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円順列(基本編)

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


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このページでは,円順列について解説します.

特に,対象となるものがすべて異なる(区別できる)場合の基本編です.

じゅず順列はこのページでは扱いません.





円順列の問題の考え方

黒,赤,青,緑の4色の玉を円状に並べるのは何通りか.


円順列の問題のポイントは,回転して同じものは同じ並べ方としてみるという点にあります.

それを踏まえると,以下の6通りになります.

問題を解く上で,回転されると手に負えないので,回転を止めて考えるのがポイントになります.

黒が上にあるときで固定して,回転を止めてみます.

固定 固定 固定 固定 固定 固定

黒で固定すればもう回転はしないので,残りの赤青緑の3個の順列の問題になります.3個の順列なので $3!=6$ 通りです.



ポイント

円順列の問題の解き方

何かで固定して(回転を止めて),残されたものの普通の順列の問題として考える.

異なる $n$ 個の円順列は,回転を止めるための固定に1個使うと,残りの $n-1$ 個の順列になるので

$(n-1)!$ 通り

※この公式を丸暗記しただけでは応用問題に対応できないので注意.

※固定して回転を止める考え方がオススメです.固定した後は円順列の問題ではなくなります.





例題と練習問題

例題

例題

父親,母親,子供4人(男子2人,女子2人)の合計6人を円状に並べるとき,次の場合は何通りか.

(1) 条件なし

(2) 両親が隣り合って並ぶ

(3) 両親が向かい合わせに並ぶ

(4) 男女が交互に並ぶ


講義

何かで固定して(下の解答では主に父親にします),残されたものの普通の順列の問題として考えます.


解答

(1)

固定

1人固定すれば残り $5$ 人の順列になるので

$5!=\boldsymbol{120}$ 通り


(2)

両親 固定

一旦両親を1人とみて両親で固定.両親の並べ方は $2!$ 通り.残り $4$ 人の順列になるので

$2!\times 4!=\boldsymbol{48}$ 通り


(3)

固定 固定

父を上で固定すると,母もつられて固定.残り $4$ 人の順列になるので(円状に見えますが回転は止まっているので順列です!)

$4!=\boldsymbol{24}$ 通り


(4)

固定

父を上に固定.青い箇所に子供(男子)を並べるのは $2!$ 通り.赤い箇所に女性を並べるのは $3!$ 通りになるので

$2!\times 3!=\boldsymbol{12}$ 通り



練習問題

練習

父親,母親,子供6人(男子3人,女子3人)の合計8人を円状に並べるとき,次の場合は何通りか.

(1) 条件なし

(2) 両親が隣り合って並ぶ

(3) 両親が向かい合わせに並ぶ

(4) 男女が交互に並ぶ

(5) 女性が3人以上隣り合うように並ぶ

練習の解答



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