領域における最大最小(応用編)
図形と方程式(入試の標準) ★★★★
入試で頻出な，領域における最大最小問題の，領域と目的関数が1次式でない一般のものを扱います．
領域と目的関数が1次式であるもの(線形計画法)については領域における最大最小(基本編)に記載しています．
領域における最大最小の解き方
領域における最大最小の解き方
Ⅰ 与えられた領域(制約条件)を図示する．
Ⅱ 最大(最小)を求めたい式を文字(例えば $k$ など)で置く．これを目的関数という．
Ⅲ 領域と交わるように，目的関数を動かし $k$ の範囲を考える．
大学ではこのような問題を数理計画法(mathematical programming)，特に制約条件と目的関数が1次式で表されるものを線形計画法(linear programming)と言い，経営システム工学科等で学べるはずです．高校数学では基本的に制約条件，目的関数ともに2次元平面内のものを扱います．
制約条件や目的関数などの用語は下の例題で説明します．
例題と練習問題
例題
例題
不等式 $2x-y\geqq-6$，$3x+4y\geqq13$，$9x+y\leqq28$ をすべて満たす領域を $D$ とするとき，領域 $D$ における次の値の範囲をそれぞれ求めよ．
(1) $x^{2}+y^{2}$
(2) $\dfrac{y}{x+2}$
講義
まずは領域 $D$ (制約条件)を図示することです．その後は指示された式を $k$ などと置き，この目的関数を領域 $D$ と交わるように動かして $k$ の範囲を考えます．
解答
(1) 領域 $D$ を図示します．以下の黄色の斜線部分です．
$\color{red}{x^{2}+y^{2}=k}$ と置くと，中心が原点で半径が $\sqrt{k}$ の円となるので，領域 $D$ と交わるように動かします．下の動く赤い円が目的関数です．
図より，円が $(2,10)$ を通るとき $\sqrt{k}$ が最大．これより，$(x,y)=(2,10)$ のとき，$k$ の最大値 $104$．
また，半径 $\sqrt{k}$ が最小をとるときは， $\sqrt{k}$ が 原点と $3x+4y=13$ との距離に等しいときです．この距離は
$\dfrac{|3\cdot 0+4\cdot 0-13|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\dfrac{13}{5}$
つまり $k$ の最小値 $\dfrac{169}{25}$．
$\therefore \ \boldsymbol{\dfrac{169}{25}\leqq x^{2}+y^{2} \leqq 104}$
(2)
$\color{red}{\dfrac{y}{x+2}=k}$ と置くと，$\color{red}{y=k(x+2)}$ となるので，$(-2,0)$ を通る傾きが $k$ の直線となります．領域 $D$ と交わるように動かします．下の動く赤い直線が目的関数です．
図より， $(-1,4)$ を通るとき傾き $k$ が最大．これより，$(x,y)=(-1,4)$ のとき，$k$ の最大値 $4$．
また，$(3,1)$ を通るとき傾き $k$ が最小．これより，$(x,y)=(3,1)$ のとき，$k$ の最小値 $\dfrac{1}{5}$．
$\therefore \ \boldsymbol{\dfrac{1}{5}\leqq \dfrac{y}{x+2} \leqq 4}$
練習問題
練習
不等式 $y\leqq-x^{2}+6$，$y\geqq\dfrac{1}{2}x+1$，をすべて満たす領域を $D$ とするとき，領域 $D$ における次の値の範囲をそれぞれ求めよ．
(1) $x^{2}+y^{2}$
(2) $\dfrac{y-1}{x-3}$
練習の解答
(1)
$x^{2}+y^{2}$ は，原点と領域内の点 $(x,y)$ との距離の2乗である．最小値は，原点と $y=\dfrac{1}{2}x+1 \ \Longleftrightarrow \ x-2y+2=0$ との距離
$\dfrac{|1\cdot 0-2\cdot 0+2|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
の2乗なので， $x^{2}+y^{2}$ の最小値 $\dfrac{4}{5}$．
また，図より最大をとる点は領域の放物線上の点なので，その点を $(s,-s^{2}+6)$ $\left(-\dfrac{5}{2}\leqq s \leqq 2\right)$とおくと，原点との距離は
$\sqrt{s^{2}+(-s^{2}+6)^2}$
$=\sqrt{s^{4}-11s^{2}+36}$
$=\sqrt{\left(s^{2}-\dfrac{11}{2}\right)^{2}+\dfrac{23}{4}} \ \left(0\leqq s^{2}\leqq \dfrac{25}{4}\right)$
これより $s^{2}=0$ のとき，$x^{2}+y^{2}$ の最大値 $36$．
$\therefore \ \boldsymbol{\dfrac{4}{5}\leqq x^{2}+y^{2} \leqq 36}$
(2)
$\dfrac{y-1}{x-3}=k$ と置くと，$y=k(x-3)+1$ となるので，$(3,1)$ を通る傾きが $k$ の直線となります．領域 $D$ と交わるように動かします．
図より， $\left(-\dfrac{5}{2},-\dfrac{1}{4}\right)$ を通るとき傾き $k$ が最大．これより，$(x,y)=\left(-\dfrac{5}{2},-\dfrac{1}{4}\right)$ のとき，$k$ の最大値 $\dfrac{-\dfrac{5}{2}-1}{-\dfrac{1}{4}-3}=\dfrac{5}{22}$．
また，図より $y=k(x-3)+1$ が放物線に接するとき，最小になるので連立すると
$-x^{2}+6=k(x-3)+1$
$0=x^{2}+kx-3k-5$
ここで判別式
$D=k^{2}-4(-3k-5)=k^{2}+12k+20=0$
より，図を考慮すると領域と接するときは $k=-2$ (このとき接点 $(1,5)$)．
$\therefore \ \boldsymbol{-2\leqq \dfrac{y-1}{x-3} \leqq \dfrac{5}{22}}$