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共役な複素数

タイプ:教科書範囲 レベル: 


アイキャッチ

共役な複素数とその性質について扱っていきます.



共役な複素数

複素数 $\alpha=a+bi$ に対し,$\alpha$ の共役な複素数(共役複素数)を

$\overline{\alpha}=a-bi$

で表します.複素数平面上では,$\alpha$ と $\overline{\alpha}$ は実軸に関して対象な位置にあります.

共役な複素数

共役な複素数の性質

$\alpha$ の共役な複素数は $\overline{\alpha}$ と簡便に記述できるところにそのメリットがあります.

以下で紹介する性質は今後当たり前のように使う公式です.

ポイント

共役な複素数の性質

Ⅰ $\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$

Ⅱ $\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}$

Ⅲ $\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\cdot\overline{\beta}$ → $\overline{\alpha^n}=(\overline{\alpha})^{n}$ ( $n$ は自然数)

Ⅳ $\overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)}=\dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}$

Ⅴ $\overline{\overline{\alpha}}=\alpha$

証明

複素数の実数条件,純虚数条件

今後複素数は $\alpha$ と $\overline{\alpha}$ で表記することが多々ありますが,複素数が実数や純虚数であることをこれらの表記で表現できます.

ポイント

複素数の実数条件,純虚数条件

$\boldsymbol{\alpha}$ が実数 $\boldsymbol{\Longleftrightarrow \ \overline{\alpha}=\alpha}$

$\boldsymbol{\alpha}$ が純虚数 $\boldsymbol{\Longleftrightarrow \ \overline{\alpha}=-\alpha}$


今後入試問題等を解くときによく使うと思います.

証明は容易なので割愛します.

例題と練習問題

例題

例題

(1) $z=a+bi$ ( $a$,$b$ は実数)とするとき,$a$ と $b$ を それぞれ $z$ と $\overline{z}$ で表せ.

(2) $a$,$b$,$c$,$d$ は実数とする.複素数 $\alpha$ が方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の解であるとき,$\overline{\alpha}$ も同じ方程式の解であることを証明せよ.


講義

(2)は,$\alpha$ を解にもてば $\overline{\alpha}$ も解にもつことの証明です.


解答

(1)

$z=a+bi$,$\overline{z}=a-bi$ より辺々足したり引いたりすると

$z+\overline{z}=2a$,$z-\overline{z}=2bi$

$\boldsymbol{a=\dfrac{z+\overline{z}}{2}}$,$\boldsymbol{b=}\dfrac{z-\overline{z}}{2i}\boldsymbol{=\dfrac{\overline{z}-z}{2}i}$


(2)

方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ が $x=\alpha$ を解にもつから

$a\alpha^{3}+b\alpha^{2}+c\alpha+d=0$

$\Longleftrightarrow \ \overline{a\alpha^{3}+b\alpha^{2}+c\alpha+d}=0$

$\Longleftrightarrow \ a\overline{\alpha^{3}}+b\overline{\alpha^{2}}+c\overline{\alpha}+d=0$

$\Longleftrightarrow \ a(\overline{\alpha})^{3}+b(\overline{\alpha})^{2}+c\overline{\alpha}+d=0$

これは $x=\overline{\alpha}$ も解であることを意味する.

※ $3$ 次方程式だけでなく,一般の $n$ 次方程式においても $\alpha$ を解にもてば $\overline{\alpha}$ も解にもつことが言えますね.

練習問題

練習

$\alpha$ は虚数とする.任意の複素数 $z$ に対して $\alpha \overline{z}+\overline{\alpha}z$ は実数であることを示せ.

練習の解答