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複素数の方程式の表す図形

タイプ:教科書範囲 レベル:★★★ 


アイキャッチ

複素数の方程式の表す図形を $2$ つ,またその関連問題を扱います.



方程式の表す図形

複素数の方程式の表す図形は以下の $2$ つが基本的かつ頻出です.いずれも暗記するものではなく,式の意味を考えれば自明です.

ポイント

方程式の表す図形

Ⅰ 方程式 $\boldsymbol{|z-\alpha|=|z-\beta|}$ を満たす点 $z$ の全体は

垂直二等分線

$\boldsymbol{2}$ 点 $\boldsymbol{\alpha}$,$\boldsymbol{\beta}$ を結ぶ線分の垂直二等分線

Ⅱ 方程式 $\boldsymbol{|z-\alpha|=r}$ を満たす点 $z$ の全体は

円

点 $\boldsymbol{\alpha}$ を中心とする半径 $\boldsymbol{r}$ の円


他に複雑な方程式が出てきても,式変形によって上の形にもっていくことが大半です.

例題と練習問題

例題

例題

次の条件を満たす点 $z$ の全体はどのような図形か.

(1) $|z+1-2i|=1$

(2) $|z-2|=|z-2i|$

(3) $|z|=|2z-1|$


講義

(1)は円.(2)は垂直二等分線と即答できます.(3)は $|z|=2\left|z-\dfrac{1}{2}\right|$ とするとこれは,原点までの距離と点 $\dfrac{1}{2}$ までの距離の比が $2:1$ であることを意味し,このような図形はアポロニウスの円といいます.$2$ 乗して $z$ のまま計算できますが,$z=x+yi$ とおく方法も有効です.


解答

(1)

$|z-(-1+2i)|=1$ より

点 $\boldsymbol{-1+2i}$ を中心とする半径 $\boldsymbol{1}$ の円


(2)

$\boldsymbol{2}$ 点 $\boldsymbol{2}$,$\boldsymbol{2i}$ を結ぶ線分の垂直二等分線


(3)

両辺 $2$ 乗すると

$|z|^{2}=|2z-1|^{2}$

$\Longleftrightarrow \ z\overline{z}=(2z-1)(\overline{2z-1})=(2z-1)(2\overline{z}-1)$

$\Longleftrightarrow \ 0=3z\overline{z}-2z-2\overline{z}+1$

$\Longleftrightarrow \ 0=z\overline{z}-\dfrac{2}{3}z-\dfrac{2}{3}\overline{z}+\dfrac{1}{3}$

$\Longleftrightarrow \ 0=\left(z-\dfrac{2}{3}\right)\left(\overline{z}-\dfrac{2}{3}\right)-\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{3}$

$\Longleftrightarrow \ \dfrac{1}{9}=\left(z-\dfrac{2}{3}\right)\left(\overline{z-\dfrac{2}{3}}\right)$

$\Longleftrightarrow \ \left|z-\dfrac{2}{3}\right|^{2}=\dfrac{1}{9}$

これより

$\left|z-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$

点 $z$ の全体は点 $\boldsymbol{\dfrac{2}{3}}$ を中心とする半径 $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$ の円

※ 最初に $z=x+yi$ とおいて 座標平面上の方程式として解いても有効です.特に,求める円の中心が軸上にない場合,こちらの方が解きやすいと思います.

練習問題

練習1

複素数 $z$ が $|3z-24|=|iz+8|$ を満たすとき,点 $z$ の全体はどのような図形か.


練習2

不等式 $|2-iz|\leqq 1$ を満たす $z$ に対して,$|z-3-2i|$ の最小値を求めよ.

練習の解答