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領域における最大最小(応用編)

タイプ:入試の標準 レベル:★★★★ 


アイキャッチ

入試で頻出な,領域における最大最小問題の,領域と目的関数が1次式でない一般のものを扱います.

領域と目的関数が1次式であるもの(線形計画法)については領域における最大最小(基本編)に記載しています.





領域における最大最小の解き方

ポイント

領域における最大最小の解き方

Ⅰ:与えられた領域(制約条件)を図示する.

Ⅱ:最大(最小)を求めたい式を文字(例えば $k$ など)で置く.これを目的関数という.

Ⅲ:領域と交わるように,目的関数を動かし $k$ の範囲を考える.


大学ではこのような問題を数理計画法(mathematical programming),特に制約条件と目的関数が1次式で表されるものを線形計画法(linear programming)と言い,経営システム工学科等で学べるはずです.高校数学では基本的に制約条件,目的関数ともに2次元平面内のものを扱います.

制約条件や目的関数などの用語は下の例題で説明します.




例題と練習問題

例題

例題

不等式 $2x-y\geqq-6$,$3x+4y\geqq13$,$9x+y\leqq28$ をすべて満たす領域を $D$ とするとき,領域 $D$ における次の値の範囲をそれぞれ求めよ.

(1) $x^{2}+y^{2}$

(2) $\dfrac{y}{x+2}$


講義

まずは領域 $D$ (制約条件)を図示することです.その後は指示された式を $k$ などと置き,この目的関数を領域 $D$ と交わるように動かして $k$ の範囲を考えます.


解答

(1) 領域 $D$ を図示します.以下の黄色の斜線部分です.

領域における最大最小例題

$\color{red}{x^{2}+y^{2}=k}$ と置くと,中心が原点で半径が $\sqrt{k}$ の円となるので,領域 $D$ と交わるように動かします.下の動く赤い円が目的関数です.

図より,円が $(2,10)$ を通るとき $\sqrt{k}$ が最大.これより,$(x,y)=(2,10)$ のとき,$k$ の最大値 $104$.

また,半径 $\sqrt{k}$ が最小をとるときは, $\sqrt{k}$ が 原点と $3x+4y=13$ との距離に等しいときです.この距離は

$\dfrac{|3\cdot 0+4\cdot 0+13|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\dfrac{13}{5}$

つまり $k$ の最小値 $\dfrac{169}{25}$.

$\therefore \ \boldsymbol{\dfrac{169}{25}\leqq x^{2}+y^{2} \leqq 104}$


(2)

$\color{red}{\dfrac{y}{x+2}=k}$ と置くと,$\color{red}{y=k(x+2)}$ となるので,$(-2,0)$ を通る傾きが $k$ の直線となります.領域 $D$ と交わるように動かします.下の動く赤い直線が目的関数です.

図より, $(-1,4)$ を通るとき傾き $k$ が最大.これより,$(x,y)=(-1,4)$ のとき,$k$ の最大値 $4$.

また,$(3,1)$ を通るとき傾き $k$ が最小.これより,$(x,y)=(3,1)$ のとき,$k$ の最小値 $\dfrac{1}{5}$.

$\therefore \ \boldsymbol{\dfrac{1}{5}\leqq \dfrac{y}{x+2} \leqq 4}$



練習問題

練習

不等式 $y\leqq-x^{2}+6$,$y\geqq\dfrac{1}{2}x+1$,をすべて満たす領域を $D$ とするとき,領域 $D$ における次の値の範囲をそれぞれ求めよ.

(1) $x^{2}+y^{2}$

(2) $\dfrac{y-1}{x-3}$

練習の解答



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