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複素数平面の導入

タイプ:教科書範囲 レベル: 


アイキャッチ

複素数平面が初めての人向けに導入をし,図形的解釈を伴った複素数の計算に慣れるのを目的とします.



複素数平面の導入

数直線上に $a$ があり,$-1$ 倍すると当然ですが $-a$ になります.$\times(-1)$ することは原点を中心に(反時計回りに) $180^{\circ}$ 回転させると捉えることができます.

複素数平面の導入1

$\times(-1)$ した後に $\times(-1)$ すると $180^{\circ}$ 回転を $2$ 回,つまり $360^{\circ}$ 回転し元に戻ります.

複素数平面の導入2

この考えで,$2$ 回の移動で $180^{\circ}$ 回転,つまり $2$ 回かけて $\times(-1)$,つまり $\times i$ は $90^{\circ}$ 回転に相当すると考えられます.

複素数平面の導入3

勇気を出して,$1$ 次元の実数の世界から飛び出し,$2$ 次元の平面の世界に複素数を対応させることが考えられます.これが複素数平面を導入する動機です.

複素数平面

複素数 $z$ は $2$ つの実数 $a$,$b$ と虚数単位 $i$ を用いて,$a+bi$ と表される数のことです.$\alpha=a+bi$ での $a$ を $\alpha$ の実部,$b$ を $\alpha$ の虚部といいます(それぞれ ${\rm Re} \ \alpha$,${\rm Im} \ \alpha$ と表すことがある).

複素数平面

$a+bi$ は座標平面上で $(a,b)$ と対応させることができます.この平面を複素数平面という.複素数平面上では,$x$ 軸を実軸,$y$ 軸を虚軸という.

複素数 $\alpha$ に対応する点 $\rm P$ を ${\rm P}(\alpha)$ と表します(単に,点 $\alpha$ と表すこともある).点 $0$ に対応する点は原点 $\rm O$ です.

例えば,複素数 $\alpha=3+2i$,$\beta=-1$,$\gamma=3i$ を表す点 $\rm A,B,C$ を複素数平面上に図示すると下のようになります.

複素数の実数倍

複素数の実数倍

複素数 $\alpha=a+bi$ を $k$ 倍 ( $k$ は実数)すると

$k\alpha=ka+kbi$

となる.これは $2$ 点 $0$,$\alpha$ を結ぶ直線上に存在することを意味します.

複素数の実数倍

逆に $3$ つの複素数 $0$,$\alpha$,$k\alpha$ は一直線上にあります.これより以下のことが成り立ちます.

ポイント

原点を含んだ一直線上

$3$ 点 $\boldsymbol{0}$,$\boldsymbol{\alpha}$,$\boldsymbol{\beta}$ が一直線上

$\Longleftrightarrow$ $\boldsymbol{\beta=k\alpha}$ となる実数 $\boldsymbol{k}$ が存在


複素数の和と差

$2$ つの複素数 $\alpha=a+bi$,$\beta=c+di$ に関して

$\alpha+\beta=a+c+(b+d)i$

となる.これは平面ベクトルの足し算である

$\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c \\ b+d \end{pmatrix}$

と幾何的には同様です.

複素数の和と差

差に関しても平面ベクトルと同様に考えることができます.

例題と練習問題

例題

例題

(1) $\alpha=-2+2i$,$\beta=-3-i$,$\gamma=-i$ を表す点 $\rm A,B,C$ を複素数平面上に図示せよ.

(2) $\alpha=1+2i$,$\beta=3+ai$,$\gamma=b-i$ とする.$4$ 点 $0$,$\alpha$,$\beta$,$\gamma$ が一直線上にあるとき,実数 $a$,$b$ の値を求めよ.

(3) $\alpha=3+i$,$\beta=-1+i$ とする.$\alpha+\beta$,$\alpha-\beta$ を平行四辺形を書いて図示せよ.


講義

(2)では,$\beta=k\alpha$,$\gamma=l\alpha$ ( $k$,$l$ は実数)等と設定して求めます.


解答

(1)

複素数の和と差

(2)

条件より $\beta=k\alpha$,$\gamma=l\alpha$ ( $k$,$l$ は実数)とおけるので

$\begin{cases}3+ai=k+2ki \\ b-i=l+2li\end{cases}$

解くと,$k=3$,$l=-\dfrac{1}{2}$,$\boldsymbol{a=6}$,$\boldsymbol{b=-\dfrac{1}{2}}$


(3)

複素数の和と差

練習問題

練習

(1) $\alpha=-1+ai$,$\beta=a-bi$,$\gamma=b-27i$ とする.$4$ 点 $0$,$\alpha$,$\beta$,$\gamma$ が一直線上にあるとき,実数 $a$,$b$ の値を求めよ.

(2) $4$ 点 $z_{1}=1+i$,$z_{2}=3+2i$,$z_{3}=2+5i$ と $z_{4}$ を順に結んでできる四角形が平行四辺形になるような複素数 $z_{4}$ を求めよ.

練習の解答