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じゅず順列

場合の数(入試の標準) ★★


アイキャッチ

じゅず順列について解説します.円順列の知識が必要です.

定期テストではよく見かけますが,入試の出題頻度は低いです.



じゅず順列の問題の考え方

黒,赤,青,緑の4色の玉をじゅず状に並べるのは何通りか.


じゅず順列では,$3$ 次元空間内の輪として同じものは同じ並べ方としてみます.つまり円順列において,裏返して同じものは同じ並べ方とします

それを踏まえると,以下の $3$ 通りになります.

空間内を回転されると厄介ですが,考え方は簡単で,円順列を基準に考えます.

円順列において

の2つは,裏返しにすると同じ関係にあります.上の $2$ つは,$3$ 次元空間内の輪としてはどちらも

の $1$ 通りになります.

つまり,円順列において裏返しになると同じになる $2$ 通りは,じゅず順列では $1$ 通りになると考えられます.円順列の例の計算を使えば

$3!\div 2=3$ 通り

です.

ポイント

じゅず順列の問題の解き方

円順列をまず計算して,表裏が同じになるものを $1$ 通りとしてカウントする.

異なる $n$ 個のじゅず順列は,円順列が $(n-1)!$ 通りあり,この中の $2$ 通りが輪にすると $1$ 通りとなるので

$\dfrac{(n-1)!}{2}$ 通り

※この公式を丸暗記しただけでは応用問題に対応できないので注意.

※同じものを含む場合,場合分けが必要になり高度になります.

例題と練習問題

例題

例題

異なる $7$ 色の玉を使って,ブレスレットを作るのは何通りか.


講義

並べるものがすべて異なるので,上の公式を使います.


解答

 $6! \div 2=\boldsymbol{360}$ (通り)

練習問題

練習

黒,白,赤,青,緑,黄色の $6$ 色を使ってブレスレットを作る.

(1) 全部で何通りできるか.

(2) 黒と白が隣同士になるのは何通りできるか.

解答

(1) $5! \div 2=\boldsymbol{60}$ (通り)


(2) まず円順列を考える.黒と白を入れる場所を☆にして固定.

固定

☆に黒と白を並べるのは $2!$ 通り.残りの並べ方が $4!$ 通り.そして円順列の $2$ 通りがブレスレットにすると1通りになるので

$2!\times 4!\div2=\boldsymbol{24}$ (通り)