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積分方程式

積分(数学Ⅱ,Ⅲ)(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

数学Ⅱ,数学Ⅲ共通ページです.

積分方程式について扱います.

数学Ⅱは基本的に多項式関数を,数学Ⅲはすべての関数を扱います.

数学Ⅱの積分を勉強中の人は,2章までです.



積分方程式の解き方

積分方程式とは

$\displaystyle f(x)=x^{2}+\int_{0}^{1}f(t)\,dt$ $\cdots$ ①

$\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)\,dt=x^{2}+x$ $\cdots$ ②

積分方程式とは,積分を含む等式のことを言います.未知の関数(上の場合 $f(x)$ )を求めるのが目的です.

上の2つのように積分範囲の中に変数(今回は $x$ )を含まないか,含むかのどちらかです.

①では,$\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)\,dt=F(1)-F(0)$ となるのでこれが定数であるとわかります.①のタイプを当サイトでは便宜的に定数型と名付けることにします.

②では,$\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)\,dt=F(x)-F(0)$ となるのでこれが変数( $x$ の関数)であるとわかります.②のタイプを当サイトでは便宜的に変数型と名付けることにします.

定数型と変数型で解法が別れます.

ポイント

積分方程式の解き方(定数型)

積分範囲に変数が含まれない場合

定積分を文字(例えば $\boldsymbol{k}$ )で置く

$f(x)$ を $k$ で表し,定積分に代入し $k$ を求める.


一方で変数型の場合,定積分が定数ではないので上の手法はとれません.

ポイント

積分方程式の解き方(変数型)

積分範囲に変数 $x$ が含まれる場合

両辺 $\boldsymbol{x}$ で微分する

Ⅱ 積分範囲の上端と下端が同じになるように $x$ に代入する


Ⅰの操作は基本的に必須です.定積分で表された関数の微分の経験が必要です.

例題と練習問題(数学Ⅱ)

例題

例題

次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めよ.(2)は $a$ の値も求めよ.

(1) $\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+\int_{0}^{3}f(t)\,dt$

(2) $\displaystyle \int_{a}^{x}f(t)\,dt=x^{2}+x-2$


講義

(1)は定数型です.$\displaystyle \int_{0}^{3}f(t)\,dt=k$ などとおきます.(2)は変数型です.両辺 $x$ で微分します.


解答

(1)

$\displaystyle \int_{0}^{3}f(t)\,dt=k$ とおくと

$f(x)=x^{2}+2x+k$

これを定積分に代入すると

 $\displaystyle \int_{0}^{3}(t^{2}+2t+k)\,dt$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{3}t^{3}+t^{2}+kt\right]_{0}^{3}$

$=18+3k=k$ $ \ \therefore \ k=-9$

元の式に戻すと

$\boldsymbol{f(x)=x^{2}+2x-9}$


(2)

与式を両辺 $x$ で微分すると

$\boldsymbol{f(x)=2x+1}$

与式に両辺 $x=a$ を代入すると

$\displaystyle \int_{a}^{a}f(t)\,dt=0=a^{2}+a-2$

$\therefore \ \boldsymbol{a=-2,1}$

※ $f(x)$ の原始関数を $F(x)$ とすると,$\displaystyle \int_{a}^{x}f(t)\,dt=F(x)-F(a)$ となるので,これを $x$ で微分すると $f(x)$ になりますね.

練習問題

練習1

次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めよ.(1)は $a$ の値も求めよ.

(1) $\displaystyle \int_{a}^{x}f(t)\,dt=2x^{3}+x^{2}-5x+2$

(2) $\displaystyle f(x)=3x^{2}\int_{0}^{1}f(t)\,dt+\int_{0}^{1}\left(f'(t)^{2}-2x\right)\,dt$

練習1の解答

(2) 出典:2019昭和大薬学部

与式を両辺 $x$ で微分すると

$\boldsymbol{f(x)=6x^{2}+2x-5}$

与式に両辺 $x=a$ を代入すると

$0=2a^{3}+a^{2}-5a+2$

$\Longleftrightarrow \ 0=(a-1)(2a^{2}+3a-2)$

$\therefore \ \boldsymbol{a=-2,1,\dfrac{1}{2}}$


(2) 出典:2021帝京大医学部

$\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)\,dt=a$,$\displaystyle \int_{0}^{1}f'(t)^{2}\,dt=b$ とおくと

$\displaystyle f(x)=3ax^{2}+b-2x$

$\displaystyle f'(x)=6ax-2$

$\displaystyle b=\int_{0}^{1}(6at-2)^{2}\,dt$

 $\displaystyle =\int_{0}^{1}(36a^{2}t^{2}-24at+4)\,dt$

 $\displaystyle =12a^{2}-12a+4$

これより $f(x)=3ax^{2}-2x+12a^{2}-12a+4$

$\displaystyle a=\int_{0}^{1}(3at^{2}-2t+12a^{2}-12a+4)\,dt$

 $\displaystyle =a-1+12a^{2}-12a+4$

これを解くと $a=\dfrac{1}{2}$ そして $b=1$ より

$\boldsymbol{f(x)=\dfrac{3}{2}x^{2}-2x+1}$


例題と練習問題(数学Ⅲ)

例題

例題

次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めよ.

(1) $\displaystyle f(x)=e^{x}+\int_{0}^{1}f(t)e^{-t}\,dt$

(2) $\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)(x-t)\,dt=\sin 2x$


講義

(1)は定数型です.$\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)e^{-t}\,dt=k$ などとおきます.(2)は変数型です.積分の中身に $x$ があるので外に出してから両辺 $x$ で微分します.


解答

(1)

$\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)e^{-t}\,dt=k$ とおくと

$f(x)=e^{x}+k$

これを定積分に代入すると

 $\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)e^{-t}\,dt$

$\displaystyle =\int_{0}^{1}(1+ke^{-t})\,dt$

$\displaystyle =\Bigl[t-ke^{-t}\Bigr]_{0}^{1}$

$=1-ke^{-1}+k=k$ $ \ \therefore \ k=e$

元の式に戻すと

$\boldsymbol{f(x)=e^{x}+e}$


(2)

与式を

$\displaystyle x\int_{0}^{x}f(t)\,dt-\int_{0}^{x}tf(t)\,dt=\sin 2x$

として両辺 $x$ で微分すると

$\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)\,dt+xf(x)-xf(x)=2\cos 2x$

さらに両辺 $x$ で微分すると

$\boldsymbol{f(x)=-4\sin 2x}$

練習問題

練習2

次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めよ.

(1) $\displaystyle f(x)=x^{2}+x\int_{0}^{1}f'(t)e^{t}\,dt$

(2) $\displaystyle f(x)+\int_{0}^{x}f(t)e^{x-t}\,dt=\sin x$

(3) $\displaystyle \int_{0}^{x}tf(x-t)\,dt=e^{2x}-1$

練習2の解答

(1)

$\displaystyle \int_{0}^{1}f'(t)e^{t}\,dt = k$ とおくと

$\displaystyle f(x)=x^{2}+kx$

$\displaystyle f'(x)=2x+k$

ここで

$\displaystyle k=\int_{0}^{1}(2t+k)e^{t}\,dt$

$\displaystyle =\Bigl[2te^{t}-2e^{t}+ke^{t} \Bigr]_{0}^{1}$

$=ek+2-k$ $\therefore \ k=-\dfrac{2}{e-2}$

$\boldsymbol{f(x)=x^{2}-\dfrac{2}{e-2}x}$


(2) 出典:2011横浜市立大医学部

与式を

$\displaystyle f(x)+e^{x}\int_{0}^{x}f(t)e^{-t}\,dt=\sin x$

として両辺 $x$ で微分すると

$\displaystyle f'(x)+e^{x}\int_{0}^{x}f(t)e^{-t}\,dt+f(x)=\cos x$

与式より

$f'(x)+\sin x=\cos x$

$\Longleftrightarrow \ f'(x)=\cos x-\sin x$

両辺 $x$ で不定積分すると,$C$ を積分定数として

$f(x)=\sin x+\cos x+C$

与式に $x=0$ を代入すると $f(0)=1+C=0$ より $C=-1$

$\boldsymbol{f(x)=\sin x+\cos x-1}$


(3)

$x-t=u$ とおくと,$-dt=du$

 $\displaystyle \int_{0}^{x}tf(x-t)\,dt$

$\displaystyle =\int_{x}^{0}(x-u)f(u)\,(-du)$

$\displaystyle =\int_{0}^{x}(x-u)f(u)\,du$

$\displaystyle =x\int_{0}^{x}f(u)\,du-\int_{0}^{x}uf(u)\,du=e^{2x}-1$

両辺 $x$ で微分すると

$\displaystyle \int_{0}^{x}f(u)\,du=2e^{2x}$

さらに両辺 $x$ で微分すると

$\boldsymbol{f(x)=4e^{2x}}$