)\leqq -2=\log_{2}2^{-2}$

$\Longleftrightarrow \ -x^{2}+\dfrac{5}{4}x\leqq \dfrac{1}{4}$

$\Longleftrightarrow \ 4x^{2}-5x+1\geqq0$

$\Longleftrightarrow \ x\leqq \dfrac{1}{4},1\leqq x$

①より $\boldsymbol{0<x\leqq \dfrac{1}{4},1< x<\dfrac{5}{4}}$