無理関数
関数(教科書範囲) ★★
無理関数と関連問題を扱います．
無理関数
高校の検定教科書では，$y=\sqrt{x}$ 等，独立変数 $x$ を含む平方根で表された式を無理式といい，$x$ の無理式で表される関数を無理関数とあります．一般的に，根号の中が一般の関数でも無理関数と言うかは現状わかりませんが，検定教科書と同様，当ページでも下記の形を扱います．
当ページで扱う無理関数
$\boldsymbol{y=k\sqrt{a(x-p)}+q}$ $\boldsymbol{(ka\neq0)}$
無理関数が放物線の半分である理由
無理関数が直角双曲線である理由
上の形を変形すると
$\dfrac{1}{k}(y-q)=\sqrt{a(x-p)}$
両辺 $2$ 乗すると
$\dfrac{1}{k^2}(y-q)^{2}=a(x-p)$
両辺 $a$ で割って整理すると
$x=\dfrac{1}{ak^2}(y-q)^{2}+p$
これより，$x$ は $y$ の $2$ 次関数だとわかります．しかし必要条件として，$a(x-p)\geqq0$ なので，放物線のすべての領域というわけではありません．
上の形は $y=k\sqrt{ax}$ を $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ 平行移動したグラフなので，基本となる $y=k\sqrt{ax}$ のグラフを調べます．
無理関数のグラフ
関数 $y=k\sqrt{ax}$ のグラフは
$k>0$，$a>0$ のとき
$k<0$，$a>0$ のとき
$k>0$，$a<0$ のとき
$k<0$，$a<0$ のとき
例題と練習問題
例題
例題
(1) 関数 $y=\sqrt{x+2}$ のグラフをかけ．
(2) 不等式 $\sqrt{x+2}>x$ を解け．
講義
無理関数は根号の中身が $0$ 以上になるときが定義域 ( $x+2\geqq0 \Longleftrightarrow x\geqq-2$ )となります．
(2)のような不等式の問題では，グラフから判断するのが基本です．$y=\sqrt{x+2}$ と $y=x$ のグラフを比較して解きます．
解答
(1)
(2)
共有点の $x$ 座標は
$\sqrt{x+2}=x$ $(x\geqq-2$ かつ $x\geqq0)$
両辺 $2$ 乗して整理すると
$x^{2}-x-2=0$ $(x\geqq0)$
$\therefore \ x=2$
グラフから判断すると
$\boldsymbol{-2\leqq x<2}$
※ $x^{2}-x-2=0$ のもう1つの解 $x=-1$ は $y=-\sqrt{x+2}$ との交点です．$2$ 乗すると解が広がる点に注意です．
練習問題
練習1
不等式 $-\sqrt{-x+2}<2x+1$ を解け．
練習2
$a$ を定数とする．方程式 $\sqrt{x}=x+a$ の異なる実数解の個数を求めよ．
練習1の解答
$y=-\sqrt{-x+2}$ と $y=2x+1$ の共有点の $x$ 座標は
$-\sqrt{-x+2}=2x+1$ $(x\leqq2$ かつ $2x+1\leqq0)$
両辺 $2$ 乗して整理すると
$4x^{2}+5x-1=0$ $\left(x\leqq -\dfrac{1}{2}\right)$
$\therefore \ x=\dfrac{-5-\sqrt{41}}{8}$
グラフから判断すると
$\boldsymbol{\dfrac{-5-\sqrt{41}}{8}<x\leqq 2}$
練習2の解答
$y=\sqrt{x}$ と $y=x+a$ の共有点の問題と考える．
これらのグラフが接するのは
$\sqrt{x}=x+a$
を両辺 $2$ 乗して
$x=x^{2}+2ax+a^{2}$
$\Longleftrightarrow \ 0=x^{2}+(2a-1)x+a^{2}$
判別式 $D=(2a-1)^{2}-4a^{2}=-4a+1=0$ のときより，$a=\dfrac{1}{4}$
図より
$\boldsymbol{a>\dfrac{1}{4}}$ のとき $\boldsymbol{0}$ 個
$\boldsymbol{a<0，a=\dfrac{1}{4}}$ のとき $\boldsymbol{1}$ 個
$\boldsymbol{0\leqq a <\dfrac{1}{4}}$ のとき $\boldsymbol{2}$ 個
※ 方程式の実数解の個数の練習問題と同一です．