複素数平面の導入

複素数平面(教科書範囲)　★

複素数平面が初めての人向けに導入をし，図形的解釈を伴った複素数の計算に慣れるのを目的とします．

基本的な計算も扱います．

複素数平面の導入

数直線上に $a$ があり，$-1$ 倍すると当然ですが $-a$ になります．$\times(-1)$ することは原点を中心に(反時計回りに) $180^{\circ}$ 回転させると捉えることができます．

$\times(-1)$ した後に $\times(-1)$ すると $180^{\circ}$ 回転を $2$ 回，つまり $360^{\circ}$ 回転し元に戻ります．

この考えで，$2$ 回の移動で $180^{\circ}$ 回転，つまり $2$ 回かけて $\times(-1)$，つまり $\times i$ は $90^{\circ}$ 回転に相当すると考えられます．

勇気を出して，$1$ 次元の実数の世界から飛び出し，$2$ 次元の平面の世界に複素数を対応させることが考えられます．これが複素数平面を導入する動機です．

複素数平面

複素数 $z$ は $2$ つの実数 $a$，$b$ と虚数単位 $i$ を用いて，$a+bi$ と表される数のことです．$\alpha=a+bi$ での $a$ を $\alpha$ の実部，$b$ を $\alpha$ の虚部といいます(それぞれ ${\rm Re} \ \alpha$，${\rm Im} \ \alpha$ と表すことがあります)．

$a+bi$ は座標平面上で $(a,b)$ と対応させることができます．この平面を複素数平面といいます．複素数平面上では，$x$ 軸を実軸，$y$ 軸を虚軸といいます．

複素数 $\alpha$ に対応する点 $\rm P$ を ${\rm P}(\alpha)$ と表します(単に，点 $\alpha$ と表すこともあります)．点 $0$ に対応する点は原点 $\rm O$ です．

例

例えば，複素数 $\alpha=3+2i$，$\beta=-1$，$\gamma=3i$ を表す点 $\rm A，B，C$ を複素数平面上に図示すると下のようになります．

複素数の扱い方はベクトルに似ている

$\alpha=a_{1}+a_{2}i$ のように，実部と虚部の情報を持った数を $\alpha$ と1文字で表現できるのが複素数の強みです．これは $x$ 成分，$y$ 成分の情報を持ったベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut a}=\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{pmatrix}$ と1文字で表せるのと大変似ています．

以下の事項はベクトルと類似点が多くあるので，馴染みやすいと思います．

複素数の実数倍

複素数 $\alpha=a+bi$ を $k$ 倍 ( $k$ は実数)すると

$k\alpha=ka+kbi$

となる．これは $2$ 点 $0$，$\alpha$ を結ぶ直線上に存在することを意味します．

逆に $3$ つの複素数 $0$，$\alpha$，$k\alpha$ は一直線上にあります．これより以下のことが成り立ちます．

これはベクトルの一直線上の条件と似ていますね．

複素数の和と差

$2$ つの複素数 $\alpha=a+bi$，$\beta=c+di$ に関して

$\alpha+\beta=a+c+(b+d)i$

となる．これは平面ベクトルの足し算である

$\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c \\ b+d \end{pmatrix}$

と幾何的には同様です．

差に関しても平面ベクトルと同様に考えることができます．

例題と練習問題

例題

講義

(2)では，$\beta=k\alpha$，$\gamma=l\alpha$ ( $k$，$l$ は実数)等と設定して求めます．

解答

(1)

(2)

条件より $\beta=k\alpha$，$\gamma=l\alpha$ ( $k$，$l$ は実数)とおけるので

$\begin{cases}3+ai=k+2ki \\ b-i=l+2li\end{cases}$

解くと，$k=3$，$l=-\dfrac{1}{2}$，$\boldsymbol{a=6}$，$\boldsymbol{b=-\dfrac{1}{2}}$

(3)

練習問題