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確率の定義

確率(教科書範囲) 


アイキャッチ

確率の導入,定義について扱います.

基本的に高校数学での確率に焦点を当てて言及していきます.



導入

確率とは,サイコロを投げて1が出る確率のように馴染みがあるものです.しかし直感的なことを重視し過ぎると,正確な論理展開ができなくなってしまうので,数学ではしっかりと用語の定義をしていきます.

サイコロであれば,全体が $6$ 通りなので,1が出る確率は $\dfrac{1}{6}$ とわかります.しかし近所の信号に行って青である確率はどうやって出すでしょうか,まず全体の時間や青である時間は数え上げることができません.$0$ から $1$ までの間で適当な数を選ぶ確率はいくつでしょうか,数が無限個(正確には数えられません)あって困ってしまいます.

先に言及しておくと,高校数学では事象が数えられしかも有限個(加算有限個)のものしか扱わないと決めています.

大学以降,数学を専門的に学ぶと,先述したような例にも対応するため,より包括的な論理展開をしていきます.高校数学ではその準備だと思って勉強してもらえるといいと思います.

確率の定義

用語の説明

根元事象…事象のうちでこれ以上分割できない事象.

標本空間…根元事象の集合.よく $\Omega$ (オメガ)で表す.高校の検定教科書には記載がないことが多いです.

全事象…ある事象が標本空間に等しいとき,すなわち必ず起こる事象.よく $U$ で表す.標本空間に対して必ず起こる事象という強調をしたいときに使います.

くう事象…起こることがないことも事象と考え,よく $\phi$ (ファイ)で表す.

余事象…$A$ に対して $A$ が起こらない事象のこと.高校ではよく $\overline{A}$ で表す(大学以降ではよく $A^{c}$ で表す).

以下では2つの事象 $A$,$B$ に対して

和事象…$A \cup B$ のこと.

積事象…$A \cap B$ のこと.

排反(排反事象)…$A \cap B=\phi$ のこと.つまり同時に起こらないこと.互いに排反ともいいます.当然 $A$ と $\overline{A}$ は排反です.

以下では,確率の定義をしますが,これは加算有限個のものしか扱わない高校数学特有の定義になります.

ポイント

確率の定義

事象すなわち $\Omega$ の部分集合に $0\leqq x\leqq 1$ の実数を対応させた関数を確率という.

特に高校数学では,ある試行において,どの根元事象も同様に確からしく起こるとき,その試行の結果起こる事象 $A$ の確率を $P(A)$ で表し

$\boldsymbol{P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{n(A)}{n(U)}}$

と定める.

※ 同様に確からしいとは,どの根元事象も起こる可能性が等しいことをいいます.

※ $n(A)$ は 事象 $A$ の要素の数です.


同様に確からしいという点が重要です.基本的にこれを汲み取るためには,同じものでも区別して計算することが重要です.

例題と練習問題

例題

例題

以下のような展開図のサイコロを組み立てて1回投げる.

サイコロの展開図と見取り図

(1)出る目は何通りか.

(2)1の目が出る確率はいくつか.



講義

場合の数の問題と確率の問題の違いがわかる問題です.


解答

(1)

1,2,3があるので $\boldsymbol{3}$ 通り.


(2)

同様に確からしい根元事象は1,1,1,2,2,3より,求める確率は

$\dfrac{3}{6}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$

※ (1)で全体が3通りで,そのうちの1つだから $\dfrac{1}{3}$ とすると誤りです.ここでの1,2,3は同様に確からしくないからです.すなわち確率を求めるときには同じものでも区別して計算することが重要です.

練習問題

練習1

2枚の硬貨を投げて,表と裏が1枚ずつ出る確率はいくつか.


練習2

3つのサイコロを同時に投げるとき,

(1)3つの出る目が3,4,5のように連続数となる確率を求めよ.

(2)すべて異なる目が出る確率を求めよ.

練習1の解答

2枚の同様に確からしい硬貨の出方は,(表,表),(表,裏),(裏,表),(裏,裏)の4通りある.求める確率は

$\dfrac{2}{4}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$


練習2の解答

全事象はすべて区別するので $6^{3}=216$ 通り.

(1)

連続数となるのは(1,2,3)〜(4,5,6)の $4$ 通りある.それぞれにつき $3!$ 通りあるので求める確率は

$\dfrac{4\cdot3!}{6^3}=\boldsymbol{\dfrac{1}{9}}$

(2)

サイコロの目の中で $3$ つの数字を選んで並べるのは $\hspace{-0.5mm} _{6}{\rm P}_{3}$ 通りより

$\dfrac{\hspace{-0.5mm} _{6}{\rm P}_{3}}{6^{3}}=\boldsymbol{\dfrac{5}{9}}$