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微分で求める最大値・最小値

微分(数学Ⅱ,Ⅲ)(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

数学Ⅱ,数学Ⅲ共通ページです.

微分を用いて(1変数関数の)最大値・最小値を求める方法について扱います.

数学Ⅱの微分を勉強中の人は,2章までです.



微分による最大値・最小値の求め方(数学Ⅱ,数学Ⅲ共通)

1変数関数の最大値・最小値の求め方は,その関数が何であるかによって,とるべき手法が異なります.最速の方法でない場合もありますが,基本的には微分によって求めることが可能です.

微分をして増減表を書くことにより,グラフが書けるので,定義域内で最大値・最小値を求めます.

極値と最大最小

一般的には,極大・極小と最大・最小が違うことがあるので注意します.

例題と練習問題(数学Ⅱ)

例題

例題

次の関数の最大値,最小値を求めよ.また,そのときの $x$ の値を求めよ.

$y=x^{3}-3x^{2}$ $\left(-2\leqq x \leqq \sqrt{7}\right)$


講義

微分をして,増減表を書きます.増減表のみで最大,最小が判断できるならばグラフを書かなくても構いません.


解答

$y'=3x^{2}-6x=3x(x-2)$ より

増減表は

$x$ $-2$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $2$ $\cdots$ $\sqrt{7}$
$y'$ $+$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $+$
$y$ $-20$ ↗︎ $0$ ↘︎ $-4$ ↗︎ $7(\sqrt{7}-3)$

$\boldsymbol{x=0}$ のとき,最大値 $\boldsymbol{0}$

$\boldsymbol{x=-2}$ のとき,最小値 $\boldsymbol{-20}$

※ $7(\sqrt{7}-3)<0$ です.ルートの語呂合わせにありますが,$\sqrt{7}=2.64\cdots$ で判断してもいいですね.

※ 結果的に極大値が最大値になりましたが,極小値は最小値になっていません.グラフを書かなくても最大値,最小値が判断できました.

練習問題

練習1

次の関数の最大値,最小値を求めよ.また,そのときの $x$ の値を求めよ.

$y=x^{4}-\dfrac{4}{3}x^{3}-4x^{2}$ $\left(-2\leqq x \leqq 3\right)$


練習2

半径1の球に内接する円柱の体積の最大値を求めよ.

練習1の解答

$y'=4x^{3}-4x^{2}-8x=4x(x+1)(x-2)$ より

増減表は

$x$ $-2$ $\cdots$ $-1$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $2$ $\cdots$ $3$
$y'$ $-$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $+$
$y$ $\dfrac{32}{3}$ ↘︎ $-\dfrac{5}{3}$ ↗︎ $0$ ↘︎ $-\dfrac{32}{3}$ ↗︎ $9$

$\boldsymbol{x=-2}$ のとき,最大値 $\boldsymbol{\dfrac{32}{3}}$

$\boldsymbol{x=2}$ のとき,最小値 $\boldsymbol{-\dfrac{32}{3}}$


練習2の解答

断面図です.

練習2の図

図のように球の中心から円柱の底面までの距離を $x$ $(0< x<1)$ ,体積を $V$ とおくと

 $V$

$=(\sqrt{1-x^2})^{2}\pi\cdot 2x$

$=2\pi(x-x^{3})$ $(0< x<1)$

$\dfrac{dV}{dx}=2\pi(1-3x^2)$ より

増減表は

$x$ $0$ $\cdots$ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\cdots$ $1$
$\dfrac{dV}{dx}$ $+$ $+$ $0$ $-$ $-$
$V$ $0$ ↗︎ $\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\pi$ ↘︎ $0$

$x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき,最大値 $\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\pi}$

練習問題(数学Ⅲ)

練習3

$f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{4+4\sin^{2} x\cos^{2} x}$ に対して,次の問いに答えよ.

(1) $t=\sin x+\cos x$ とおくとき,$f(x)$ を $t$ で表せ.

(2) $t$ の範囲を求めよ.

(3) $f(x)$ の最大値を求めよ.

練習3の解答

(1)

$t^{2}=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x$

$\therefore \ t^{2}-1=2\sin x\cos x$

$f(x)=\dfrac{t}{4+(t^{2}-1)^{2}}=\boldsymbol{\dfrac{t}{t^{4}-2t^{2}+5}}$


(2)

$t=\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ ←合成

より,$\boldsymbol{-\sqrt{2}\leqq t \leqq \sqrt{2}}$


(3)

$f(x)=g(t)=\dfrac{t}{t^{4}-2t^{2}+5}$ とおくと,$g(-t)=-g(t)$ より $g(t)$ は奇関数なので,$0\leqq t\leqq \sqrt{2}$ を調べる.

 $\dfrac{dg(t)}{dt}$

$=\dfrac{t^{4}-2t^{2}+5-t(4t^{3}-4t)}{(t^{4}-2t^{2}+5)^{2}}$

$=\dfrac{-(3t^{4}-2t^{2}-5)}{(t^{4}-2t^{2}+5)^{2}}$

$=\dfrac{-(3t^{2}-5)(t^{2}+1)}{(t^{4}-2t^{2}+5)^{2}}$

増減表は

$t$ $0$ $\cdots$ $\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ $\cdots$ $\sqrt{2}$
$\dfrac{dg(t)}{dt}$ $+$ $+$ $0$ $-$ $-$
$g(t)$ $0$ ↗︎ $\dfrac{3\sqrt{15}}{40}$ ↘︎ $\dfrac{\sqrt{2}}{5}$

以上より $g(t)$ が奇関数であることを考慮して,$g(t)$ つまり $f(x)$ の最大値は$\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{15}}{40}}$