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円順列

場合の数(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

円順列について解説します.

特に,対象となるものがすべて異なる(区別できる)場合を扱います.

じゅず順列はこのページでは扱いません.



円順列の問題の考え方

黒,赤,青,緑の $4$ 色の玉を円状に並べるのは何通りか.


円順列の問題のポイントは,回転して同じものは同じ並べ方としてみるという点にあります.

それを踏まえると,以下の $6$ 通りになります.

問題を解く上で,回転されると手に負えないので,回転を止めて考えるのがポイントになります.

黒が上にあるときで固定して,回転を止めてみます.

固定 固定 固定 固定 固定 固定

固定すればもう回転はしないので,残りの赤青緑の3個の順列の問題になります.$3$ 個の順列なので $3!=6$ 通りです.

ポイント

円順列の問題の解き方

何かで固定して(回転を止めて),残されたものの普通の順列の問題として考える.

異なる $n$ 個の円順列は,回転を止めるための固定に1個使うと,残りの $n-1$ 個の順列になるので

$(n-1)!$ 通り

※この公式を丸暗記しただけでは応用問題に対応できないので注意.

※固定して回転を止める考え方がオススメです.固定した後は円順列の問題ではなくなります.


例題と練習問題

例題

例題

父親,母親,子供 $4$ 人(男子 $2$ 人,女子 $2$ 人)の合計 $6$ 人を円状に並べるとき,次の場合は何通りか.

(1) 条件なし

(2) 両親が隣り合って並ぶ

(3) 両親が向かい合わせに並ぶ

(4) 男女が交互に並ぶ


講義

何かで固定して(下の解答では主に父親にします),残されたものの普通の順列の問題として考えます.


解答

(1)

固定

$1$ 人固定すれば残り $5$ 人の順列になるので

$5!=\boldsymbol{120}$ (通り)


(2)

両親 固定

一旦両親を $1$ 人とみて両親で固定.両親の並べ方は $2!$ 通り.残り $4$ 人の順列になるので

$2!\times 4!=\boldsymbol{48}$ (通り)


(3)

固定 固定

父を上で固定すると,母もつられて固定.残り $4$ 人の順列になるので(円状に見えますが回転は止まっているので順列です!)

$4!=\boldsymbol{24}$ (通り)


(4)

固定

父を上に固定.青い箇所に子供(男子)を並べるのは $2!$ 通り.赤い箇所に女性を並べるのは $3!$ 通りになるので

$2!\times 3!=\boldsymbol{12}$ (通り)

練習問題

練習

父親,母親,子供 $6$ 人(男子 $3$ 人,女子 $3$ 人)の合計 $8$ 人を円状に並べるとき,次の場合は何通りか.

(1) 条件なし

(2) 両親が隣り合って並ぶ

(3) 両親が向かい合わせに並ぶ

(4) 男女が交互に並ぶ

(5) 女性が $3$ 人以上隣り合うように並ぶ

練習の解答

(1) $7!=\boldsymbol{5040}$ (通り)


(2) 一旦両親を $1$ 人とみて両親で固定.両親の並べ方は $2!$ 通り.残り $6$ 人の順列になるので

$2!\times 6!=\boldsymbol{1440}$ (通り)


(3)

固定 固定

父を上で固定すると,母もつられて固定.残り $6$ 人の順列になるので

$6!=\boldsymbol{720}$ (通り)


(4)

固定

父を上に固定.青い箇所に子供(男子)を並べるのは $3!$ 通り.赤い箇所に女性を並べるのは $4!$ 通りになるので

$3!\times 4!=\boldsymbol{144}$ (通り)


(5)

(ⅰ) 女性が $3$ 人隣り合うとき

女性3人 女性 固定 女性3人 女性 固定 女性3人 女性 固定

以上の $3$ パターン.隣り合う女性の並べ方が $_{4}{\rm P}_{3}$ 通り.男性の並べ方が $4!$ 通りなので

$3\times _{4}{\rm P}_{3} \times 4!=1728$

(ⅱ) 女性が $4$ 人隣り合うとき

女性4人 固定

女性 $4$ 人で固定.女性の並べ方は $4!$ 通り.男性の並べ方が $4!$ 通りなので

$4!\times 4!=576$

(ⅰ)(ⅱ)より $1728+576=\boldsymbol{2304}$ (通り)