講義

前章のⅠの方法を解答にしますが，$a$ が1次式なのでⅡの方法を別解として後述します．

(ⅰ) $1 <x < 4$ ですべての解をもつとき

(ⅱ) $1 <x < 4$ で1つ，$x< 1，4 < x$ で1つ解をもつとき．

(ⅲ) $x=1$ で解をもつとき

(ⅳ) $x=4$ で解をもつとき

に分けてそれぞれの和集合を出します．

解答

$f(x)=x^{2}-(a+4)x-\dfrac{a}{2}+10$ とおく．

$f(1)=-\dfrac{3}{2}a+7$

$f(4)=-\dfrac{9}{2}a+10$

　$D$

$=(a+4)^{2}-4\left(-\dfrac{a}{2}+10\right)$

$=a^{2}+10a-24$

$=(a+12)(a-2)$

(ⅰ) $1 <x < 4$ ですべての解をもつとき

端点条件：$f(1)>0$，$f(4)>0$

軸条件：$1<\dfrac{a+4}{2}<4$

判別式：$D\geqq 0$

これらの共通範囲より　$2 \leqq a < \dfrac{20}{9}$

(ⅱ) $1 <x < 4$ で1つ，$x< 1，4 < x$ で1つ解をもつとき．

$f(1)f(4)<0$

解くと $\dfrac{20}{9}< a<\dfrac{14}{3}$

(ⅲ) $x=1$ で解をもつとき

$f(1)=0 \ \Longleftrightarrow \ a=\dfrac{14}{3}$

(ⅳ) $x=4$ で解をもつとき

$f(4)=0 \ \Longleftrightarrow \ a=\dfrac{20}{9}$

(ⅰ)〜(ⅳ)より求める $a$ の値の範囲は $\boldsymbol{2 \leqq a \leqq \dfrac{14}{3}}$

別解

$x^{2}-4x+10=a\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ と変形し，$y=x^{2}-4x+10=(x-2)^{2}+6$ と $y=a\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ の共有点が $1\leqq x\leqq 4$ の範囲に少なくとも1つことを考える．

$y=a\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ が $(1,7)$ を通るとき

$7=\dfrac{3}{2}a \ \Longleftrightarrow \ a=\dfrac{14}{3}$

$y=a\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ が $(4,10)$ を通るとき

$10=\dfrac{9}{2}a \ \Longleftrightarrow \ a=\dfrac{20}{9}$

$y=x^{2}-4x+10$ と $y=a\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ が接するとき

$D=0 \ \therefore \ a=2$ (図から $a >0$)

図より求める $a$ の値の範囲は $\boldsymbol{2 \leqq a \leqq \dfrac{14}{3}}$

※ $y=a\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ は $a$ の値に関わらず $\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$ を通ります．この考え方は数学Ⅱの図形と方程式で登場するので，この考え方が用いられることは少ない気がしますが，別解の方がわかりやすいと思います．