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じゅず順列(基本編)

タイプ:入試の標準 レベル:★★ 


アイキャッチ

このページでは,じゅず順列について解説します.円順列(基本編)の知識が必要です.

定期テストではよく見かけますが,入試の出題頻度は低いです.





じゅず順列の問題の考え方

黒,赤,青,緑の4色の玉をじゅず状に並べるのは何通りか.


じゅず順列では,3次元空間内の輪として同じものは同じ並べ方としてみます.つまり円順列において,裏返して同じものは同じ並べ方とします

それを踏まえると,以下の3通りになります.

空間内を回転されると厄介ですが,考え方は簡単で,円順列を基準に考えます.

円順列において

の2つは,裏返しにすると同じ関係にあります.上の2つは,3次元空間内の輪としてはどちらも

の1通りになります.

つまり,円順列において裏返しになると同じになる2通りは,じゅず順列では1通りになると考えられます.円順列(基本編)の例の計算を使えば

$3!\div 2=3$ 通り

です.



ポイント

じゅず順列の問題の解き方

円順列をまず計算して,表裏が同じになるものを1通りとしてカウントする.

異なる $n$ 個のじゅず順列は,円順列が $(n-1)!$ 通りあり,この中の2通りが輪にすると1通りとなるので

$\dfrac{(n-1)!}{2}$ 通り

※この公式を丸暗記しただけでは応用問題に対応できないので注意.

※同じものを含む場合,場合分けが必要になり高度になります.





例題と練習問題

例題

例題

異なる7色の玉を使って,ブレスレットを作るのは何通りか.


講義

並べるものがすべて異なるので,上の公式を使います.


解答

$6! \div 2=\boldsymbol{360}$ 通り



練習問題

練習

黒,白,赤,青,緑,黄色の6色を使ってブレスレットを作る.

(1) 全部で何通りできるか.

(2) 黒と白が隣同士になるのは何通りできるか.

練習の解答



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