講義

(1)は円．(2)は垂直二等分線と即答できます．(3)は $|z|=2\left|z-\dfrac{1}{2}\right|$ とするとこれは，原点までの距離と点 $\dfrac{1}{2}$ までの距離の比が $2:1$ であることを意味し，このような図形はアポロニウスの円といいます．$2$ 乗して $z$ のまま計算できますが，$z=x+yi$ とおく方法も有効です．

解答

(1)

$|z-(-1+2i)|=1$ より

点 $\boldsymbol{-1+2i}$ を中心とする半径 $\boldsymbol{1}$ の円

(2)

$\boldsymbol{2}$ 点 $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{2i}$ を結ぶ線分の垂直二等分線

(3)

両辺 $2$ 乗すると

$|z|^{2}=|2z-1|^{2}$

$\Longleftrightarrow \ z\overline{z}=(2z-1)(\overline{2z-1})=(2z-1)(2\overline{z}-1)$

$\Longleftrightarrow \ 0=3z\overline{z}-2z-2\overline{z}+1$

$\Longleftrightarrow \ 0=z\overline{z}-\dfrac{2}{3}z-\dfrac{2}{3}\overline{z}+\dfrac{1}{3}$

$\Longleftrightarrow \ 0=\left(z-\dfrac{2}{3}\right)\left(\overline{z}-\dfrac{2}{3}\right)-\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{3}$

$\Longleftrightarrow \ \dfrac{1}{9}=\left(z-\dfrac{2}{3}\right)\left(\overline{z-\dfrac{2}{3}}\right)$

$\Longleftrightarrow \ \left|z-\dfrac{2}{3}\right|^{2}=\dfrac{1}{9}$

これより

$\left|z-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$

点 $z$ の全体は点 $\boldsymbol{\dfrac{2}{3}}$ を中心とする半径 $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$ の円

※ 最初に $z=x+yi$ とおいて 座標平面上の方程式として解いても有効です．特に，求める円の中心が軸上にない場合，こちらの方が解きやすいと思います．