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関数の対称移動

2次関数(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

関数の対称移動について扱います.

特に2次関数の対称移動について,平行移動と絡めた問題も扱います.



関数の対称移動

ポイント

関数の対称移動

関数の対称移動

関数 $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸,$y$ 軸,原点に関して対称移動したグラフはそれぞれ次のようになる.

$x$ 軸:$\boldsymbol{-y=f(x)}$

$y$ 軸:$\boldsymbol{y=f(-x)}$

原点:$\boldsymbol{-y=f(-x)}$

※ 答える際は $y=$ の形で答えます.


証明は $x$ 軸対称の場合の証明のみ下に格納しておきます.

証明

$x$ 軸対称の証明

関数の対称移動の証明

関数 $y=f(x)$ のグラフ上の任意の点を ${\rm P}(a,b)$ とする.これを $x$ 軸に関して対称移動した点を ${\rm Q}(a,-b)$ とする.

${\rm P}(a,b)$ は関数 $y=f(x)$ 上にあるという式から

$b=f(a)$

$\Longleftrightarrow -b=-f(a)$

これは ${\rm Q}$ が関数 $y=-f(x)$ 上にあることを意味する.

これより関数 $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数は $y=-f(x) \Longleftrightarrow -y=f(x)$ である.

※ 残りの場合の証明も同様です.

例題と練習問題

例題

例題

(1) 放物線 $y=2x^{2}-7x+1$ を $x$ 軸,$y$ 軸,原点に関して対称移動したグラフをそれぞれ求めよ.

(2) 放物線 $y=ax^{2}+bx+c$ のグラフを原点に関して対称移動し,さらにそれを $x$ 軸方向に $1$,$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したところ $y=2x^{2}$ のグラフが得られた.このとき,$a$,$b$,$c$ の値を求めよ.


講義

(1)では,関数の対称移動の公式

$\boldsymbol{x}$ 軸対称: $\boldsymbol{y}$ → $\boldsymbol{-y}$

$\boldsymbol{y}$ 軸対称: $\boldsymbol{x}$ → $\boldsymbol{-x}$

原点対称: $\boldsymbol{x}$ → $\boldsymbol{-x}$,$\boldsymbol{y}$ → $\boldsymbol{-y}$

をそのまま適用するだけです.

(2)では,逆から操作して考えるとわかりやすいと思います.


解答

(1)

$x$ 軸対称:$\color{red}{-y}=2x^{2}-7x+1$

$\therefore \ \boldsymbol{y=-2x^{2}+7x-1}$

$y$ 軸対称:$y=2\color{red}{(-x)}^{2}-7\color{red}{(-x)}+1$

$\therefore \ \boldsymbol{y=2x^{2}+7x+1}$

原点対称:$\color{red}{-y}=2\color{red}{(-x)}^{2}-7\color{red}{(-x)}+1$

$\therefore \ \boldsymbol{y=-2x^{2}-x-1}$


(2) 逆から考えます.

$y=2x^{2}$ 頂点 $(0,0)$

 ↓ $x$ 軸方向に $-1$,$y$ 軸方向に $-3$

$y=2(x+1)^{2}-3$ 頂点 $(-1,-3)$

 ↓ 原点対称

$\color{red}{-y}=2(\color{red}{-x}+1)^{2}-3$

整理すると $\boldsymbol{y=-2x^{2}+4x+1}$

練習問題

練習

(1) 放物線 $y=-x^{2}-2x+2$ を $x$ 軸,$y$ 軸,原点に関して対称移動したグラフをそれぞれ求めよ.

(2) 平面上のある放物線を $x$ 軸に関して対称移動し,次に $x$ 軸方向に $-2$ ,$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動してから,再び $x$ 軸に関して対称移動したところ,放物線 $y=x^{2}$ が得られたという.最初の放物線の方程式を求めよ.

解答

(1)

$x$ 軸対称:$-y=x^{2}-2x+2$

$\therefore \ \boldsymbol{y=x^{2}+2x-2}$

$y$ 軸対称:$y=(-x)^{2}-2(-x)+2$

$\therefore \ \boldsymbol{y=x^{2}+2x+2}$

原点対称:$-y=(-x)^{2}-2(-x)+2$

$\therefore \ \boldsymbol{y=-x^{2}-2x-2}$


(2)出典:2013東京電機大

逆から考えます.

$y=x^{2}$ 頂点 $(0,0)$

 ↓ $x$ 軸対称

$-y=x^{2} \Longleftrightarrow y=-x^{2}$ 頂点 $(0,0)$

 ↓ $x$ 軸方向に $2$,$y$ 軸方向に $-3$

$y=-(x-2)^{2}-3$ 頂点 $(2,-3)$

 ↓ $x$ 軸対称

$-y=-(x-2)^{2}-3$

整理すると $\boldsymbol{y=x^{2}-4x+7}$