関数の対称移動
2次関数(教科書範囲) ★★★
関数の対称移動について扱います．
特に2次関数の対称移動について，平行移動と絡めた問題も扱います．
関数の対称移動
関数の対称移動
関数 $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称移動したグラフはそれぞれ次のようになる．
$x$ 軸：$\boldsymbol{-y=f(x)}$
$y$ 軸：$\boldsymbol{y=f(-x)}$
原点：$\boldsymbol{-y=f(-x)}$
※ 答える際は $y=$ の形で答えます．
証明は $x$ 軸対称の場合の証明のみ下に格納しておきます．
$x$ 軸対称の証明
関数 $y=f(x)$ のグラフ上の任意の点を ${\rm P}(a,b)$ とする．これを $x$ 軸に関して対称移動した点を ${\rm Q}(a,-b)$ とする．
${\rm P}(a,b)$ は関数 $y=f(x)$ 上にあるという式から
$b=f(a)$
$\Longleftrightarrow -b=-f(a)$
これは ${\rm Q}$ が関数 $y=-f(x)$ 上にあることを意味する．
これより関数 $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数は $y=-f(x) \Longleftrightarrow -y=f(x)$ である．
※ 残りの場合の証明も同様です．
例題と練習問題
例題
例題
(1) 放物線 $y=2x^{2}-7x+1$ を $x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称移動したグラフをそれぞれ求めよ．
(2) 放物線 $y=ax^{2}+bx+c$ のグラフを原点に関して対称移動し，さらにそれを $x$ 軸方向に $1$，$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したところ $y=2x^{2}$ のグラフが得られた．このとき，$a$，$b$，$c$ の値を求めよ．
講義
(1)では，関数の対称移動の公式
$\boldsymbol{x}$ 軸対称： $\boldsymbol{y}$ → $\boldsymbol{-y}$
$\boldsymbol{y}$ 軸対称： $\boldsymbol{x}$ → $\boldsymbol{-x}$
原点対称： $\boldsymbol{x}$ → $\boldsymbol{-x}$，$\boldsymbol{y}$ → $\boldsymbol{-y}$
をそのまま適用するだけです．
(2)では，逆から操作して考えるとわかりやすいと思います．
解答
(1)
$x$ 軸対称：$\color{red}{-y}=2x^{2}-7x+1$
$\therefore \ \boldsymbol{y=-2x^{2}+7x-1}$
$y$ 軸対称：$y=2\color{red}{(-x)}^{2}-7\color{red}{(-x)}+1$
$\therefore \ \boldsymbol{y=2x^{2}+7x+1}$
原点対称：$\color{red}{-y}=2\color{red}{(-x)}^{2}-7\color{red}{(-x)}+1$
$\therefore \ \boldsymbol{y=-2x^{2}-7x-1}$
(2) 逆から考えます．
$y=2x^{2}$ 頂点 $(0,0)$
↓ $x$ 軸方向に $-1$，$y$ 軸方向に $-3$
$y=2(x+1)^{2}-3$ 頂点 $(-1,-3)$
↓ 原点対称
$\color{red}{-y}=2(\color{red}{-x}+1)^{2}-3$
整理すると $\boldsymbol{y=-2x^{2}+4x+1}$
練習問題
練習
(1) 放物線 $y=-x^{2}-2x+2$ を $x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称移動したグラフをそれぞれ求めよ．
(2) 平面上のある放物線を $x$ 軸に関して対称移動し，次に $x$ 軸方向に $-2$ ，$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動してから，再び $x$ 軸に関して対称移動したところ，放物線 $y=x^{2}$ が得られたという．最初の放物線の方程式を求めよ．
解答
(1)
$x$ 軸対称：$-y=-x^{2}-2x+2$
$\therefore \ \boldsymbol{y=x^{2}+2x-2}$
$y$ 軸対称：$y=-(-x)^{2}-2(-x)+2$
$\therefore \ \boldsymbol{y=-x^{2}+2x+2}$
原点対称：$-y=-(-x)^{2}-2(-x)+2$
$\therefore \ \boldsymbol{y=x^{2}-2x-2}$
(2)出典：2013東京電機大
逆から考えます．
$y=x^{2}$ 頂点 $(0,0)$
↓ $x$ 軸対称
$-y=x^{2} \Longleftrightarrow y=-x^{2}$ 頂点 $(0,0)$
↓ $x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-3$
$y=-(x-2)^{2}-3$ 頂点 $(2,-3)$
↓ $x$ 軸対称
$-y=-(x-2)^{2}-3$
整理すると $\boldsymbol{y=x^{2}-4x+7}$