共役な複素数
複素数平面(教科書範囲) ★
共役な複素数とその性質について扱います．
共役な複素数
複素数 $\alpha=a+bi$ に対し，$\alpha$ の共役な複素数(共役複素数)を
$\overline{\alpha}=a-bi$
で表します．複素数平面上では，$\alpha$ と $\overline{\alpha}$ は実軸に関して対称な位置にあります．
共役な複素数の性質
$\alpha$ の共役な複素数は $\overline{\alpha}$ と簡便に記述できるところにそのメリットがあります．
以下で紹介する性質は今後当たり前のように使う公式です．
共役な複素数の性質
Ⅰ $\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$
Ⅱ $\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$
Ⅲ $\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}$ → $\overline{\alpha^n}=(\overline{\alpha})^{n}$ ( $n$ は自然数)
Ⅳ $\overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)}=\dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$
Ⅴ $\overline{\overline{\alpha}}=\alpha$
証明
$\alpha=a+bi$，$\beta=c+di$ とする．
Ⅰ
$\overline{\alpha+\beta}$
$=\overline{a+c+(b+d)i}$
$=a+c-(b+d)i$
$=a-bi+c-di$
$=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$
Ⅱ
$\overline{\alpha-\beta}$
$=\overline{a-c+(b-d)i}$
$=a-c-(b-d)i$
$=a-bi-(c-di)$
$=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$
Ⅲ
$\overline{\alpha\beta}$
$=\overline{(a+bi)(c+di)}$
$=\overline{ac-bd+(ad+bc)i}$
$=ac-bd-(ad+bc)i$
$=(a-bi)(c-di)$
$=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}$
これを繰り返し使うと
$\overline{\alpha^n}=\overline{\alpha \cdot\alpha \cdots\alpha}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\alpha}\cdots\overline{\alpha}=(\overline{\alpha})^{n}$
Ⅳ
$\overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)}$
$=\overline{\left(\dfrac{a+bi}{c+di}\right)}$
$=\overline{\left(\dfrac{a+bi}{c+di}\cdot\dfrac{c-di}{c-di}\right)}$
$=\overline{\dfrac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}-\dfrac{ad-bc}{c^{2}+d^{2}}i}$
$=\dfrac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\dfrac{ad-bc}{c^{2}+d^{2}}i$
$\dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$
$=\dfrac{a-bi}{c-di}$
$=\dfrac{a-bi}{c-di}\cdot \dfrac{c+di}{c+di}$
$=\dfrac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\dfrac{ad-bc}{c^{2}+d^{2}}i$
$\therefore \ \overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)}=\dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$
Ⅴ
$\overline{\overline{\alpha}}=\overline{a-bi}=a+bi=\alpha$
複素数の実数条件，純虚数条件
今後複素数 $\alpha$ に関して，$\alpha$ と $\overline{\alpha}$ で表現することが多々ありますが，複素数が実数や純虚数であることをこれらの表記で表現できます．
複素数の実数条件，純虚数条件
$\boldsymbol{\alpha}$ が実数 $\boldsymbol{\Longleftrightarrow \ \overline{\alpha}=\alpha}$
$\boldsymbol{\alpha}$ が純虚数 $\boldsymbol{\Longleftrightarrow \ \overline{\alpha}=-\alpha}$
今後入試問題等を解くときによく使うと思います．
証明は容易なので割愛します．
例題と練習問題
例題
例題
(1) $z=a+bi$ ( $a$，$b$ は実数)とするとき，$a$ と $b$ を それぞれ $z$ と $\overline{z}$ で表せ．
(2) $a$，$b$，$c$，$d$ は実数とする．複素数 $\alpha$ が方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の解であるとき，$\overline{\alpha}$ も同じ方程式の解であることを証明せよ．
講義
(2)は，$\alpha$ を解にもてば $\overline{\alpha}$ も解にもつことの証明です．
解答
(1)
$z=a+bi$，$\overline{z}=a-bi$ より辺々足したり引いたりすると
$z+\overline{z}=2a$，$z-\overline{z}=2bi$
$\boldsymbol{a=\dfrac{z+\overline{z}}{2}}$，$\boldsymbol{b=}\dfrac{z-\overline{z}}{2i}\boldsymbol{=\dfrac{\overline{z}-z}{2}i}$
(2)
方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ が $x=\alpha$ を解にもつから
$a\alpha^{3}+b\alpha^{2}+c\alpha+d=0$
$\Longleftrightarrow \ \overline{a\alpha^{3}+b\alpha^{2}+c\alpha+d}=0$
$\Longleftrightarrow \ a\overline{\alpha^{3}}+b\overline{\alpha^{2}}+c\overline{\alpha}+d=0$
$\Longleftrightarrow \ a(\overline{\alpha})^{3}+b(\overline{\alpha})^{2}+c\overline{\alpha}+d=0$
これは $x=\overline{\alpha}$ も解であることを意味する．
※ $3$ 次方程式だけでなく，一般の $n$ 次方程式においても $\alpha$ を解にもてば $\overline{\alpha}$ も解にもつことが言えますね．
練習問題
練習
$\alpha$ は虚数とする．任意の複素数 $z$ に対して $\alpha \overline{z}+\overline{\alpha}z$ は実数であることを示せ．
解答
$w=\alpha \overline{z}+\overline{\alpha}z$ とおく．
$\overline{w}$
$=\overline{\alpha \overline{z}+\overline{\alpha}z \ }$
$=\overline{\alpha} \cdot \overline{\overline{z}}+\overline{\overline{\alpha}} \cdot \overline{z}$
$=\overline{\alpha}z+\alpha \overline{z}$
$=w$
よって $w$ は実数である．