微分で求める最大値・最小値
このページでは，微分を用いて(1変数関数の)最大値・最小値を求める方法について扱います．本質的に同じなので数Ⅱ，数Ⅲともにこのページで扱います．
数Ⅱの微分を勉強中の人は，2章までです．
1変数関数の最大値・最小値の求め方は，その関数が何であるかによって，とるべき手法が異なります．最速の方法でない場合もありますがとりあえずはどんな関数も微分によって求めることが可能です．
微分をして増減表を書くことにより，グラフが書けるので，定義域内で最大値・最小値を求めます．
一般的には，極大・極小と最大・最小が違うことがあるので注意します．
例題
例題
次の関数の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの $x$ の値を求めよ．
$y=x^{3}-3x^{2}$ $\left(-2\leqq x \leqq \sqrt{7}\right)$
講義
微分をして，増減表を書きます．増減表のみで最大，最小が判断できるならばグラフを書かなくても構いません．
解答
$y'=3x^{2}-6x=3x(x-2)$ より
増減表は
| $x$ |
$-2$ |
$\cdots$ |
$0$ |
$\cdots$ |
$2$ |
$\cdots$ |
$\sqrt{7}$ |
| $y'$ |
$+$ |
$+$ |
$0$ |
$-$ |
$0$ |
$+$ |
$+$ |
| $y$ |
$-20$ |
↗︎ |
$0$ |
↘︎ |
$-4$ |
↗︎ |
$7(\sqrt{7}-3)$ |
$\boldsymbol{x=-0}$ のとき，最大値 $\boldsymbol{0}$
$\boldsymbol{x=-2}$ のとき，最小値 $\boldsymbol{-20}$
※ $7(\sqrt{7}-3)<0$ です．ルートの語呂合わせにありますが，$\sqrt{7}=2.64\cdots$ で判断してもいいですね．
※ 結果的に極大値が最大値になりましたが，極小値は最小値になっていません．グラフを書かなくても最大値，最小値が判断できました．
練習問題
練習1
次の関数の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの $x$ の値を求めよ．
$y=x^{4}-\dfrac{4}{3}x^{3}-4x^{2}$ $\left(-2\leqq x \leqq 3\right)$
練習2
半径1の球に内接する円柱の体積の最大値を求めよ．
練習の解答
練習1の解答
$y'=4x^{3}-4x^{2}-8x=4x(x+1)(x-2)$ より
増減表は
| $x$ |
$-2$ |
$\cdots$ |
$-1$ |
$\cdots$ |
$0$ |
$\cdots$ |
$2$ |
$\cdots$ |
$3$ |
| $y'$ |
$-$ |
$-$ |
$0$ |
$+$ |
$0$ |
$-$ |
$0$ |
$+$ |
$+$ |
| $y$ |
$\dfrac{32}{3}$ |
↘︎ |
$-\dfrac{5}{3}$ |
↗︎ |
$0$ |
↘︎ |
$-\dfrac{32}{3}$ |
↗︎ |
$9$ |
$\boldsymbol{x=-2}$ のとき，最大値 $\boldsymbol{\dfrac{32}{3}}$
$\boldsymbol{x=2}$ のとき，最小値 $\boldsymbol{-\dfrac{32}{3}}$
練習2の解答
断面図です．
図のように球の中心から円柱の底面までの距離を $x$ $(0< x<1)$ ，体積を $V$ とおくと
$V$
$=(\sqrt{1-x^2})^{2}\pi\cdot 2x$
$=2\pi(x-x^{3})$ $(0< x<1)$
$\dfrac{dV}{dx}=2\pi(1-3x^2)$ より
増減表は
| $x$ |
$0$ |
$\cdots$ |
$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ |
$\cdots$ |
$1$ |
| $\dfrac{dV}{dx}$ |
$+$ |
$+$ |
$0$ |
$-$ |
$-$ |
| $V$ |
$0$ |
↗︎ |
$\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\pi$ |
↘︎ |
$0$ |
$x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき，最大値 $\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\pi}$
練習3
$f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{4+4\sin^{2} x\cos^{2} x}$ に対して，次の問いに答えよ．
(1) $t=\sin x+\cos x$ とおくとき，$f(x)$ を $t$ で表せ．
(2) $t$ の範囲を求めよ．
(3) $f(x)$ の最大値を求めよ．
練習3の解答
練習3の解答
(1)
$t^{2}=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x$
$\therefore \ t^{2}-1=2\sin x\cos x$
$f(x)=\dfrac{t}{4+(t^{2}-1)^{2}}=\boldsymbol{\dfrac{t}{t^{4}-2t^{2}+5}}$
(2)
$t=\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ ←合成
より，$\boldsymbol{-\sqrt{2}\leqq t \leqq \sqrt{2}}$
(3)
$f(x)=g(t)=\dfrac{t}{t^{4}-2t^{2}+5}$ とおくと，$g(-t)=-g(t)$ より $g(t)$ は奇関数なので，$0\leqq t\leqq \sqrt{2}$ を調べる．
$\dfrac{dg(t)}{dt}$
$=\dfrac{t^{4}-2t^{2}+5-t(4t^{3}-4t)}{(t^{4}-2t^{2}+5)^{2}}$
$=\dfrac{-(3t^{4}-2t^{2}-5)}{(t^{4}-2t^{2}+5)^{2}}$
$=\dfrac{-(3t^{2}-5)(t^{2}+1)}{(t^{4}-2t^{2}+5)^{2}}$
増減表は
| $t$ |
$0$ |
$\cdots$ |
$\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ |
$\cdots$ |
$\sqrt{2}$ |
| $\dfrac{dg(t)}{dt}$ |
$+$ |
$+$ |
$0$ |
$-$ |
$-$ |
| $g(t)$ |
$0$ |
↗︎ |
$\dfrac{3\sqrt{15}}{40}$ |
↘︎ |
$\dfrac{\sqrt{2}}{5}$ |
以上より $g(t)$ が奇関数であることを考慮して，$g(t)$ つまり $f(x)$ の最大値は$\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{15}}{40}}$
