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2変数の不等式の証明解法まとめ

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


アイキャッチ

大学入試で合否を分ける問題になりやすい,2変数の不等式の証明問題の解法について言及し,整理します.





2変数の不等式の証明解法まとめ

ポイント

2変数の不等式の証明問題解法まとめ

(ⅰ) 1つの文字を固定し,もう片方の文字の関数としてみる.

(ⅱ) $\dfrac{b}{a}=t$ と置き換えて,強引に1変数関数としてみる.

(ⅲ) 平均値の定理を使って解く.

(ⅳ) (相加平均)≧(相乗平均)を使って解く.

(ⅴ) 両辺をそれぞれ $f(a)$ と $f(b)$ の形にして,$f(x)$ の増減を考える.


基本的には上の5パターンのどれかで解くことができます.

どれかでしか解けない場合もありますし,複数の方法で解ける場合もあります.解く速さが違う場合も多いので,できるだけすべてのパターンを解く前に想定し,解法を比較できると理想です.

具体的には,例題で見てみましょう.




例題と練習問題

例題

例題

$ 0 < a < b $ のとき

$\displaystyle a\left(\log b-\log a\right)+a-b < 0$

を示せ.


講義

この問題は解ける手法が多く,(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)で解けそうです.今回は(ⅰ)が1番楽でしょうか.すべて下に書きますので是非比較してください.


(i)の解答(今回はこれがおそらく1番楽)

左辺を $a$ を固定して $b$ の関数としてみる.

$f(b)=a\left(\log b-\log a\right)+a-b$ とおくと

$f'(b)=\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{a-b}{b}< 0$

よって $f(b)$ は単調減少.

$f(a)=0$ より,$f(b)< 0$


(ii)の解答

$\displaystyle a\left(\log b-\log a\right)+a-b< 0$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \log \dfrac{b}{a}+1-\dfrac{b}{a}< 0$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \log t+1-t< 0 \ \left(\dfrac{b}{a}=t \ とおく. \ t>1\right)$

が成り立つことを示せばよい.

$f(t)=\log t+1-t$ とおくと

$f'(t)=\dfrac{1}{t}-1=\dfrac{1-t}{t}< 0$

よって $f(t)$ は単調減少.

$f(1)=0$ より,$f(t)< 0$


(ⅲ)の解答

$f(x)=\log x$ とおくと,平均値の定理より

$\displaystyle \begin{cases}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{1}{c} \\ a < c < b \end{cases}$

を満たす実数 $c$ が存在.

$\dfrac{\log b-\log a}{b-a}=\dfrac{1}{c}< \dfrac{1}{a}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow a(\log b-\log a) < b-a$

$\displaystyle \Longleftrightarrow a(\log b-\log a)+a-b < 0$


※今回は(ⅳ),(ⅴ)で解くのは厳しいです.



練習問題

練習

(1) $a\geqq b > 0$,$n$ は自然数のとき,$a^{n}-b^{n} \leqq n(a-b)a^{n-1}$ を示せ.

(2) $e\leqq a < b$ のとき,$a^{b} > b^{a}$ を示せ.

練習の解答



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