証明

変量 $x$ のデータを $x_{k}$ $(k=1,2,\cdots,n)$ とします．すると $y_{k}=ax_{k}+b$ となります．

　$\displaystyle \overline{y}$

$\displaystyle =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}y_{k}$

$\displaystyle =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(ax_{k}+b)$

$\displaystyle =a\cdot \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}+\dfrac{1}{n}\cdot nb$

$\displaystyle =a\overline{x}+b$

　$\displaystyle s_{y}^2$

$\displaystyle =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(y_{k}-\overline{y})^2$

$\displaystyle =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\{ax_{k}+b-(a\overline{x}+b)\}^2$

$\displaystyle =a^{2}\cdot \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-\overline{x})^2$

$\displaystyle =a^{2}s_{x}^{2}$

講義

現実的には各種統計解析ツールで簡単に出せますが，データが大きい場合で手計算で出す場合，最初の章の公式を活用すると楽です．

具体的には $y=x-90$ などと適当に変換して計算しやすいようにするといいです．ここで今定めた $90$ を仮平均といいます．

解答

$y=x-90$ で変換すると変量 $y$ は

$-1$，$0$，$3$，$5$，$10$

となる．

(1) $\overline{y}=\dfrac{1}{5}(-1+0+3+5+10)=\dfrac{17}{5}$

$\overline{y}=\overline{x}-90$ より $\overline{x}=\overline{y}+90=\boldsymbol{\dfrac{467}{5}}$

※ 今回は仮平均を $90$ としましたが，$93$ とか他の値に設定しても当然 $\overline{x}$ に変化はありません．

(2)

$\displaystyle s_{y}^{2}=\overline{y^{2}}-(\overline{y})^{2}$　$←\overline{y}$ が分数なので

　$\displaystyle =\dfrac{1}{5}\{(-1)^{2}+0^{2}+3^{2}+5^{2}+10^{2}\}-\dfrac{289}{25}$

　$\displaystyle =\dfrac{386}{25}$

$s_{y}^{2}=1^{2}\cdot s_{x}^{2}$ より $s_{x}^{2}=s_{y}^{2}=\boldsymbol{\dfrac{386}{25}}$

※ $\overline{x}$ が整数であればそもそも $y$ を使う必要はなく定義通り計算すればいいですが，分散の定理(別公式)を利用する場合，データを $0$ に近づけた方が計算しやすいです．データをずらしただけでは分散に変化がないことを利用しました．