微分で求める最大値・最小値
微分(数学Ⅱ，Ⅲ)(教科書範囲) ★★
数学Ⅱ，数学Ⅲ共通ページです．
微分を用いて(1変数関数の)最大値・最小値を求める方法について扱います．
数学Ⅱの微分を勉強中の方は，2章までです．
微分による最大値・最小値の求め方
1変数関数の最大値・最小値の求め方は，その関数が何であるかによって，とるべき手法が異なります．最速の方法でない場合もありますが，基本的には微分によって求めることが可能です．
微分をして増減表を書くことにより，グラフが書けるので，定義域内で最大値・最小値を求めます．
一般的には，極大・極小と最大・最小が違うことがあるので注意します．
例題と練習問題(数学Ⅱ)
例題
例題
次の関数の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの $x$ の値を求めよ．
$y=x^{3}-3x^{2}$ $\left(-2\leqq x \leqq \sqrt{7}\right)$
講義
微分をして，増減表を書きます．増減表のみで最大，最小が判断できるならばグラフを書かなくても構いません．
解答
$y'=3x^{2}-6x=3x(x-2)$ より
増減表は
| $x$ | $-2$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $2$ | $\cdots$ | $\sqrt{7}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ |
| $y$ | $-20$ | ↗︎ | $0$ | ↘︎ | $-4$ | ↗︎ | $7(\sqrt{7}-3)$ |
$\boldsymbol{x=0}$ のとき，最大値 $\boldsymbol{0}$
$\boldsymbol{x=-2}$ のとき，最小値 $\boldsymbol{-20}$
※ $7(\sqrt{7}-3)<0$ です．ルートの語呂合わせにありますが，$\sqrt{7}=2.64\cdots$ で判断してもいいですね．
※ 結果的に極大値が最大値になりましたが，極小値は最小値になっていません．グラフを書かなくても最大値，最小値が判断できました．
練習問題
練習1
次の関数の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの $x$ の値を求めよ．
$y=x^{4}-\dfrac{4}{3}x^{3}-4x^{2}$ $\left(-2\leqq x \leqq 3\right)$
練習2
半径1の球に内接する円柱の体積の最大値を求めよ．
練習1の解答
$y'=4x^{3}-4x^{2}-8x=4x(x+1)(x-2)$ より
増減表は
| $x$ | $-2$ | $\cdots$ | $-1$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $2$ | $\cdots$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ |
| $y$ | $\dfrac{32}{3}$ | ↘︎ | $-\dfrac{5}{3}$ | ↗︎ | $0$ | ↘︎ | $-\dfrac{32}{3}$ | ↗︎ | $9$ |
$\boldsymbol{x=-2}$ のとき，最大値 $\boldsymbol{\dfrac{32}{3}}$
$\boldsymbol{x=2}$ のとき，最小値 $\boldsymbol{-\dfrac{32}{3}}$
練習2の解答
断面図です．
図のように球の中心から円柱の底面までの距離を $x$ $(0< x<1)$ ，体積を $V$ とおくと
$V$
$=(\sqrt{1-x^2})^{2}\pi\cdot 2x$
$=2\pi(x-x^{3})$ $(0< x<1)$
$\dfrac{dV}{dx}=2\pi(1-3x^2)$ より
増減表は
| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $\cdots$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\dfrac{dV}{dx}$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ |
| $V$ | $0$ | ↗︎ | $\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\pi$ | ↘︎ | $0$ |
$x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき，最大値 $\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\pi}$
練習問題(数学Ⅲ)
練習3
$f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{4+4\sin^{2} x\cos^{2} x}$ に対して，次の問いに答えよ．
(1) $t=\sin x+\cos x$ とおくとき，$f(x)$ を $t$ で表せ．
(2) $t$ の範囲を求めよ．
(3) $f(x)$ の最大値を求めよ．
練習3の解答
(1)
$t^{2}=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x$
$\therefore \ t^{2}-1=2\sin x\cos x$
$f(x)=\dfrac{t}{4+(t^{2}-1)^{2}}=\boldsymbol{\dfrac{t}{t^{4}-2t^{2}+5}}$
(2)
$t=\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ ←合成
より，$\boldsymbol{-\sqrt{2}\leqq t \leqq \sqrt{2}}$
(3)
$f(x)=g(t)=\dfrac{t}{t^{4}-2t^{2}+5}$ とおくと，$g(-t)=-g(t)$ より $g(t)$ は奇関数なので，$0\leqq t\leqq \sqrt{2}$ を調べる．
$\dfrac{dg(t)}{dt}$
$=\dfrac{t^{4}-2t^{2}+5-t(4t^{3}-4t)}{(t^{4}-2t^{2}+5)^{2}}$
$=\dfrac{-(3t^{4}-2t^{2}-5)}{(t^{4}-2t^{2}+5)^{2}}$
$=\dfrac{-(3t^{2}-5)(t^{2}+1)}{(t^{4}-2t^{2}+5)^{2}}$
増減表は
| $t$ | $0$ | $\cdots$ | $\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ | $\cdots$ | $\sqrt{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\dfrac{dg(t)}{dt}$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ |
| $g(t)$ | $0$ | ↗︎ | $\dfrac{3\sqrt{15}}{40}$ | ↘︎ | $\dfrac{\sqrt{2}}{5}$ |
以上より $g(t)$ が奇関数であることを考慮して，$g(t)$ つまり $f(x)$ の最大値は$\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{15}}{40}}$