じゅず順列

場合の数(入試の標準)　★★

じゅず順列について解説します．円順列の知識が必要です．

定期テストではよく見かけますが，入試の出題頻度は低いです．

じゅず順列の問題の考え方

例

黒，赤，青，緑の4色の玉をじゅず状に並べるのは何通りか．

じゅず順列では，$3$ 次元空間内の輪として同じものは同じ並べ方としてみます．つまり円順列において，裏返して同じものは同じ並べ方とします．

それを踏まえると，以下の $3$ 通りになります．

空間内を回転されると厄介ですが，考え方は簡単で，円順列を基準に考えます．

円順列において

の2つは，裏返しにすると同じ関係にあります．上の $2$ つは，$3$ 次元空間内の輪としてはどちらも

の $1$ 通りになります．

つまり，円順列において裏返しになると同じになる $2$ 通りは，じゅず順列では $1$ 通りになると考えられます．円順列の例の計算を使えば

$3!\div 2=3$ 通り

です．

じゅず順列の問題の解き方

円順列をまず計算して，表裏が同じになるものを $1$ 通りとしてカウントする．

異なる $n$ 個のじゅず順列は，円順列が $(n-1)!$ 通りあり，この中の $2$ 通りが輪にすると $1$ 通りとなるので

$\dfrac{(n-1)!}{2}$ 通り

※この公式を丸暗記しただけでは応用問題に対応できないので注意．

※同じものを含む場合，場合分けが必要になり高度になります．

異なる $7$ 色の玉を使って，ブレスレットを作るのは何通りか．

講義

並べるものがすべて異なるので，上の公式を使います．

解答

　$6! \div 2=\boldsymbol{360}$ (通り)

練習

黒，白，赤，青，緑，黄色の $6$ 色を使ってブレスレットを作る．

(1) 全部で何通りできるか．

(2) 黒と白が隣同士になるのは何通りできるか．

解答

(1) $5! \div 2=\boldsymbol{60}$ (通り)

(2) まず円順列を考える．黒と白を入れる場所を☆にして固定．

☆に黒と白を並べるのは $2!$ 通り．残りの並べ方が $4!$ 通り．そして円順列の $2$ 通りがブレスレットにすると1通りになるので

$2!\times 4!\div2=\boldsymbol{24}$ (通り)