2変数の不等式の証明解法まとめ
微分(数学Ⅲ)(入試の標準) ★★★
大学入試で合否を分ける問題になりやすい，2変数の不等式の証明問題の解法について言及し，整理します．
2変数の不等式の証明解法まとめ
ポイント
2変数の不等式の証明問題解法まとめ
(ⅰ) 1つの文字を固定し，もう片方の文字の関数としてみる．
(ⅱ) $\boldsymbol {\dfrac{b}{a}=t}$ と置き換えて，強引に1変数関数としてみる．
(ⅲ) 平均値の定理を使って解く．
(ⅳ) (相加平均)≧(相乗平均)を使って解く．
(ⅴ) 両辺をそれぞれ $f(a)$ と $f(b)$ の形にして，$f(x)$ の増減を考える．
(ⅰ)，(ⅱ)がこのページ特有の解き方です．
どれかでしか解けない場合もありますし，複数の方法で解ける場合もあります．解く速さが違う場合も多いので，できるだけすべてのパターンを解く前に想定し，解法を比較できると理想です．
具体的には，例題で見てみましょう．
例題と練習問題
例題
例題
$ 0 < a < b $ のとき
$\displaystyle a\left(\log b-\log a\right)+a-b < 0$
を示せ．
講義
この問題は解ける手法が多く，(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)で解けそうです．今回は(ⅰ)が1番楽でしょうか．すべて下に書きますので是非比較してください．
(ⅰ)の解答(今回はこれがおそらく1番楽)
左辺を $a$ を固定して $b$ の関数としてみる．$f(b)=a\left(\log b-\log a\right)+a-b$ とおくと
$f'(b)=\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{a-b}{b}< 0$
よって $f(b)$ は単調減少．
$f(a)=0$ より，$f(b)< 0$
(ⅱ)の解答
$\displaystyle a\left(\log b-\log a\right)+a-b< 0$
$\displaystyle \Longleftrightarrow \log \dfrac{b}{a}+1-\dfrac{b}{a}< 0$
$\displaystyle \Longleftrightarrow \log t+1-t< 0 \ \left(\dfrac{b}{a}=t \ とおく． \ t > 1\right)$
が成り立つことを示せばよい．
$f(t)=\log t+1-t$ とおくと
$f'(t)=\dfrac{1}{t}-1=\dfrac{1-t}{t}< 0$
よって $f(t)$ は単調減少．
$f(1)=0$ より，$f(t)< 0$
(ⅲ)の解答
$f(x)=\log x$ とおくと，平均値の定理より
$\displaystyle \begin{cases}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{1}{c} \\ a < c < b \end{cases}$
を満たす実数 $c$ が存在．これより
$\dfrac{\log b-\log a}{b-a}=\dfrac{1}{c}< \dfrac{1}{a}$
$a(b-a)$ 倍すると
$\displaystyle a(\log b-\log a) < b-a$
$\displaystyle \therefore \ a(\log b-\log a)+a-b < 0$
※ 今回は(ⅳ)，(ⅴ)で解くのは厳しいです．
練習問題
練習
(1) $a\geqq b > 0$，$n$ は自然数のとき，$a^{n}-b^{n} \leqq n(a-b)a^{n-1}$ を示せ．
(2) $e\leqq a < b$ のとき，$a^{b} > b^{a}$ を示せ．
解答
(1) (ⅰ)で解きます．
$a$ を固定して $b$ の関数としてみる．
$f(b)=a^{n}-b^{n}-n(a-b)a^{n-1}$ $(0< b \leqq a)$とおく．
$f'(b)=-nb^{n-1}+na^{n-1}=n(a^{n-1}-b^{n-1})\geqq 0$
よって $f(b)$ は単調増加．
$f(a)=0$ より，$f(b)\leqq 0$
$\therefore \ a^{n}-b^{n} \leqq n(a-b)a^{n-1}$
※ (ⅲ)平均値の定理で解いてもいいですね．
(2)
$\dfrac{\log a}{a}>\dfrac{\log b}{b}$ を示す．
$f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ とおくと
$f'(x)=\dfrac{1-\log x}{x^2}$
$x\geqq e$ のとき $f'(x)\leqq 0$ より $f(x)$ は単調減少．
つまり $e\leqq a < b $ より $\dfrac{\log a}{a} > \dfrac{\log b}{b}$．
$\therefore \ b\log a > a\log b \ \Longleftrightarrow \ \log a^{b} > \log b^{a}$
$\therefore \ a^{b} > b^{a}$
※ (ⅴ)の両辺をそれぞれ $f(a)$ と $f(b)$ の形にして，$f(x)$ の増減を考えるタイプです．
※最初に $a^{b} > b^{a}$ から両辺自然対数をとって変形して，$\dfrac{\log a}{a} >\dfrac{\log b}{b}$ を示せばいいことに気がつく必要があります．