コーシー・シュワルツの不等式
ベクトル既習者(難関大対策＋) ★★★
コーシー・シュワルツの不等式を扱います．
高校数学では主に問題を解く道具として使いますが，相関係数の範囲が $-1\leqq r \leqq 1$ である証明等にも使われたりする不等式です．
ベクトル既習者が対象です．
コーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式はそこまで入試で出題されるわけではないので，公式を丸暗記しなくていいと思います．
コーシー・シュワルツの不等式
$\displaystyle \boldsymbol{\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\geqq\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}}$
証明
関数 $f_{i}(x)=(a_{i}x-b_{i})^{2} \ (i=1,2,\cdots,n)$ を $i=1,2,\cdots,n$ まで足すと
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(a_{i}x-b_{i})^{2}$
$\displaystyle =\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)x^{2}-2\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)x+\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\geqq 0$
より，判別式が $0$ 以下なので
$\displaystyle \dfrac{D}{4}=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\leqq 0$
$\therefore \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\geqq\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}$
証明も暗記をする必要はないのではないかと思います．
上の左辺はベクトルの大きさの $2$ 乗の積，右辺は内積の $2$ 乗になっていることに気が付きます．
受験生の場合は，$n=2$，$3$ のときはベクトルの内積の定義から簡単に導けることを覚えていればいいと思います．
コーシー・シュワルツの不等式で $n=2$，$3$ のとき
$\displaystyle \boldsymbol{\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)\geqq\left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\right)^{2}}$
$\displaystyle \boldsymbol{\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}\right)\geqq\left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\right)^{2}}$
先ほどの証明以外の証明
$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta$
を両辺 $2$ 乗して整理して
$\cos^{2}\theta=\dfrac{(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b})^{2}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}}\leqq 1$
$\therefore \ |\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}\geqq (\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b})^{2}$
等号成立は $\cos\theta=\pm1$ すなわち $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut a}}$ と $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut b}}$ が平行になるときです．
例題と練習問題
例題
例題
実数 $x$，$y$，$z$ が条件 $x+2y+3z=1$ をみたすとき，$x^{2}+4y^{2}+9z^{2}$ の最小値とそれを与える $x$，$y$，$z$ の値を求めよ．
講義
コーシー・シュワルツの不等式を覚えていない(導く)前提の答案を書いてみます．
解答
$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta$
を両辺 $2$ 乗して整理して
$\cos^{2}\theta=\dfrac{(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b})^{2}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}}\leqq 1$
$\therefore \ |\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}\geqq (\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b})^{2}$
ここで，$\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}x \\ 2y \\ 3z\end{pmatrix}$ とすると
$3(x^{2}+4y^{2}+9z^{2})\geqq (x+2y+3z)^{2}=1$
$\therefore \ x^{2}+4y^{2}+9z^{2}\geqq \dfrac{1}{3}$
等号成立は $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ が平行かつ $x+2y+3z=1$ をみたす $\boldsymbol{x=\dfrac{1}{3}}$，$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{6}}$，$\boldsymbol{z=\dfrac{1}{9}}$ のとき．このとき最小値 $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$
※ ちなみにコーシー・シュワルツの不等式を使わないなら，文字を消去して平方完成をする手段が考えられますが大変です．
練習問題
練習
$x$，$y$，$z$ が任意の実数値をとるとき
$x+y+z\leqq a\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
が常に成立する．このとき，定数 $a$ の最小値を求めよ．
練習の解答
$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta$
を両辺 $2$ 乗して整理して
$\cos^{2}\theta=\dfrac{(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b})^{2}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}}\leqq 1$
$\therefore \ \dfrac{(\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b})^{2}}{|\overrightarrow{\mathstrut b}|^{2}}\leqq |\overrightarrow{\mathstrut a}|^{2}$
ここで，$\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}$ ( $|\overrightarrow{\mathstrut b}|\neq 0$ )とすると
$\dfrac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\leqq3$
$\therefore -\sqrt{3}\leqq\dfrac{x+y+z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\leqq\sqrt{3}$
等号成立は $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ が平行のとき．
つまり，$\dfrac{x+y+z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\leqq a \Longleftrightarrow \ x+y+z\leqq a\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ が常に成立する定数 $a$ の最小値は $\boldsymbol{\sqrt{3}}$