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小数の基数変換

整数(数学A)(教科書範囲) ★★

アイキャッチ

整数の基数変換と同じことを小数に関して扱います.

情報Iや基本情報技術者試験等,情報系でも問われる分野です.

$n$ 進法から $10$ 進法への基数変換

$10$ 進法で $0.abc$ という小数は,小数第1位から順に $\dfrac{1}{10}$ の位,$\dfrac{1}{10^2}$ の位,$\dfrac{1}{10^3}$ の位と解釈できるので

$0.abc=a\cdot \dfrac{1}{10}+b\cdot \dfrac{1}{10^2}+c\cdot \dfrac{1}{10^3}$

とできます.

つまり $2$ 進法で $0.abc_{(2)}$ という小数は,小数第1位から順に $\dfrac{1}{2}$ の位,$\dfrac{1}{2^2}$ の位,$\dfrac{1}{2^3}$ の位と解釈できるので

$0.abc_{(2)}=a\cdot \dfrac{1}{2}+b\cdot \dfrac{1}{2^2}+c\cdot \dfrac{1}{2^3}$

とできます.

例えば $0.101_{(2)}$ ならば

$0.101_{(2)}=1\cdot \dfrac{1}{2}+0\cdot \dfrac{1}{2^2}+1\cdot \dfrac{1}{2^3}=\dfrac{5}{8}=0.625$

として $10$ 進法に変換できますね.以下でまとめます.

$n$ 進法から $10$ 進法への基数変換

$n$ 進法で $0.abc_{(n)}$ という小数は

$\boldsymbol{0.abc_{(n)}=a\cdot \dfrac{1}{n}+b\cdot \dfrac{1}{n^2}+c\cdot \dfrac{1}{n^3}}$

として $10$ 進法に計算できる.

※ 小数第4位以下でも同様です.


次章では逆の操作方法を扱います.

$10$ 進法から $n$ 進法への基数変換

$10$ 進法で $0.625$ という小数を,$2$ 進法で表すにはどうすればいいでしょう.$0.625=0.abcd\cdots_{(2)}$ とできるとすると

$\begin{align}0.625&=0.abcd\cdots_{(2)} \\ &=a\cdot \dfrac{1}{2}+b\cdot \dfrac{1}{2^2}+c\cdot \dfrac{1}{2^3}+d\cdot \dfrac{1}{2^4}+\cdots\end{align}$

とできます.両辺 $2$ をかけると

$\begin{align}1.25=a+b\cdot \dfrac{1}{2}+c\cdot \dfrac{1}{2^2}+d\cdot \dfrac{1}{2^3}+\cdots\end{align}$

となります.数学Ⅲの話ですが,無限等比級数によると仮に $b$,$c$,$d$ とその先すべて $1$ ならば第2項以降の無限和が $1$ になりますが,この場合は想定しないので,第2項以降の和は $1$ 未満になり $a$ が整数部分となります.つまり左辺と比較すると $a=1$ ですね.

両辺から $a=1$ を引いて $2$ 倍すると

$\begin{align}0.5=b+c\cdot \dfrac{1}{2}+d\cdot \dfrac{1}{2^2}+\cdots\end{align}$

先ほどと同様の考えで $b$ は整数部分になるので $b=0$ となりますね.

両辺から $b=0$ を引いて $2$ 倍すると

$\begin{align}1=c+d\cdot \dfrac{1}{2}+\cdots\end{align}$

先ほどと同様の考えで $c$ は整数部分になるので $c=1$ となりますね.$d$ 以降は $0$ なのでここで終わりです.

毎度上のように算出すると面倒なので,機械的に出す方法が以下になります.

基数変換の例

$0.625$ を $2$ でかけ,整数部分を取り除いて $2$ でかけ,また整数部分を取り除いてを繰り返し,得られた整数部分を順に並べていくと答えになります.

$10$ 進法から $n$ 進法への基数変換

$10$ 進法で $N$ という小数を,$n$ 進法で表現したいとき

$\boldsymbol{N}$ を $\boldsymbol{n}$ でかけ,整数部分を取り除いて $\boldsymbol{n}$ でかけ,また整数部分を取り除いてを繰り返し,得られた整数部分を順に並べていく.

例題と練習問題

例題

例題

(1) $0.312_{(4)}$ を $10$ 進法の分数で表せ.

(2) $0.904$ を $5$ 進法で表せ.


講義

(1)では小数第1位から順に $\dfrac{1}{4}$ の位,$\dfrac{1}{4^2}$ の位,$\dfrac{1}{4^3}$ の位と解釈して計算します.(2)ではひたすら $5$ でかけて整数部分取り除いてメモしていきます.


解答

(1)

 $0.312_{(4)}$

$=3\cdot \dfrac{1}{4}+1\cdot \dfrac{1}{4^2}+2\cdot \dfrac{1}{4^3}$

$=\boldsymbol{\dfrac{27}{32}}$


(2)

小数の基数変換例題

$0.904=\boldsymbol{0.423_{(5)}}$

練習問題

練習

(1) $0.428_{(16)}$ を $10$ 進法で表せ.

(2) $0.8125$ を $2$ 進法で表せ.

(3) $0.875$ を $3$ 進法で表せ.

解答

(1)

 $0.428_{(16)}$

$=3\cdot 6^{2}+4\cdot6+5$

$=\boldsymbol{137}$


(2)

小数の基数変換練習問題(2)

$0.8125=\boldsymbol{0.1101_{(2)}}$

(3)

小数の基数変換練習問題(3)

$0.875=\boldsymbol{0.\dot{2}\dot{1}_{(3)}}$