中間値の定理
極限(教科書範囲) ★★
連続な関数について成立する中間値の定理の紹介を扱います．どうしても大学範囲になりますが証明も付けました．
中間値の定理とその証明
中間値の定理
関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続で，$f(a)\neq f(b)$ ならば，$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して
$a< c< b$，$f(c)=k$
を満たす実数 $c$ が少なくとも1つ存在する．
区間縮小法という考え方で示します．意欲的な方向けです．
証明
$f(a)< k < f(b)$ の場合と，$f(b)< k < f(a)$ の場合があるが，$f(a)< k < f(b)$ の場合のみ証明することで十分です．
$a_{1}=a$，$b_{1}=b$ とし，以下のように数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ を定義します．
$f\left(\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}\right) \leqq k$ のとき
$\begin{cases} a_{n+1}=\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2} \\ b_{n+1}=b_{n} \end{cases}$
$f\left(\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}\right) > k$ のとき
$\begin{cases} a_{n+1}=a_{n} \\ b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2} \end{cases}$
こう定義すると数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ は以下の(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)の3つの性質をもつ(後で示します)．
(Ⅰ) $a_{1}\leqq a_{2}\leqq \cdots\leqq a_{n} < b_{n}\leqq \cdots\leqq b_{2}\leqq b_{1}$
(Ⅱ) $b_{n}-a_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}(b-a)$
(Ⅲ) $f(a_{n})\leqq k < f(b_{n})$
有界な非減少(増加)列は収束するので，数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ は収束し，それぞれ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\alpha$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n}=\beta$ とする．
(Ⅱ)より
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n}=\lim_{n \to \infty}\left(a_{n}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}(b-a)\right)$
$\therefore \ \beta=\alpha$
ここで，$\beta=\alpha=c$ ととると，(Ⅲ)より $n \to \infty$ のとき
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}f(a_{n})=f(c)$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}f(b_{n})=f(c)$
より，$f(c)=k$．(証明終了)
※ 上の(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)は下で個別に示します．
まず(Ⅱ)の証明
$f\left(\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}\right) \leqq k$ のときも，$f\left(\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}\right) > k$ のときも
$b_{n+1}-a_{n+1}=\dfrac{b_{n}-a_{n}}{2}$
$\therefore \ b_{n}-a_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}(b-a)$
(Ⅰ)の証明
$f\left(\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}\right) \leqq k$ のとき
$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}=\dfrac{a_{n}+a_{n}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}(b-a)}{2}> a_{n}$
$b_{n+1}=b_{n}$
$f\left(\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}\right) > k$ のとき
$a_{n+1}=a_{n}$
$b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}=\dfrac{b_{n}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}(b-a)+b_{n}}{2}< b_{n}$
以上より，$a_{n+1}\geqq a_{n}$，$b_{n+1}\leqq b_{n}$．
また(Ⅱ)より，$b_{n} > a_{n}$．
これより(Ⅰ)が示された．
(Ⅲ)の証明
数学的帰納法で示す．
(ⅰ) $n=1$ のとき，成立は明らか．
(ⅱ) $n=m$ のとき，成り立つとする．
$f\left(\dfrac{a_{m}+b_{m}}{2}\right) \leqq k$ のとき
$f(a_{m+1})=f\left(\dfrac{a_{m}+b_{m}}{2}\right)\leqq k < f(b_{m})=f(b_{m+1})$
$f\left(\dfrac{a_{m}+b_{m}}{2}\right) > k$ のとき
$f(a_{m+1})=f(a_{m})\leqq k < f\left(\dfrac{a_{m}+b_{m}}{2}\right)=f(b_{m+1})$
より $n=m+1$ のときも，成り立つ
(ⅰ)(ⅱ)より，(Ⅲ)が示された．
証明は正確には大学範囲で，有界な非減少(増加)列は収束するという事実さえ認めることで，高校数学でも雰囲気が理解できるはずで，その点工夫しての証明です．
中間値の定理で $f(a)$ と $f(b)$ が異符号のとき
関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続で，$f(a)$ と $f(b)$ が異符号のとき
$a< c< b$，$f(c)=0$
を満たす実数 $c$ が少なくとも1つ存在する．
最初の中間値の定理で，$f(x)-k$ を違う関数に置き直せば，直ちに示される特殊ケースです．
方程式の解の存在証明などで，こちらの形での出番が多いと思います．
練習問題
練習
方程式 $\sin x=-x+1$ が $0<x <\dfrac{\pi}{2}$ の範囲に実数解をもつことを示せ．
練習の解答
$f(x)=\sin x+x-1$ とおく．
$f(x)$ は連続関数であり
$f(0)=-1 <0$
$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1+\dfrac{\pi}{2}-1=\dfrac{\pi}{2} >0$
から，中間値の定理より $0<x <\dfrac{\pi}{2}$ の範囲に実数解をもつ．
※ 中間値の定理よりというフレーズはなくてもいいと思います．