定積分で表された関数の微分
積分(数学Ⅱ，Ⅲ)(教科書範囲) ★★
数学Ⅱ，数学Ⅲ共通ページです．
定積分で表された関数の微分について扱います．
数学Ⅱは基本的に多項式関数を，数学Ⅲはすべての関数，また積分範囲も多様なものを扱います．
数学Ⅱの積分を勉強中の方は，2章までです．
定積分で表された関数の微分の解き方
$\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}(t^{2}-t)\,dt$ $\cdots$ ①
上の関数で $f'(x)$ を求めたいとき，$f(x)$ の正体を積分計算して出してから微分してもいいですが，わざわざ積分して微分するのは面倒な感じがします．
一般に
$\displaystyle f(x)=\int_{a}^{x}g(t)\,dt$
として，$g(x)$ の原始関数の1つを $G(x)$ とすると
$\displaystyle f(x)=\int_{a}^{x}g(t)\,dt=G(x)-G(a)$
と表記できるので，$x$ で最左辺と最右辺を微分すると
$\displaystyle f'(x)=g(x)-0=g(x)$
となります．つまり①の場合，$f'(x)=x^{2}-x$ となります．
定積分で表された関数の導関数の求め方
$\displaystyle f(x)=\int_{a}^{x}g(t)\,dt$ のように積分の中身を仮に $g(t)$ などとおき，$f(x)=G(x)-G(a)$ と表して両辺微分する．
数Ⅲでの注意
数Ⅲの場合，定積分の上端あるいは下端に $x$ 以外の $x$ の式がある場合がよくあるので，合成関数の微分を意識して微分します．
例題と練習問題(数学Ⅱ)
例題
例題
次の関数を微分せよ．
$\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}(t^{2}-t+3)\,dt$
講義
$\displaystyle g(t)=t^{2}-t+3$ などとおき，原始関数の1つを $G(t)$ とする．
解答
$\displaystyle g(t)=t^{2}-t+3$ とおき，原始関数の1つを $G(t)$ とすると
$\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}g(t)\,dt=G(x)-G(1)$
両辺微分すると
$\displaystyle \boldsymbol{f'(x)}=g(x)-0\boldsymbol{=x^{2}-x+3}$
※ 最初から $f'(x)=x^{2}-x+3$ としてもOKです．しかし次の章の数Ⅲの場合に上のような癖があると安全です．
※ $G(1)$ は定数なので $x$ で微分すると $0$ になりますね．
練習問題
練習1
次の関数の最小をとる $x$ の値を求めよ．
$\displaystyle f(x)=\int_{-1}^{x}(t-2)\,dt$
練習1の解答
$\displaystyle g(t)=t-2$ とおき，原始関数の1つを $G(t)$ とすると
$\displaystyle f(x)=\int_{-1}^{x}g(t)\,dt=G(x)-G(-1)$
両辺微分すると
$\displaystyle f'(x)=g(x)-0=x-2$
増減表は
| $x$ | $\cdots$ | $2$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↘︎ | $f(2)$ | ↗︎ |
$\boldsymbol{x=2}$ のとき最小をとる．
※ 積分して2次関数にしてもいいですが，導関数がすぐわかるので最小をとる $x$ の値だけなら増減表からすぐわかります．
例題と練習問題(数学Ⅲ)
例題
例題
次の関数を微分せよ．
(1) $\displaystyle f(x)=\int_{\pi}^{x}(x-t)\cos t\,dt$
(2) $\displaystyle f(x)=\int_{2x}^{x^{2}}te^{t}\,dt$
講義
(1)は積分の中身が，関数の主役である $x$ と積分の主役である $t$ が混在しているので注意です．$x$ を積分の外にはじき出してから微分します．(2)は $\displaystyle g(t)=te^{t}$ などとおき，原始関数の1つである $G(t)$ を利用するとわかりやすいです．
解答
(1)
$\displaystyle f(x)$
$\displaystyle =\int_{\pi}^{x}(x-t)\cos t\,dt$
$\displaystyle =x\int_{\pi}^{x}\cos t\,dt-\int_{\pi}^{x}t\cos t\,dt$
$f'(x)$
$\displaystyle =(x)'\int_{\pi}^{x}\cos t\,dt+x\left(\int_{\pi}^{x}\cos t\,dt\right)'-\left(\int_{\pi}^{x}t\cos t\,dt\right)'$
$\displaystyle =\int_{\pi}^{x}\cos t\,dt+x\cos x-x\cos x$
$\displaystyle =\Bigl[\sin t\Bigr]_{\pi}^{x}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\sin x}$
※ $\displaystyle x\int_{\pi}^{x}\cos t\,dt$ は ( $x$ の関数)×( $x$ の関数)になるので，微分をするときは積の微分公式を適用します．
(2)
$\displaystyle g(t)=te^{t}$ とおき，原始関数の1つを $G(t)$ とすると
$\displaystyle f(x)=\int_{2x}^{x^2}g(t)\,dt=G(x^2)-G(2x)$
両辺微分すると
$\displaystyle \boldsymbol{f'(x)}=g(x^2)2x-g(2x)2\boldsymbol{=2x^{3}e^{x^2}-4xe^{2x}}$
※ 微分をするときは合成関数の微分公式を適用します．
練習問題
練習2
次の関数を微分せよ．
$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}(x-t)^{2}e^{-t}\,dt$
練習3
正の実数 $x$ に対して，$\displaystyle f(x)=\int_{x}^{2x}t\log t\,dt$ とおく．$f(x)$の最小値を与える $x$ を求めよ．
練習2の解答
$\displaystyle f(x)$
$\displaystyle =\int_{0}^{x}(x^{2}-2xt+t^{2})e^{-t}\,dt$
$\displaystyle =x^{2}\int_{0}^{x}e^{-t}\,dt-2x\int_{0}^{x}te^{-t}\,dt+\int_{0}^{x}t^{2}e^{-t}\,dt$
$f'(x)$
$\displaystyle =2x\int_{0}^{x}e^{-t}\,dt+x^{2}e^{-x}-2\int_{0}^{x}te^{-t}\,dt-2x^{2}e^{-x}+x^{2}e^{-x}$
$\displaystyle =2x\int_{0}^{x}e^{-t}\,dt-2\int_{0}^{x}te^{-t}\,dt$ $\cdots$ ①
$f''(x)$
$\displaystyle =2\int_{0}^{x}e^{-t}\,dt+2xe^{-x}-2xe^{-x}$
$\displaystyle =2\Bigl[-e^{-t}\Bigr]_{0}^{x}$
$\displaystyle =-2e^{-x}+2$
これを不定積分すると
$f'(x)=2e^{-x}+2x+C$
①と上の式に $x=0$ を代入して $f'(0)=0=2+C$ より $C=-2$ なので
$\boldsymbol{f'(x)=2e^{-x}+2x-2}$
※ ①で直接積分する方法でももちろんOKです．
練習3の解答
$\displaystyle g(t)=t\log t$ とおき，原始関数の1つを $G(t)$ とすると
$\displaystyle f(x)=\int_{x}^{2x}g(t)\,dt=G(2x)-G(x)$
両辺微分すると
$f'(x)$
$=g(2x)2-g(x)$
$=4x\log 2x-x\log x$
$=x\log\dfrac{16x^{4}}{x}$
$=x\log 16x^{3}$
| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $\dfrac{1}{2^{\frac{4}{3}}}$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $×$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $×$ | ↘︎ | ↗︎ |
$\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2^{\frac{4}{3}}}}$ のとき最小をとる．