確率の基本性質

確率(教科書範囲)　★★

確率の基本性質と関連問題を扱います．

1：確率の基本性質

2：例題と練習問題

確率の基本性質

確率の定義より，次の基本性質が導けます．

確率の基本性質

Ⅰ 全事象，空事象の確率　

$\boldsymbol{P(U)=1， P(\phi)=0}$

Ⅱ 任意の事象 $A$ に関して

$\boldsymbol{0\leqq P(A)\leqq 1}$

Ⅲ 確率の加法定理　2つの事象 $A$，$B$ が排反であるとき

$\boldsymbol{P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$

Ⅳ 余事象の確率

$\boldsymbol{P(\overline{A})=1-P(A)}$

Ⅰの証明

$\displaystyle P(U)=\dfrac{n(U)}{n(U)}=1$

$\displaystyle P(\phi)=\dfrac{n(\phi)}{n(U)}=0$

Ⅱの証明

$\displaystyle 0\leqq n(A)\leqq n(U)$

をすべての辺で $n(U)$ で割ると

$\displaystyle 0\leqq P(A)\leqq 1$

Ⅲの証明

2つの事象 $A$，$B$ が排反であるとき

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)$

すべての辺で $n(U)$ で割ると

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Ⅳの証明

$A$ と $\overline{A}$ が排反であることに注意し，確率の加法定理を使う．

$1=P(U)=P(A\cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$

$\therefore \ P(\overline{A})=1-P(A)$

余事象の確率は，直接 $\overline{A}$ の確率を求めることが困難なときに使います．

また，少なくとも〜というフレーズが入っているときも余事象の確率の公式をよく使うので以下でまとめます．

少なくとも〜の確率

$\boldsymbol{P(少なくとも〜)=1-P(〜ない)}$

また，Ⅲの確率の加法定理は，2つの事象 $A$，$B$ が排反であるかないか問わないときは以下のようになります．

確率の加法定理の一般形

$\boldsymbol{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

例題と練習問題

例題

$52$ 枚のトランプから $2$ 枚選ぶ．次の確率を求めよ．

(1)$2$ 枚ともハートまたは $2$ 枚とも絵札が出る確率

(2)少なくとも $1$ 枚が絵札である確率

講義

場合の数の問題と確率の問題の違いがわかる問題です．

解答

(1)

$2$ 枚ともハートである事象を $A$，$2$ 枚とも絵札である事象を $B$ とすると求める確率は

　$P(A\cup B)$

$=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$=\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{13}{\rm C}_{2}}{\hspace{-0.5mm} _{52}{\rm C}_{2}}+\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{12}{\rm C}_{2}}{\hspace{-0.5mm} _{52}{\rm C}_{2}}-\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{3}{\rm C}_{2}}{\hspace{-0.5mm} _{52}{\rm C}_{2}}$

$=\boldsymbol{\dfrac{47}{442}}$

(2)

　$P(少なくとも 1 枚が絵札)$

$=1-P(絵札が1枚もない)$

$=1-\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{40}{\rm C}_{2}}{\hspace{-0.5mm} _{52}{\rm C}_{2}}$

$=\boldsymbol{\dfrac{91}{221}}$

練習問題

練習1

白玉5個，赤玉4個，青玉2個が入っている袋から，玉を同時に3個取り出すとき，次の確率を求めよ．

(1)すべて色が異なる

(2)3個とも同じ色である

(3)少なくとも1個は白玉である

練習2

$52$ 枚のトランプから $2$ 枚選ぶ．次の確率を求めよ．

(1)$2$ 枚ともスペードまたは $2$ 枚とも $3$ の倍数が出る確率

(2)積が $4$ の倍数である確率

練習1の解答

(1)

$\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{1}\cdot\hspace{-0.5mm} _{4}{\rm C}_{1}\cdot\hspace{-0.5mm} _{2}{\rm C}_{1}}{\hspace{-0.5mm} _{11}{\rm C}_{3}}=\boldsymbol{\dfrac{8}{33}}$

(2)

オール白，オール赤であるのは排反なので

$\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{5}{\rm C}_{3}}{\hspace{-0.5mm} _{11}{\rm C}_{3}}+\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{4}{\rm C}_{3}}{\hspace{-0.5mm} _{11}{\rm C}_{3}}=\dfrac{10+4}{165}=\boldsymbol{\dfrac{14}{165}}$

(3)

　$P(少なくとも 1 個白)$

$=1-P(白が1個もない)$

$=1-\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{6}{\rm C}_{3}}{\hspace{-0.5mm} _{11}{\rm C}_{3}}$

$=1-\dfrac{4}{33}=\boldsymbol{\dfrac{29}{33}}$

練習2の解答

(1)

$2$ 枚ともスペードである事象を $A$，$2$ 枚とも $3$ の倍数である事象を $B$ とすると求める確率は

　$P(A\cup B)$

$=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$=\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{13}{\rm C}_{2}}{\hspace{-0.5mm} _{52}{\rm C}_{2}}+\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{16}{\rm C}_{2}}{\hspace{-0.5mm} _{52}{\rm C}_{2}}-\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{4}{\rm C}_{2}}{\hspace{-0.5mm} _{52}{\rm C}_{2}}$

$=\boldsymbol{\dfrac{32}{221}}$

(2)

　$P(積が4の倍数)$

$=P(4,8,12が2枚)+P(4,8,12が1枚)+P(4,8,12がなし)$

$=\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{12}{\rm C}_{2}}{\hspace{-0.5mm} _{52}{\rm C}_{2}}+\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{12}{\rm C}_{1}\cdot\hspace{-0.5mm} _{40}{\rm C}_{1}}{\hspace{-0.5mm} _{52}{\rm C}_{2}}+P(2,6,10から2枚)$

$=\boldsymbol{\dfrac{6}{13}}$

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