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領域における最大最小(基本編)

図形と方程式(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

領域における最大最小の,特に領域と目的関数が1次式で表される線形計画法について扱います.

大学では線形計画法だけで1冊の教科書になる程で奥が深く,文理関係なく入試でも頻出テーマです.

入試ではこちらの領域における最大最小(応用編)が多く見られます



領域における最大最小の解き方

ポイント

領域における最大最小の解き方

Ⅰ 与えられた領域(制約条件)を図示する.

Ⅱ 最大(最小)を求めたい式を文字(例えば $k$ など)で置く.これを目的関数という.

Ⅲ 領域と交わるように,目的関数を動かし $k$ の範囲を考える.


大学ではこのような問題を数理計画法(mathematical programming),特に制約条件と目的関数が1次式で表されるものを線形計画法(linear programming)と言い,経営システム工学科等で学べるはずです.高校数学では基本的に制約条件,目的関数ともに2次元平面内のものを扱います.

制約条件や目的関数などの用語は下の例題で説明します.

例題と練習問題

例題

例題

不等式 $x\geqq0$,$y\geqq0$,$x+3y\leqq10$,$2x+3y\leqq11$,$2x+y\leqq9$ をすべて満たす領域を $D$ とするとき,領域 $D$ における $x+y$ の最大値,最小値を求めよ.


講義

まずは領域 $D$ (制約条件)を図示することです.その後は,$\boldsymbol{x+y=k}$ などと置き,この目的関数を領域 $D$ 内で上下させて $k$ の範囲を考えます.


解答

(1) 領域 $D$ を図示します.以下の黄色の斜線部分です.

領域における最大最小例題

$\color{red}{x+y=k}$ と置くと,$\color{red}{y=-x+k}$ となるので,領域 $D$ と交わるように動かします.下の動く赤い直線が目的関数です.

$\color{red}{y=-x+k}$ が $(4,1)$ と接するとき切片 $k$ が最大.原点と接するとき切片 $k$ が最小となるはずです.

これより,$(x,y)=(4,1)$ のとき,最大値 $\boldsymbol{5}$.

これより,$(x,y)=(0,0)$ のとき,最小値 $\boldsymbol{0}$.

練習問題

練習

(1) 不等式 $x-2y\geqq-2$,$x+y\geqq-5$,$4x+y\leqq10$ をすべて満たす領域を $D$ とするとき,領域 $D$ における $x+2y$ の最大値,最小値を求めよ.

(2) 以下はある定食屋の,牛丼とハンバーグ定食を1つ作るのに必要な材料と,店にある在庫の量の表である.

牛丼 ハンバーグ定食 店の在庫
牛肉 $200 \rm g$ $300 \rm g$ $4500 \rm g$
玉ねぎ $100 \rm g$ $50 \rm g$ $1500 \rm g$
ご飯 $200 \rm g$ $200 \rm g$ $3400 \rm g$

牛丼の値段が1つ400円,ハンバーグ定食の値段が1つ500円とすると,それぞれ店の在庫内でいくつずつ売ると売上を最大にできるか.またその最大値を求めよ.

練習の解答

(1) 領域を図示し,$x+2y=k$ と置き,$y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{k}{2}$ を領域と交わるようにする.

領域における最大最小練習(1)

図より

$(x,y)=(2,2)$ のとき,$k$ の最大値 $\boldsymbol{6}$.

$(x,y)=(5,-10)$ のとき,$k$ の最小値 $\boldsymbol{-15}$.


(2) 牛丼の販売数を $x$,ハンバーグ定食の販売数を $y$ とする.制約条件は

$\begin{cases} x\geqq 0 , y\geqq 0 \\200x+300y\leqq4500 \Longleftrightarrow y\leqq-\dfrac{2}{3}x+15\\ 100x+50y\leqq1500 \Longleftrightarrow y \leqq -2x+30\\ 200x+200y\leqq3400 \Longleftrightarrow y \leqq -x+17\\\end{cases}$

領域を図示し,売上を $400x+500y=k$ と置き,$y=-\dfrac{4}{5}x+\dfrac{k}{500}$ を領域と交わるようにする.

領域における最大最小練習(2)

図より

$(x,y)=\boldsymbol{(6,11)}$ のとき,$k$ の最大値 $\boldsymbol{7900}$ 円.