3次関数の分類と点対称性
微分(数学Ⅱ)(入試の標準) ★★★
2次関数は上に凸と下に凸のグラフの2種類ありますが，同じように3次関数のグラフについて知っていないと入試で不利です．
3次関数はグラフの種類が6種類あるのですが，ここで整理します．
3次関数の分類
3次関数の分類
極値：極大値，極小値の定義を参照ください．
変曲点：3次関数においては $f''(x)=0$ を満たす点．数学Ⅲの関数の凹凸と変曲点で扱います．
停留点：$f'(x)=0$ を満たす点．大学の微積分で登場しますが，便利な用語なので紹介します．
3次関数は，$y'$の符号変化で場合分けできます．符号変化が起きるのは，①と④のみで，これらには極値が存在します．多くの問いが作れますので，定期試験や入試に登場するのはほぼ①か④です．
変曲点について
変曲点は，今のところ3次関数においては $f''(x)=0$ を満たす点ということで覚えておきましょう．
$f''(x)=6ax+2b=0 \Longleftrightarrow x=-\dfrac{b}{3a}$
変曲点 $\displaystyle \left(-\dfrac{b}{3a},f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)$
停留点について
停留点は知らなくても構いません．しかし，②と⑤は $f'(x)=0$ であるが極値ではないいい例です．このような点に名前があると便利です．(3次関数の場合)極値も停留点ですが，極値でない停留点を意識的に停留点とよく言います．
3次関数の変曲点に関する点対称性とその証明
また，3次関数は次の重要な性質があるので，ここで取り扱います．
3次関数の対称性
3次関数 $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ は変曲点 $\left(-\dfrac{b}{3a},f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)$ に関して点対称である．
証明
変曲点が原点に来るように平行移動する．
$-\dfrac{b}{3a}=p$ として，$y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ を $x$ 軸方向に $-p$，$y$ 軸方向に $-f\left(p\right)$ 平行移動すると
$y+f\left(p\right)=a\left(x+p\right)^{3}+b\left(x+p\right)^{2}+c\left(x+p\right)+d$
$\displaystyle \Longleftrightarrow y=ax^{3}+\left(3ap+b\right)x^{2}+(3ap^{2}+2bp+c)x$
$\displaystyle \Longleftrightarrow y=ax^{3}-\dfrac{b^2-3ac}{3a}x$ … ☆
$(x_{1},y_{1})$ が☆上にある
$\displaystyle \Longleftrightarrow$ $y_{1}=ax_{1}^{3}-\dfrac{b^2-3ac}{3a}x_{1}$
$\displaystyle \Longleftrightarrow$ $-y_{1}=a(-x_{1})^{3}+\left(-\dfrac{b^2}{3a}+c\right)(-x_{1})$
つまり $(-x_{1},-y_{1})$ も☆の関数上にあることが言える．
以上より☆は原点に関して対称(点対称)．
つまり，元の $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ は変曲点 $\displaystyle \left(-\dfrac{b}{3a},f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)$ に関して対象である．
証明では変曲点が原点に来るように平行移動したとき，それが原点に関して対称(奇関数)であることを言っています．
練習問題
練習
$f(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+1$ とする．
(1) $f(x)$ は $x=\alpha$ で極大値， $x=\beta$ で極小値をとる．2点 $(\alpha,f(\alpha))$，$(\beta,f(\beta))$ を結ぶ線分の中点 $\rm M$ は，曲線 $y=f(x)$ 上にあることを示せ．
(2) 曲線 $y=f(x)$ は，点 $\rm M$ に関して対称であることを示せ．
練習の解答
(1)
$f'(x)=x(x-4)$
増減表は
| $x$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $4$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↗︎ | $1$ | ↘︎ | $-\dfrac{29}{3}$ | ↗︎ |
点 $\rm M$ の座標は$(0,1)$ と $\left(4,-\dfrac{29}{3}\right)$ の中点より，$\left(2,-\dfrac{13}{3}\right)$ である．$f(2)=\dfrac{8}{3}-8+1=-\dfrac{13}{3}$ より，点 $\rm M$ は曲線 $y=f(x)$ 上にある．
(2)点 $\rm M$ が原点に来るように平行移動して，それが原点に関して対称であることを言えばいい．
$f(x)$ を $x$ 軸方向に $-2$，$y$ 軸方向に $\dfrac{13}{3}$ 平行移動すると
$y-\dfrac{13}{3}=\dfrac{1}{3}(x+2)^{3}-2(x+2)^{2}+1$
$\Longleftrightarrow \ y=\dfrac{1}{3}x^{3}-4x$ … ☆
$\Longleftrightarrow \ -y=\dfrac{1}{3}(-x)^{3}-4(-x)$
これより，$(x,y)$ が☆上にあるならば，$(-x,-y)$ も☆上にあることが言えるので，☆は原点に関して対称である．
よって平行移動前の曲線 $y=f(x)$ は，点 $\rm M$ に関して対称である．