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方程式の実数解の個数

タイプ:教科書範囲 レベル:★★★ 


アイキャッチ

数学Ⅱ,数学Ⅲ共通ページです.

微分を用いた方程式の実数解の個数問題について扱います.

数学Ⅱの微分を勉強中の人は,2章までです.



方程式の実数解の個数(数学Ⅱ,数学Ⅲ共通)

方程式の実数解の個数の求め方

方程式 $f(x)=0$ の実数解の個数の求め方は

Ⅰ $f(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ g(x)=a$ のように,定数 $a$ だけ分離し,$y=g(x)$ と $y=a$ の共有点の問題にする.

Ⅱ $f(x)$ が 極値をもつ $3$ 次関数のときは

(極大値) $\times$ (極小値) $>0$ のとき $1$ 個

(極大値) $\times$ (極小値) $=0$ のとき $2$ 個

(極大値) $\times$ (極小値) $<0$ のとき $3$ 個

となる.$f(x)$ が 極値をもたない $3$ 次関数のときは実数解 $1$ 個もつ.

3次関数のグラフの形状を考えればわかりやすいです.


数学Ⅱでは $3$ 次関数が中心ですので,どれもⅡで解けます.定数分離しやすいときはⅠでよく解きます.

数学Ⅲでは一般の関数が中心ですので,基本的にはⅠで解くことになります.

例題と練習問題(数学Ⅱ)

例題

例題

$a$ を定数とする.次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ.

(1) $x^{3}-3x+1-a=0$

(2) $ax^{3}-3ax^{2}+1-a=0$


講義

(2)は教科書範囲外です.どちらもⅡで解けますが,(1)はⅠの定数分離の方法で解いてみます.


解答

(1)

$x^{3}-3x+1=a$ ←定数分離

として $y=g(x)=x^{3}-3x+1$ と $y=a$ のグラフの共有点を考える.

 $g'(x)$

$=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$

増減表は

$x$ $\cdots$ $-1$ $\cdots$ $1$ $\cdots$
$g'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$g(x)$ ↗︎ $3$ ↘︎ $-1$ ↗︎

例題

図より異なる実数解の個数は

$\boldsymbol{a<-1,3 < a}$ のとき $\boldsymbol{1}$ 個

$\boldsymbol{a=-1,3}$ のとき $\boldsymbol{2}$ 個

$\boldsymbol{-1<a <3}$ のとき $\boldsymbol{3}$ 個


(2)

$a=0$ とすると $1=0$ となるので $a\neq 0$.

$f(x)=ax^{3}-3ax^{2}+1-a$ とすると

 $f'(x)$

$=3ax^{2}-6ax=3ax(x-2)$

 (極大値) $\times$ (極小値)

$=f(0)f(2)$ ← $f(0)$ か $f(2)$ の片方が極大値で片方が極小値

$=(1-a)(1-5a)$

異なる実数解の個数は

$\boldsymbol{a<\dfrac{1}{5},1 < a}$ のとき $\boldsymbol{1}$ 個

$\boldsymbol{a=\dfrac{1}{5},1}$ のとき $\boldsymbol{2}$ 個

$\boldsymbol{\dfrac{1}{5}<a <1}$ のとき $\boldsymbol{3}$ 個

練習問題

練習1

$a$ を定数とする.次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ.

(1) $x^{3}+\dfrac{3}{2}x^{2}-6x-a=0$

(2) $x^{3}-3a^{2}x+a=0$

練習の解答

例題と練習問題(数学Ⅲ)

例題

例題

$a$ を定数とする.方程式 $e^{x}-x-a=0$ の異なる実数解の個数を求めよ.


講義

数学Ⅲの場合も方針は同じで,方程式の実数解の個数の求め方のⅠの定数分離の方針が基本です.しかし,$a$ だけを分離して $f(x)$ が複雑な関数になるならば,違う分け方をすることもあります.


解答

$e^{x}-x=a$ ←定数分離

として $y=g(x)=e^{x}-x$ と $y=a$ のグラフの共有点を考える.

 $g'(x)$

$=e^{x}-1$

増減表は

$x$ $\cdots$ $0$ $\cdots$
$g'(x)$ $-$ $0$ $+$
$g(x)$ ↘︎ $1$ ↗︎

$\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty}f(x)=\infty$

例題

図より異なる実数解の個数は

$\boldsymbol{a>1}$ のとき $\boldsymbol{2}$ 個

$\boldsymbol{a=1}$ のとき $\boldsymbol{1}$ 個

$\boldsymbol{a <1}$ のとき $\boldsymbol{0}$ 個

※ $e^{x}=x+a$ と分離して,$y=e^x$ と $y=x+a$ のグラフの共有点の問題と考えてもわかりやすいと思います.

練習問題

練習2

$a$ を定数とする.方程式 $\sqrt{x}=x+a$ の異なる実数解の個数を求めよ.

練習の解答