複素数の絶対値
複素数平面(教科書範囲) ★★
複素数の絶対値とその性質について扱います．
共役な複素数の知識を前提にします．
複素数の絶対値
複素数 $\alpha=a+bi$ に対し，$\alpha$ の絶対値を
$\boldsymbol{|\alpha|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
で定義します．複素数平面上で考えると，$|\alpha|$ は原点 $\rm O$ と $\alpha$ の距離に等しいです．
複素数の絶対値の性質
$|\alpha|$ に関する性質を整理します．今後複素数の計算を $\overline{\alpha}$ と $|\alpha|$ を使うことで済ましてしまうことが多々ありますが，以下の性質をよく使います．
証明は極形式を使用した方法が楽なので，そこまで待ってもいいと思います．
複素数の絶対値の性質
Ⅰ $|\alpha|=0 \Longleftrightarrow \alpha=0$
Ⅱ $|\alpha|=|-\alpha|=|\overline{\alpha}|$
Ⅲ $\alpha\overline{\alpha}=|\alpha|^2$
Ⅳ $|\alpha\beta|=|\alpha||\beta|$
Ⅴ $\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right|=\dfrac{|\alpha|}{|\beta|}$
証明
$\alpha=a+bi$，$\beta=c+di$ とする．
Ⅰ
$|\alpha|=0$
$\Longleftrightarrow a^{2}+b^{2}=0$
$\Longleftrightarrow a=0$ かつ $b=0$
$\Longleftrightarrow \alpha=0$
Ⅱ
$|\alpha|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
$|-\alpha|=\sqrt{(-a)^{2}+(-b)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
$|\overline{\alpha}|=\sqrt{a^{2}+(-b)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
$\therefore \ |\alpha|=|-\alpha|=|\overline{\alpha}|$
Ⅲ
$\alpha\overline{\alpha}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}=|\alpha|^2$
Ⅳ
$|\alpha\beta|$
$=|(a+bi)(c+di)|$
$=|ac-bd+(ad+bc)i|$
$=\sqrt{(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}}$
$=\sqrt{a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}}$
$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{c^{2}+d^{2}}$
$=|\alpha||\beta|$
Ⅴ
$\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right|$
$=\left|\dfrac{a+bi}{c+di}\cdot\dfrac{c-di}{c-di}\right|$
$=\left|\dfrac{1}{c^{2}+d^{2}}(a+bi)(c-di)\right|$
$=\left|\dfrac{1}{c^{2}+d^{2}}\right|\left|a+bi\right|\left|c-di\right|$ ( $\because$ Ⅲ)
$=\dfrac{1}{c^{2}+d^{2}}\left|\alpha\right||\overline{\beta}|$
$=\dfrac{1}{|\beta|^{2}}\left|\alpha\right||\beta|$ ( $\because$ Ⅱ)
$=\dfrac{|\alpha|}{|\beta|}$
※ ⅣやⅤの証明は極形式を使用した証明が楽です．
2点の複素数の距離
2点の複素数の距離
$2$ 点 $\alpha$ と $\beta$ の距離は，$2$ 点 $\alpha-\beta$ と原点 $\rm O$ の距離と等しいので
$\boldsymbol{|\alpha-\beta|}$
こちらも今後多用する公式です．
例題と練習問題
例題
例題
(1) $z=2+i$ のとき，$\left|z+\dfrac{1}{z}\right|$ の値を求めよ．
(2) $2$ 点 $4-3i$，$-2+5i$ 間の距離を求めよ．
(3) 複素数 $\alpha$，$\beta$ が $|\alpha|=|\beta|=|\alpha-\beta|=1$ を満たすとき，$|2\alpha+\beta|$ の値を求めよ．
講義
(1)(2)は機械的に計算するだけです．(3)は他の解法が複数ありますが，ここでは複素数平面の知識を使った計算で解きます．
解答
(1)
$\left|z+\dfrac{1}{z}\right|$
$=\left|2+i+\dfrac{1}{2+i}\right|$
$=\left|2+i+\dfrac{2-i}{5}\right|$
$=\left|\dfrac{12}{5}+\dfrac{4}{5}i\right|$
$=\dfrac{4}{5}\left|3+i\right|=\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{10}}{5}}$
(2)
$\left|4-3i-(-2+5i)\right|$
$=\left|6-8i\right|=\boldsymbol{10}$
(3)
$|\alpha-\beta|^{2}$
$=(\alpha-\beta)(\overline{\alpha-\beta})$
$=(\alpha-\beta)(\overline{\alpha}-\overline{\beta})$
$=\alpha\overline{\alpha}-\alpha\overline{\beta}-\beta\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta}$
$=1-\alpha\overline{\beta}-\beta\overline{\alpha}+1=1$ $( \because \ |\alpha|=|\beta|=1)$
$\therefore \ \alpha\overline{\beta}+\beta\overline{\alpha}=1$
$|2\alpha+\beta|^{2}$
$=(2\alpha+\beta)(\overline{2\alpha+\beta})$
$=(2\alpha+\beta)(2\overline{\alpha}+\overline{\beta})$
$=4\alpha\overline{\alpha}+2\alpha\overline{\beta}+2\beta\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta}$
$=4+2(\alpha\overline{\beta}+\beta\overline{\alpha})+1=7$
$\therefore \ |2\alpha+\beta|=\boldsymbol{\sqrt{7}}$
※ $0$，$\alpha$，$\beta$ は正三角形をなすのがわかります．ベクトルの問題に置き換えたり，余弦定理を使って出すのもいいと思います．苦手ならば無理して複素数平面の知識で解く必要はありません．
練習問題
練習
(1) $z=3+4i$ のとき，$\left|z+\dfrac{1}{\overline{z}}\right|$ の値を求めよ．
(2) 複素数 $\alpha$，$\beta$ が $|\alpha|=|\beta|=|\alpha+\beta|=1$ を満たすとき，$|\alpha-\beta|$ の値を求めよ．
(3) 絶対値が $1$ で $\dfrac{z-1}{z^{2}}$ が実数であるような虚数 $z$ を求めよ．
解答
(1)
$\left|z+\dfrac{1}{\overline{z}}\right|$
$=\left|3+4i+\dfrac{1}{3-4i}\right|$
$=\left|3+4i+\dfrac{3+4i}{25}\right|$
$=\left|\dfrac{26}{25}(3+4i)\right|$
$=\dfrac{26}{25}\left|3+4i\right|$
$=\boldsymbol{\dfrac{26}{5}}$
(2)
$|\alpha+\beta|^{2}$
$=(\alpha+\beta)(\overline{\alpha}+\overline{\beta})$
$=\alpha\overline{\alpha}+\alpha\overline{\beta}+\beta\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta}$
$=1+\alpha\overline{\beta}+\beta\overline{\alpha}+1=1$ $( \because \ |\alpha|=|\beta|=1)$
$\therefore \ \alpha\overline{\beta}+\beta\overline{\alpha}=-1$
$|\alpha-\beta|^{2}$
$=(\alpha-\beta)(\overline{\alpha}-\overline{\beta})$
$=\alpha\overline{\alpha}-\alpha\overline{\beta}-\beta\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta}$
$=1-(\alpha\overline{\beta}+\beta\overline{\alpha})+1=3$
$\therefore \ |\alpha-\beta|=\boldsymbol{\sqrt{3}}$
※ ベクトルの問題に置き換えて解くのもいいと思います．
(3)
$\dfrac{z-1}{z^{2}}$ が実数なので
$\dfrac{z-1}{z^{2}}=\overline{\dfrac{z-1}{z^{2}}}=\dfrac{\overline{z}-1}{(\overline{z})^{2}}$
分母払うと
$(z-1)(\overline{z})^{2}=(\overline{z}-1)z^2$
$\Longleftrightarrow \ z\cdot \overline{z}\cdot \overline{z}-(\overline{z})^{2}-\overline{z}\cdot z\cdot z+z^{2}=0$
$\Longleftrightarrow \ |z|^{2}\overline{z}-|z|^{2}z-\{(\overline{z})^{2}-z^{2}\}=0$
$\Longleftrightarrow \ |z|^{2}(\overline{z}-z)-(\overline{z}+z)(\overline{z}-z)=0$
$\Longleftrightarrow \ \left\{1-(\overline{z}+z)\right\}(\overline{z}-z)=0$ $ (\because \ |z|=1) $
$z$ は虚数なので $\overline{z}-z\neq0$．$z=a+bi$ とおくと $1-(\overline{z}+z)=1-2a=0$ $\Longleftrightarrow$ $a=\dfrac{1}{2}$．$|z|=1$ より
$\boldsymbol{z=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i}$