イェンセンの不等式
数学Ⅲ既習者(難関大対策＋) ★★★
イェンセンの不等式に関して解説し，大学入試における関連問題を扱います．
イェンセンの不等式とその証明
関数の凹凸と変曲点で，関数が下に凸であることの定義や性質を扱いました．下に凸な関数において以下の不等式が成り立ちます．
イェンセンの不等式
区間 $I$ で定義された関数 $f(x)$ について，次の2つは同値である．
(A) 区間 $I$ で下に凸である．すなわち区間 $I$ の任意の2点 $a$，$b$，任意の $0< t<1$ に対して $f(ta+(1-t)b)\leqq tf(a)+(1-t)f(b)$ を満たす．
(B) $x_{1}，x_{1}，\cdots，x_{n}\in I$，$t_{1}>0$，$t_{1}>0$，$\cdots$，$t_{n}>0$，$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}t_{i}=1$ を満たす実数に対して
$\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)\leqq \sum_{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})$
が成り立つ．等号成立は $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}$ のとき．
※ (A)の不等式の $\leqq$ を $<$ に変えたものを狭義の下に凸ということがあります．その場合(A)は広義の下に凸と言います．
主に大学以降での下に凸の定義である(A)と，イェンセンの不等式と呼ばれる(B)が同値であることを確認できます．関数が下に凸(凸関数と呼ばれたりします)ならば(B)の不等式が適用できます．
ちなみに上に凸の場合は(A)と(B)の符号を変えたものになります．
例えば，(相加平均) ≧ (相乗平均) (n変数)を導くのに使います．
証明
証明は数学的帰納法を使います．
証明
(A) $\Longrightarrow$ (B)の証明
(ⅰ) $n=1$ のとき
$t_{1}=1$ より $f(t_{1}x_{1})=f(x_{1})\leqq f(x_{1})=t_{1}f(x_{1})$ から成立．
(ⅱ) $n=k$ のとき成り立つと仮定する．
$n=k+1$ のとき
$\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^{k+1}t_{i}x_{i}\right)$
$\displaystyle =f\left(\sum_{i=1}^{k}t_{i}x_{i}+t_{k+1}x_{k+1}\right)$
$\displaystyle =f\left((1-t_{k+1})\sum_{i=1}^{k}\dfrac{t_{i}}{1-t_{k+1}}x_{i}+t_{k+1}x_{k+1}\right)$
$\displaystyle \leqq (1-t_{k+1})f\left(\sum_{i=1}^{k}\dfrac{t_{i}}{1-t_{k+1}}x_{i}\right)+t_{k+1}f(x_{k+1})$
$\displaystyle \leqq(1-t_{k+1})\left(\sum_{i=1}^{k}\dfrac{t_{i}}{1-t_{k+1}}f(x_{i})\right)+t_{k+1}f(x_{k+1})$
$\displaystyle =\sum_{i=1}^{k}t_{i}f(x_{i})+t_{k+1}f(x_{k+1})$
$\displaystyle =\sum_{i=1}^{k+1}t_{i}f(x_{i})$
よってこのときも成立．
(ⅰ)(ⅱ)よりすべての自然数 $n$ に関して与式が成立．
(B) $\Longrightarrow$ (A)の証明
(B) で $n=2$，$t_{1}=t$，$t_{2}=1-t$ とすれば(A)となる．
練習問題
練習
実数 $a>0$ 対して，$f(a)=\dfrac{1}{a}$ と表すとき，以下の問いに答えよ．
(1) $0<a<b$ のとき，次の不等式を証明せよ．
$\dfrac{f(a)+f(b)}{2}>f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$
(2) $0<a<b$，$0<w<1$ のとき，次の不等式を証明せよ．
$wf(a)+(1-w)f(b)>f\left(wa+(1-w)b\right)$
(3) $0<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n}$ のとき，$n\geqq 2$ に対して次の不等式が成り立つ．
$\displaystyle \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(a_{i})>f\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)$
このことを数学的帰納法で証明せよ．
練習の解答 出典：2007青山学院大経済学部
(1)は(2)で $w=\dfrac{1}{2}$ とした場合なので(2)を示せば(1)を示したことになります．
(2)
$wf(a)+(1-w)f(b)-f\left(wa+(1-w)b\right)$
$=\dfrac{w}{a}+\dfrac{1-w}{b}-\dfrac{1}{wa+(1-w)b}$
$=\dfrac{wb(wa+(1-w)b)+(1-w)a(wa+(1-w)b)-ab}{ab(wa+(1-w)b)}$
$=\dfrac{w^{2}ab+w(1-w)b^{2}+w(1-w)a^{2}+(1-w)^{2}ab-ab}{ab(wa+(1-w)b)}$
$=\dfrac{(2w^{2}-2w)ab+w(1-w)(a^{2}+b^{2})}{ab(wa+(1-w)b)}$
$=\dfrac{w(1-w)(a^{2}+b^{2}-2ab)}{ab(wa+(1-w)b)}$
$=\dfrac{w(1-w)(a-b)^{2}}{ab(wa+(1-w)b)}>0$
$\therefore \ wf(a)+(1-w)f(b)>f\left(wa+(1-w)b\right)$
(3)
(ⅰ) $n=2$ のとき $a_{1}=a$，$a_{2}=b$ とおくと(1)より成立．
(ⅱ) $n=k$ のとき成り立つと仮定する．
$n=k+1$ のとき
$\displaystyle f\left(\dfrac{1}{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}a_{i}\right)$
$\displaystyle =f\left(\dfrac{1}{k+1}\sum_{i=1}^{k}a_{i}+\dfrac{1}{k+1}a_{k+1}\right)$
$\displaystyle =f\left(\dfrac{k}{k+1}\cdot\dfrac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}a_{i}+\dfrac{1}{k+1}a_{k+1}\right)$
$\displaystyle <\dfrac{k}{k+1}f\left(\dfrac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}a_{i}\right)+\dfrac{1}{k+1}f(a_{k+1}) \ (\because (2))$
$\displaystyle <\dfrac{k}{k+1}\cdot\dfrac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}f(a_{i})+\dfrac{1}{k+1}f(a_{k+1})$
$\displaystyle =\dfrac{1}{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}f(a_{i})$
よってこのときも成立．
(ⅰ)(ⅱ)より $2$ 以上の自然数 $n$ に関して与式が成立．