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中間値の定理とその証明

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

連続な関数について成立する中間値の定理の紹介と,どうしても大学範囲になりますが証明を付けました.





中間値の定理とその証明

ポイント

中間値の定理

中間値の定理

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続で,$f(a)\neq f(b)$ ならば,$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して

$a< c< b$,$f(c)=k$

を満たす実数 $c$ が少なくとも1つ存在する.


高校では,証明が厳しいので事実のみ扱われることが多い定理です.



証明

正確には大学範囲なので以下に格納します.

しかし,有界な非減少(増加)列は収束するという事実さえ認めることで,高校数学でも雰囲気が理解できるはずです.なんとかその点工夫して書きました.

区間縮小法という考え方で示します.意欲的な方向けです.

証明



ポイント

中間値の定理で $f(a)$ と $f(b)$ が異符号のとき

中間値の定理2

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続で,$f(a)$ と $f(b)$ が異符号のとき

$a< c< b$,$f(c)=0$

を満たす実数 $c$ が少なくとも1つ存在する.


最初の中間値の定理で,$f(x)-k$ を違う関数に置き直せば,直ちに示される特殊ケースです.

方程式の解の存在証明などで,こちらの形での出番が多いと思います.




練習問題

練習

方程式 $\sin x=-x+1$ が $0<x <\dfrac{\pi}{2}$ の範囲に実数解をもつことを示せ.

練習の解答



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