整数の基数変換
整数(数学A)(教科書範囲) ★
$n$ 進法の概念について導入し，整数の基数変換の方法について扱います．小数の基数変換は扱いません．
情報Iや基本情報技術者試験等，情報系でも問われる分野です．
$n$ 進法とは
私達の日常生活では，$0$ から $9$ までの $10$ 種類の数字を活用しています( $10$ 進法)．しかしそうではない世界があります．コンピュータでは，単純化，算術演算(論理演算も)が簡単という点で $2$ 進法が採用されています．数値，文字，画像から音声まですべて $0$ と $1$ で表現する世界です(この1桁を1ビットといいます)．(高校数学で) $2$ 進法で $6$ を表現したい場合
$6=110_{(2)}$
のように $0$ と $1$ で表現し，添字として $(2)$ を付けて $2$ 進法であることを明記します( $10$ 進法の場合は特に明記しません)．この数字を基数(または底)といいます．
一方，このページのようにWebサイトの場合では色を $16$ 進法で表現します(カラーコード)．
これは何色ですか？？？
上の色は $1\rm{BE}0\rm {A}2$ という色です． $16$ 進法だと数字が足りないので $\rm A$ 〜 $\rm F$ まで追加して表現します．色は赤，緑，青(光の3原色)の組み合わせで表現します，それぞれが $00$ 〜 $\rm FF$ までの $16^{2}=256$ 通りの表現ができ(全体としては $256^{3}$ 通り)，上の色だと赤の要素が $1\rm{B}$，青の要素が $\rm{E}0$，緑の要素が $\rm {A}2$ という数値で色を対応させ組み合わせて表現しています．サイトを作る時にはredという単純な命令で色も出せますが，拘りたい時には上記のように表現します．
上のように $n$ 個の数字や文字で数を表現する方法を $\boldsymbol{n}$ 進法といい，高校数学では $6=110_{(2)}$ のような，$10$ 進法から $n$ 進法への基数変換，また逆に $110_{(2)}=6$ のように $n$ 進法から $10$ 進法への基数変換の方法を学びます．
$n$ 進法から $10$ 進法への基数変換
$10$ 進法で $abc$ という3桁の数は，左から順に $10^{2}$ の位，$10$ の位，$1$ の位なので
$abc=a\cdot 10^{2}+b\cdot10+c$
とできます．
$2$ 進法で $abc_{(2)}$ という3桁の数は，左から順に $2^{2}$ の位，$2$ の位，$1$ の位と解釈できるので
$abc_{(2)}=a\cdot 2^{2}+b\cdot2+c$
とできます．
先ほどの $110_{(2)}$ ならば
$110_{(2)}=1\cdot 2^{2}+1\cdot2+0=6$
として $10$ 進法の数に変換できますね．以下でまとめます．
ポイント
$n$ 進法から $10$ 進法への基数変換
$n$ 進法で $abc_{(n)}$ という3桁の数は
$\boldsymbol{abc_{(n)}=a\cdot n^{2}+b\cdot n+c}$
として $10$ 進法に計算できる．
※ 4桁以上でも同様です．
次章では逆の操作方法を扱います．
$10$ 進法から $n$ 進法への基数変換
$10$ 進法で $N$ という数を，$n$ 進法で $\cdots dcba_{(n)}$ とできるとすると
$\begin{align}N&=\cdots cba_{(n)} \\ &=a+b\cdot n+c\cdot n^{2}+d\cdot n^{3}+\cdots\end{align}$
とできます．第2項以降は $n$ の倍数なので，$a$ は $N$ を $n$ で割った余りだとわかります．
両辺 $a$ を引いて $n$ で割ると
$\dfrac{N-a}{n}=b+c\cdot n+d\cdot n^{2}+\cdots$
となるので，同様に第2項以降は $n$ の倍数なので，$b$ は $\dfrac{N-a}{n}$ (これは $N$ を $n$ で割った商です)を $n$ で割った余りだとわかります．
これを繰り返していくと，$a$，$b$，$c$，$d$，$\cdots$ が求められますね．これを機械的に行う処理として，例えば $10$ 進法で $6$ という数を $2$ 進法に変換するには以下のように
$6=1\cdot 2^{2}+1\cdot2+0=110_{(2)}$
上のように割れなくなるまで余りをメモし，最後の商から順に余りを並べていくと算出できます．
ポイント
$10$ 進法から $n$ 進法への基数変換
$10$ 進法で $N$ という数を，$n$ 進法で表現したいとき
$\boldsymbol{N}$ を $\boldsymbol{n}$ で割った余りメモし，また商を $\boldsymbol{n}$ で割った余りメモしを繰り返し，最後の商から順に余りを並べていく
例題と練習問題
例題
例題
(1) $241_{(5)}$ を $10$ 進法で表せ．
(2) $50$ を $3$ 進法で表せ．
講義
(1)では左から順に $5^{2}$ の位，$5$ の位，$1$ の位と解釈して計算します．(2)ではひたすら $3$ で割って余りをメモしていきます．
解答
(1)
$241_{(5)}$
$=2\cdot 5^{2}+4\cdot5+1$
$=\boldsymbol{71}$
(2)
$50=\boldsymbol{1212_{(3)}}$
練習問題
練習
(1) $345_{(6)}$ を $10$ 進法で表せ．
(2) $10110_{(2)}$ を $10$ 進法で表せ．
(3) $52$ を $2$ 進法で表せ．
(4) $777$ を $7$ 進法で表せ．
解答
(1)
$345_{(6)}$
$=3\cdot 6^{2}+4\cdot6+5$
$=\boldsymbol{137}$
(2)
$10110_{(2)}$
$=1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2+0$
$=\boldsymbol{22}$
(3)
$51=\boldsymbol{110100_{(2)}}$
(4)
$777=\boldsymbol{2160_{(7)}}$