複素関数による軌跡
複素数平面(教科書範囲) ★★★
複素関数による軌跡を扱います．
複素数平面の中でもレベルが高く，総まとめのような内容です．
複素関数による軌跡
今までは関数といえば，$y=f(x)$ のように，独立変数 $x$，従属変数 $y$ もともに実数の関数を考えてきました．
しかし，独立変数，従属変数をともに複素数にした関数を複素関数といい，$w=f(z)$ のように表すことができます．大学では複素解析学といい，ここで詳しく扱われます．
高校数学では，$z$ の条件から $w$ の軌跡を導き出すこと，またその逆などが問われます．
複素関数による軌跡の求め方
STEP1：$w=f(z)$ で $z$ の条件がわかっている場合，$z=g(w)$ のように $z$ について解き，$w$ の方程式を作る( $w$ の条件がわかっている場合，$z$ の方程式を作る．)
STEP2：方程式を式変形して軌跡を導く．$w=x+yi$ ( $z=x+yi$ )とおいて座標平面の方程式にして計算してもよい．
STEP3：導出された集合のすべてを取れるのか，除外点がないか確認する．
※ 基本的には上記の方法で算出しますが，式の意味を考えて答えられる場合があります(例題(1))．
下の問題で確認していきます．
例題と練習問題
例題
例題
複素数 $z$ が点 $1$ を中心とする半径 $1$ の円を動くとき，次の点 $w$ はどのような図形を描くか．
(1) $w=iz+i$
(2) $w=\dfrac{4i}{z-3}$
講義
(1)は(2)のように計算で出せますが，式の意味を考えて答えると楽です．(2)はまず $z$ について解いて，$|z-1|=1$ に代入します．
解答
(1)
$w=iz+i$ は $z$ を原点を中心に $\dfrac{\pi}{2}$ 回転し，全体を $+i$ 平行移動したグラフなので，点 $\boldsymbol{2i}$ を中心とする半径 $\boldsymbol{1}$ の円．
※ $w=i(z+1)$ とすると先に全体を $+1$ 平行移動してから原点を中心に $\dfrac{\pi}{2}$ 回転するという意味になり，結果は同じです．
(2)
$w=\dfrac{4i}{z-3}$ を $z$ について解くと，$w\neq 0$ より $z=\dfrac{4i}{w}+3$．これを $|z-1|=1$ に代入すると
$\left|\dfrac{4i}{w}+2\right|=1$
$\Longleftrightarrow \ \left|4i+2w\right|=|w|$
$\Longleftrightarrow \ 2\left|w+2i\right|=|w|$
両辺 $2$ 乗すると
$4(w+2i)(\overline{w}-2i)=w\overline{w}$
$\Longleftrightarrow \ 3w\overline{w}-8wi+8\overline{w}i+16=0$
$\Longleftrightarrow \ w\overline{w}-\dfrac{8}{3}wi+\dfrac{8}{3}\overline{w}i+\dfrac{16}{3}=0$
$\Longleftrightarrow \ \left(w+\dfrac{8}{3}i\right)\left(\overline{w}-\dfrac{8}{3}i\right)=\dfrac{64}{9}-\dfrac{16}{3}$
$\Longleftrightarrow \ \left|w+\dfrac{8}{3}i\right|^{2}=\dfrac{16}{9}$
これより
$\left|w+\dfrac{8}{3}i\right|=\dfrac{4}{3}$
点 $w$ の全体は点 $\boldsymbol{-\dfrac{8}{3}i}$ を中心とする半径 $\boldsymbol{\dfrac{4}{3}}$ の円
練習問題
練習
複素数平面上の $2$ つの複素数 $w$，$z$ が $w=\dfrac{iz}{z+i}$ を満たしているとする．
(1) 点 $z$ が原点を中心とする半径 $1$ の円を動くとき，点 $w$ はどのような図形を描くか．
(2) 点 $z$ が実軸上を動くとき，点 $w$ はどのような図形を描くか．
(3) 点 $w$ が虚軸上を動くとき，点 $z$ はどのような図形を描くか．
練習の解答
$w=\dfrac{iz}{z+i}$ $(z\neq -i)$
$\Longleftrightarrow \ (z+i)w=iz$
$\Longleftrightarrow \ (w-i)z=-iw$
ここで，$w=i$ とすると $w=\dfrac{iz}{z+i}$ を満たさないので $w \neq i$．
$z=\dfrac{-iw}{w-i}$
(1)
$|z|=1$ より
$\left|\dfrac{-iw}{w-i}\right|=1$
$\Longleftrightarrow \ |-iw|=|w-i|$
$\Longleftrightarrow \ |w|=|w-i|$
これより点 $w$ の全体は$\boldsymbol{2}$ 点 $\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{i}$ を結ぶ線分の垂直二等分線．
(2)
$z=\overline{z}$ より
$\dfrac{-iw}{w-i}=\dfrac{i\overline{w}}{\overline{w}+i}$
$\Longleftrightarrow \ \dfrac{-w}{w-i}=\dfrac{\overline{w}}{\overline{w}+i}$
$w \neq i$ として，分母はらうと
$-w\overline{w}-wi=w\overline{w}-\overline{w}i$
$\Longleftrightarrow \ 0=2w\overline{w}+wi-\overline{w}i$
$\Longleftrightarrow \ 0=w\overline{w}+\dfrac{1}{2}wi-\dfrac{1}{2}\overline{w}i$
$\Longleftrightarrow \ 0=\left(w-\dfrac{1}{2}i\right)\left(\overline{w}+\dfrac{1}{2}i\right)-\dfrac{1}{4}$
$\Longleftrightarrow \ \left|w-\dfrac{1}{2}i\right|^{2}=\dfrac{1}{4}$
これより
$\left|w-\dfrac{1}{2}i\right|=\dfrac{1}{2}$
点 $w$ の全体は点 $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}i}$ を中心とする半径 $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$ の円．ただし，$\boldsymbol{w=i}$ を除く．
(3)
$w=-\overline{w}$ より
$\dfrac{iz}{z+i}=-\dfrac{-i\overline{z}}{\overline{z}-i}$
$\Longleftrightarrow \ \dfrac{z}{z+i}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z}-i}$
$z\neq -i$ として，分母はらうと
$z\overline{z}-zi=z\overline{z}+\overline{z}i$
$\Longleftrightarrow \ z=-\overline{z}$
これより点 $z$ の全体は虚軸上を動く．ただし，$\boldsymbol{z=-i}$ を除く．