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複素数の絶対値

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

複素数の絶対値とその性質について扱っていきます.

共役な複素数の知識を前提にします.



複素数の絶対値

複素数 $\alpha=a+bi$ に対し,$\alpha$ の絶対値を

$\boldsymbol{|\alpha|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

で定義する.複素数平面上で考えると,$|\alpha|$ は原点 $\rm O$ と $\alpha$ の距離に等しい.

複素数の絶対値

複素数の絶対値の性質

$|\alpha|$ に関する性質を整理します.今後複素数の計算を $\overline{\alpha}$ と $|\alpha|$ を使うことで済ましてしまうことが多々ありますが,以下の性質をよく使います.

証明は極形式を使用した方法が楽なので,そこまで待ってもいいと思います.

ポイント

複素数の絶対値の性質

Ⅰ $|\alpha|=0 \Longleftrightarrow \alpha=0$

Ⅱ $|\alpha|=|-\alpha|=|\overline{\alpha}|$

Ⅲ $\alpha\overline{\alpha}=|\alpha|^2$

Ⅳ $|\alpha\beta|=|\alpha||\beta|$

Ⅴ $\left|\dfrac{\alpha}{\beta}\right|=\dfrac{|\alpha|}{|\beta|}$

証明

2点の複素数の距離

ポイント

2点の複素数の距離

複素数の絶対値

$2$ 点 $\alpha$ と $\beta$ の距離は,$2$ 点 $\alpha-\beta$ と原点 $\rm O$ の距離と等しいので

$\boldsymbol{|\alpha-\beta|}$


こちらも今後多用する公式です.

例題と練習問題

例題

例題

(1) $z=2+i$ のとき,$\left|z+\dfrac{1}{z}\right|$ の値を求めよ.

(2) $2$ 点 $4-3i$,$-2+5i$ 間の距離を求めよ.

(3) 複素数 $\alpha$,$\beta$ が $|\alpha|=|\beta|=|\alpha-\beta|=1$ を満たすとき,$|2\alpha+\beta|$ の値を求めよ.


講義

(1)(2)は機械的に計算するだけです.(3)は他の解法が複数ありますが,ここでは複素数平面の知識を使った計算で解きます.


解答

(1)

 $\left|z+\dfrac{1}{z}\right|$

$=\left|2+i+\dfrac{1}{2+i}\right|$

$=\left|2+i+\dfrac{2-i}{5}\right|$

$=\left|\dfrac{12}{5}+\dfrac{4}{5}i\right|$

$=\dfrac{4}{5}\left|3+i\right|=\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{10}}{5}}$


(2)

 $\left|4-3i-(-2+5i)\right|$

$=\left|6-8i\right|=\boldsymbol{10}$


(3)

 $|\alpha-\beta|^{2}$

$=(\alpha-\beta)(\overline{\alpha-\beta})$

$=(\alpha-\beta)(\overline{\alpha}-\overline{\beta})$

$=\alpha\overline{\alpha}-\alpha\overline{\beta}-\beta\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta}$

$=1-\alpha\overline{\beta}-\beta\overline{\alpha}+1=1$ $( \because \ |\alpha|=|\beta|=1)$

$\therefore \ \alpha\overline{\beta}+\beta\overline{\alpha}=1$

 $|2\alpha+\beta|^{2}$

$=(2\alpha+\beta)(\overline{2\alpha+\beta})$

$=(2\alpha+\beta)(2\overline{\alpha}+\overline{\beta})$

$=4\alpha\overline{\alpha}+2\alpha\overline{\beta}+2\beta\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta}$

$=4+2(\alpha\overline{\beta}+\beta\overline{\alpha})+1=7$

$\therefore \ |2\alpha+\beta|=\boldsymbol{\sqrt{7}}$

※ $0$,$\alpha$,$\beta$ は正三角形をなすのがわかります.ベクトルの問題に置き換えたり,余弦定理を使って出すのもいいと思います.苦手ならば無理して複素数平面の知識で解く必要はありません.

練習問題

練習

(1) $z=3+4i$ のとき,$\left|z+\dfrac{1}{\overline{z}}\right|$ の値を求めよ.

(2) 複素数 $\alpha$,$\beta$ が $|\alpha|=|\beta|=|\alpha+\beta|=1$ を満たすとき,$|\alpha-\beta|$ の値を求めよ.

(3) 絶対値が $1$ で $\dfrac{z-1}{z^{2}}$ が実数であるような虚数 $z$ を求めよ.

練習の解答