円順列
場合の数(教科書範囲) ★★
円順列を扱います．
特に対象となるものがすべて異なる場合を扱います．同じものを含む円順列は高度なのでこのページでは扱いません．
じゅず順列はこのページでは扱いません．
円順列の問題の考え方
例
黒，赤，青，緑の $4$ 色の玉を円状に並べるのは何通りか．
円順列の問題のポイントは，回転して同じものは同じ並べ方としてみるという点にあります．
それを踏まえると，以下の $6$ 通りになります．
問題を解く上で，回転されると手に負えないので，回転を止めて考えるのがポイントになります．
黒が上にあるときで固定して，回転を止めてみます．
固定すればもう回転はしないので，残りの赤青緑の3個の順列の問題になります．$3$ 個の順列なので $3!=6$ 通りです．
円順列の問題の解き方
何かで固定して(回転を止めて)，残されたものの普通の順列の問題として考える．
異なる $n$ 個の円順列は，回転を止めるための固定に1個使うと，残りの $n-1$ 個の順列になるので
$(n-1)!$ 通り
※この公式を丸暗記しただけでは応用問題に対応できないので注意．
※固定して回転を止める考え方がオススメです．固定した後は円順列の問題ではなくなります．
例題と練習問題
例題
例題
父親，母親，子供 $4$ 人(男子 $2$ 人，女子 $2$ 人)の合計 $6$ 人を円状に並べるとき，次の場合は何通りか．
(1) 条件なし
(2) 両親が隣り合って並ぶ
(3) 両親が向かい合わせに並ぶ
(4) 男女が交互に並ぶ
講義
何かで固定して(下の解答では主に父親にします)，残されたものの普通の順列の問題として考えます．
解答
(1)
$1$ 人固定すれば残り $5$ 人の順列になるので
$5!=\boldsymbol{120}$ (通り)
(2)
一旦両親を $1$ 人とみて両親で固定．両親の並べ方は $2!$ 通り．残り $4$ 人の順列になるので
$2!\times 4!=\boldsymbol{48}$ (通り)
(3)
父を上で固定すると，母もつられて固定．残り $4$ 人の順列になるので(円状に見えますが回転は止まっているので順列です!)
$4!=\boldsymbol{24}$ (通り)
(4)
父を上に固定．青い箇所に子供(男子)を並べるのは $2!$ 通り．赤い箇所に女性を並べるのは $3!$ 通りになるので
$2!\times 3!=\boldsymbol{12}$ (通り)
練習問題
練習
父親，母親，子供 $6$ 人(男子 $3$ 人，女子 $3$ 人)の合計 $8$ 人を円状に並べるとき，次の場合は何通りか．
(1) 条件なし
(2) 両親が隣り合って並ぶ
(3) 両親が向かい合わせに並ぶ
(4) 男女が交互に並ぶ
(5) 女性が $3$ 人以上隣り合うように並ぶ
練習の解答
(1) $7!=\boldsymbol{5040}$ (通り)
(2) 一旦両親を $1$ 人とみて両親で固定．両親の並べ方は $2!$ 通り．残り $6$ 人の順列になるので
$2!\times 6!=\boldsymbol{1440}$ (通り)
(3)
父を上で固定すると，母もつられて固定．残り $6$ 人の順列になるので
$6!=\boldsymbol{720}$ (通り)
(4)
父を上に固定．青い箇所に子供(男子)を並べるのは $3!$ 通り．赤い箇所に女性を並べるのは $4!$ 通りになるので
$3!\times 4!=\boldsymbol{144}$ (通り)
(5)
(ⅰ) 女性が $3$ 人隣り合うとき
以上の $3$ パターン．隣り合う女性の並べ方が $_{4}{\rm P}_{3}$ 通り．男性の並べ方が $4!$ 通りなので
$3\times _{4}{\rm P}_{3} \times 4!=1728$
(ⅱ) 女性が $4$ 人隣り合うとき
女性 $4$ 人で固定．女性の並べ方は $4!$ 通り．男性の並べ方が $4!$ 通りなので
$4!\times 4!=576$
(ⅰ)(ⅱ)より $1728+576=\boldsymbol{2304}$ (通り)