ベクトルの終点の存在範囲
平面ベクトル(教科書範囲) ★★★
ベクトルの終点の存在範囲の問題を扱います．
ベクトルの終点の存在範囲
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ ( $\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$ と $\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ は1次独立)において，$\rm P$ の位置の範囲を考える問題があります．
$s$ と $t$ の条件によって，基本的なものとして以下のように $\rm P$ の存在範囲が変わります．
ベクトルの終点の存在範囲
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ ( $\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$ と $\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$ は1次独立)における $\rm P$ の存在範囲は
Ⅰ $s+t=1$ のとき
直線 $\boldsymbol{\rm AB}$ 上
Ⅱ $s+t=1，s\geqq0，t\geqq 0$ のとき
線分 $\boldsymbol{\rm AB}$ 上
Ⅲ $s+t \leqq 1，s\geqq0，t\geqq 0$ のとき
三角形 $\boldsymbol{\rm OAB}$ の周および内部
証明
Ⅰ
共線条件そのものです．
Ⅱ
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$
$=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$
$=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t(\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm AB})$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}$
$t \leqq 1-s \leqq 1，t\geqq 0$ より，$0\leqq t\leqq1$．これより $\rm P$ の存在範囲は線分 $\rm AB$ 上．
Ⅲ
$s+t=k$ $(0< k\leqq1)$ のとき
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$
$=\dfrac{s}{k}(k\overrightarrow{\mathstrut \rm OA})+\dfrac{t}{k}(k\overrightarrow{\mathstrut \rm OB})$
$=\dfrac{s}{k}\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}+\dfrac{t}{k}\overrightarrow{\mathstrut \rm OB'}$ とおく．
Ⅱより，$\rm P$ は線分 $\rm A'B'$ 上にある．$0\leqq k\leqq1$ の範囲で動かして考えると，$\rm P$ の存在範囲は三角形 $\rm ABC$ の周および内部．
斜交座標
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ ( $\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$ と $\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ は1次独立)において，$\rm P$ の位置は実数 $s$，$t$ の値で1通りに定まりますが，このときの $s$，$t$ の組 $(s,t)$ を斜交座標といいます．
今まで慣れ親しんだ直交座標はここで $\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ としたものなので，斜交座標は直交座標の一般化になります．
ベクトルの終点の存在範囲にあるパターンは斜交座標で考えるとイメージが湧きやすいです．
例題と練習問題
例題
例題
$\triangle{\rm OAB}$ に対して，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ とする．実数 $s$，$t$ が次の条件を満たすとき，点 $\rm P$ の存在範囲を説明し，そしてその範囲を図示せよ．
(1) $s+2t=2$
(2) $6s+5t\leqq 10$，$s\geqq0$，$t\geqq0$
(3) $0\leqq s\leqq1$，$0\leqq t\leqq1$
講義
(1)(2)では右辺が $1$ になるように変形します．そうすることでベクトルの終点の存在範囲にあるパターンに帰着できます．
(3)どちらかの文字を固定して考えます．
解答
(1)
$\dfrac{1}{2}s+t=1$ より
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$
$=\dfrac{1}{2}s(2\overrightarrow{\mathstrut \rm OA})+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$
$\boldsymbol{2\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}}$ とすると，$\boldsymbol{\rm P}$ は直線 $\boldsymbol{\rm A'B}$ 上にある．
(2)
$\dfrac{3}{5}s+\dfrac{1}{2}t\leqq 1$ より
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$
$=\dfrac{3}{5}s\left(\dfrac{5}{3}\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}\right)+\dfrac{1}{2}t(\overrightarrow{2\mathstrut \rm OB})$
$\boldsymbol{\dfrac{5}{3}\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}}$，$\boldsymbol{2\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OB'}}$ とすると，$\boldsymbol{\rm P}$ は$\boldsymbol{\triangle \rm OA'B'}$ の周および内部にある．
(3)
$s$ を固定して考える．
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$
$=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$
$=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ とおく．
線分 $\rm A'$ を通り $\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ に平行な直線と $\rm B$ を通り $\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$ に平行な直線 との交点を $\rm X$ とすると，$\rm P$ は線分 $\rm A'X$ 上を動く．さらに $s$ を $0\leqq s\leqq1$ で動かして考えると，$\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}}$ としたとき，$\boldsymbol{\rm P}$ は平行四辺形 $\boldsymbol{\rm OACB}$ の周および内部にある．
※ (1)〜(3)どれも斜交座標上の $(s,t)$ が満たす領域と考えると明白ですね．
練習問題
練習1
$\triangle{\rm OAB}$ に対して，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ とする．実数 $s$，$t$ が次の条件を満たすとき，点 $\rm P$ の存在範囲を説明し，そしてその範囲を図示せよ．
(1) $2s+t=2$，$s\geqq0$，$t\geqq0$
(2) $15s+8t\leqq 20$，$s\geqq0$，$t\geqq0$
練習2
平面上に3点 $\rm O$，$\rm A$，$\rm B$ があり，$|\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}|=|\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}|=|\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}|=1$を満たしている．
(1) $|\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}|$ を求めよ．
(2) 実数 $s$，$t$ が条件 $1\leqq s+3t\leqq 3$，$s\geqq0$，$t\geqq0$ をみたしながら動くとき，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+t\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}$ で定められた点 $\rm P$ の存在する範囲の面積を求めよ．
練習1の解答
(1)
$s+\dfrac{1}{2}t=1$ より
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$
$=s\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\dfrac{1}{2}t(2\overrightarrow{\mathstrut \rm OB})$
$\boldsymbol{2\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OB'}}$ とすると，$\boldsymbol{\rm P}$ は線分 $\boldsymbol{\rm AB'}$ 上にある．
(2)
$\dfrac{3}{4}s+\dfrac{2}{5}t\leqq 1$ より
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$
$=\dfrac{3}{4}s\left(\dfrac{4}{3}\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}\right)+\dfrac{2}{5}t\left(\dfrac{5}{2}\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}\right)$
$\boldsymbol{\dfrac{4}{3}\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}}$，$\boldsymbol{\dfrac{5}{2}\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OB'}}$ とすると，$\boldsymbol{\rm P}$ は$\boldsymbol{\triangle \rm OA'B'}$ の周および内部にある．
練習2の解答 出典：2013東京慈恵会医科大改
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$ とする．
(1)
$\begin{cases}|\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}|=1 \\ |2\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}|=1\end{cases}$
をそれぞれ2乗すると
$\begin{cases}1+2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot \overrightarrow{\mathstrut b}+|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=1 \\ 4+4\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot \overrightarrow{\mathstrut b}+|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}=1\end{cases}$
解くと，$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot \overrightarrow{\mathstrut b}=-\dfrac{3}{2}$，$|\overrightarrow{\mathstrut b}|=|\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}|=\boldsymbol{\sqrt{3}}$
(2)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}$
$=s\overrightarrow{\mathstrut a}+3t\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathstrut b}\right)$
$1\leqq s+3t\leqq 3$ より，$3\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}$，$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OB'}$ とおくと $\rm P$ の存在範囲は台形 $\rm AA'BB'$ (図の赤い部分)
ここで $\cos\angle{\rm AOB}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot \overrightarrow{\mathstrut b}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より，$\angle{\rm AOB}=\dfrac{5}{6}\pi$．
求める面積は
$\triangle{\rm OA'B}-\triangle{\rm OAB'}$
$=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot \sqrt{3}\cdot\sin\dfrac{5}{6}\pi-\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot \sqrt{3}\cdot\sin\dfrac{5}{6}\pi \cdot \dfrac{1}{9}$
$=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot \sqrt{3}\cdot\sin\dfrac{5}{6}\pi \cdot \dfrac{8}{9}=\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}$