不定方程式(絞り込み)
整数(入試の標準) ★★★
不等式から絞り込むタイプで，2次不定方程式ではない不定方程式について扱います．
不定方程式(絞り込み)の考え方
$xyz=x+y+z$
上のような不定方程式の自然数解を考えます(整数解は困難なことが多いです)．ここで一旦，$\boldsymbol{x\leqq y\leqq z}$ であると仮定して
$xyz=x+y+z\leqq z+z+z=3z$
$\Longleftrightarrow \ xy\leqq 3$
とすると，$x$ と $y$ の解の組が絞られます．解が求められた後は，大小関係を排除して元の自然数解を求めればいいです．
ちなみに，$x\leqq y\leqq z$ の仮定は問題に書いてあることの方が多いです．
不定方程式(絞り込み)の解法
不等式を利用して範囲を絞る
例題と練習問題
例題
例題
次の等式を満たす自然数 $x$，$y$，$z$ の組をすべて求めよ．
(1) $xyz=x+y+z$ $(x\leqq y\leqq z)$
(2) $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2$
講義
(1) は $x\leqq y\leqq z$ を用いて，右辺 $x+y+z$ を $z$ で抑えて上からの評価を行います．$x+y+z\leqq z+z+z=3z$ より $xyz\leqq 3z \Longleftrightarrow xy\leqq 3$ から候補を有限個に絞れます．
(2) $x$，$y$，$z$ の大小関係の記述がないので，$\boldsymbol{x\leqq y\leqq z}$ であると仮定して考えます．$\dfrac1x\geqq\dfrac1y\geqq\dfrac1z$ として，$2=\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\leqq \dfrac1x+\dfrac1x+\dfrac1x=\dfrac{3}{x} \ \Longleftrightarrow\ x\leqq \dfrac{3}{2}$ として $x$ をまず確定します． 次に $x$ が定まれば同様に $y$ も同じ発想で絞れます．
解答
(1)
$xyz=x+y+z\leqq z+z+z=3z$
$\Longleftrightarrow\ xy\leqq 3$
$(x,y)$ の候補は $(1,1)$，$(1,2)$，$(1,3)$ のみ．順に調べる．
$(1,1)$ のとき，$z=1+1+z$ より $0=2$ で不適．
$(1,2)$ のとき，$2z=1+2+z$ より $z=3$．順序 $1\leqq2\leqq3$ を満たす．
$(1,3)$ のとき，$3z=1+3+z$ より $z=2$ だが $3\leqq2$ に反する．
したがって求める解（$x\leqq y\leqq z$）は
$\boldsymbol{(x,y,z)=(1,2,3)}$
(2)
$x\leqq y\leqq z$ と仮定する．$\dfrac1x\geqq\dfrac1y\geqq\dfrac1z$ より
$2=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\leqq \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}= \dfrac{3}{x}$
$\Longleftrightarrow\ x\leqq \dfrac{3}{2}$
$\therefore \ x=1$
このとき
$\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$ $\cdots$ ☆
$y\leqq z$ から同様に
$1=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\leqq \dfrac{2}{y}$
$\Longleftrightarrow\ y\leqq 2$
$y=1$ のとき $\dfrac{1}{z}=0$ で不適．
$y=2$ のとき $\dfrac{1}{z}=1-\dfrac12=\dfrac12$ より $z=2$．
以上より $x\leqq y\leqq z$ の元では $(x,y,z)=(1,2,2)$．大小関係を排除すると求める答えは
$\boldsymbol{(x,y,z)=(1,2,2)，(2,1,2)，(2,2,1)}$
※ ☆の段階で両辺 $yz$ 倍して，2次不定方程式の解法で解いてもOKです．
練習問題
練習
(1) $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{4}{3}$ $(x\leqq y\leqq z)$ を満たす自然数 $x$，$y$，$z$ の組をすべて求めよ．
(2) $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{6}{7}$ を満たす自然数 $x$，$y$，$z$ の組をすべて求めよ．
練習の解答
(1)
$x\leqq y\leqq z$ から $\dfrac1x\geqq\dfrac1y\geqq\dfrac1z$ より
$\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\leqq \dfrac{3}{x}$
$\Longleftrightarrow\ x\leqq \dfrac{9}{4}$
$\therefore \ x=1，2$
$x=1$ のとき
$\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{3}$
$y\leqq z$ から同様に
$\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\leqq \dfrac{2}{y}$
$\Longleftrightarrow\ y\leqq 6$
$y\leqq z$ を考慮して
$(y,z)=(4,12),(6,6)$
$x=2$ のとき
$\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{6}$
$y\leqq z$ から同様に
$\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\leqq \dfrac{2}{y}$
$\Longleftrightarrow\ y\leqq \dfrac{12}{5}$
$x\leqq y\leqq z$ を考慮して
$(y,z)=(2,3)$
以上より
$\boldsymbol{(x,y,z)=(1,4,12),\ (1,6,6),\ (2,2,3)}$
(2)
$x\leqq y\leqq z$ と仮定する．$\dfrac{1}{x}\geqq\dfrac{1}{y}\geqq\dfrac{1}{z}$ より
$\dfrac{6}{7}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\leqq \dfrac{3}{x}$
$\Longleftrightarrow\ x\leqq \dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}$
$\therefore\ x=2，3$（$x=1$ は $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=-\dfrac{1}{7}$ で不適）
$x=2$ のとき
$\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{14}$
$y\leqq z$ から同様に
$\dfrac{5}{14}\leqq\dfrac{2}{y}\ \Longleftrightarrow\ y\leqq \dfrac{28}{5}$
$\therefore\ y\leqq 5$
$y\leqq z$ を考慮して
$(y,z)=(3,42)$
$x=3$ のとき
$\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{11}{21}$
$y\leqq z$ から同様に
$\dfrac{11}{21}\leqq\dfrac{2}{y}\ \Longleftrightarrow\ y\leqq \dfrac{42}{11}$
$\therefore\ y=3$
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{11}{21}\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{1}{z}=\dfrac{4}{21}\ \Longrightarrow\ z=\dfrac{21}{4}$（不適）
以上より $x\leqq y\leqq z$ の元では $(x,y,z)=(2,3,42)$．大小関係を排除すると求める答えは
$\boldsymbol{(x,y,z)=(2,3,42)，(2,42,3)，(3,2,42)，(3,42,2)，(42,2,3)，(42,3,2)}$