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3次関数の分類と点対称性

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


アイキャッチ

2次関数は上に凸と下に凸のグラフの2種類あることがわかると思います.

数Ⅱの微積分は基本的に3次関数が出題の中心なので,3次関数について詳しくなっていないと入試で不利です.

3次関数はグラフの種類が6種類あるのですが,ここで整理します.





3次関数の分類

ポイント

3次関数の分類

3次関数の分類

定義

極値 … $f'(x)$ の符号が正から負に変わる点を極大値,負から正に変わる点を極小値という.

変曲点 … $f''(x)=0$ を満たす点.数Ⅲで正式に出てきます.

停留点 … $f'(x)=0$ を満たす点.大学の微積分で登場しますが,便利な用語なので紹介します.


3次関数は,$y'$の符号変化で場合分けできます.符号変化が起きるのは,①と④のみで,これらには極値が存在します.多くの問いが作れますので,定期試験や入試に登場するのはほぼ①か④です.



変曲点について

変曲点は,今のところは$f''(x)=0$ を満たす点ということで覚えておきましょう.

$f''(x)=6ax+2b=0 \Longleftrightarrow x=-\dfrac{b}{3a}$

変曲点 $\displaystyle \left(-\dfrac{b}{3a},f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)$



停留点について

停留点は知らなくても構いません.しかし,②と⑤は $f'(x)=0$ だからといって,極値ではないいい例です.このような点に名前があると便利です.極値も正式には停留点ですが,極値でない停留点を意識的に停留点と言います.



3次関数の変曲点に関する点対称性とその証明

また,3次関数は次の重要な性質があるので,ここで取り扱います.


ポイント

3次関数の対称性

3次関数 $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ は変曲点 $\left(-\dfrac{b}{3a},f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)$ に関して点対称である.

3次関数は変曲点に関して点対称

上の図を見ればなんとなく変曲点に関して対称になっていると思いますが,以下で証明をします.

変曲点が原点に来るように平行移動したとき,それが原点に関して対称(奇関数)であることを言えばOKです.



証明

証明

変曲点が原点に来るように平行移動する.

$-\dfrac{b}{3a}=p$ として $y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ を $x$ 軸方向に $-p$,$y$ 軸方向に $-f\left(p\right)$ 平行移動すると

$y+f\left(p\right)=a\left(x+p\right)^{3}+b\left(x+p\right)^{2}+c\left(x+p\right)+d$

$\displaystyle \Longleftrightarrow y=ax^{3}+\left(3ap+b\right)x^{2}+(3ap^{2}+2bp+c)x$

$\displaystyle \Longleftrightarrow y=ax^{3}-\dfrac{b^2-3ac}{3a}x$ … ☆

3次関数は変曲点に関して点対称2

$(x_{1},y_{1})$ が☆上にある

$\displaystyle \Longleftrightarrow$ $y_{1}=ax_{1}^{3}-\dfrac{b^2-3ac}{3a}x_{1}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow$ $-y_{1}=a(-x_{1})^{3}+\left(-\dfrac{b^2}{3a}+c\right)(-x_{1})$

つまり $(-x_{1},-y_{1})$ も☆の関数上にあることが言える.

以上より☆は原点に関して対称(点対称).

つまり,元の $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ は変曲点 $\displaystyle \left(-\dfrac{b}{3a},f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)$ に関して対象である.




練習問題

練習

$f(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+1$ とする.

(1) $f(x)$ は $x=\alpha$ で極大値, $x=\beta$ で極小値をとる.2点 $(\alpha,f(\alpha))$,$(\beta,f(\beta))$ を結ぶ線分の中点 $\rm M$ は,曲線 $y=f(x)$ 上にあることを示せ.

(2) 曲線 $y=f(x)$ は,点 $\rm M$ に関して対称であることを示せ.

練習の解答



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