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微分による不等式の証明

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

このページでは,微分を用いた(1変数関数の)不等式の証明について扱います.本質的に同じなので数Ⅱ,数Ⅲともにこのページで扱います.

数Ⅱの微分を勉強中の人は,2章までです.

ちなみに,2変数の不等式の証明問題はこちらです.





微分による不等式の証明(数Ⅱ,数Ⅲ共通)

微分による最大値・最小値の求め方

不等式 $f(x) >g(x)$ を示すためには,$h(x)=f(x)-g(x)>0$ を示せばいい.つまり,$h(x)$ を微分して調べ

$(h(x)$ の最小値 $)$ $>0$

を示せばいい.




例題と練習問題(数Ⅱ)

例題

例題

$x> -3$ のとき次の不等式が成り立つことを示せ.

$x^{3}+x^{2}-2x+18 >x^{2}+x$


講義

左辺 $-$ 右辺を $f(x)$ などと関数でおいて,$f(x)>0$ を示します.


解答

 $f(x)$

$=x^{3}+x^{2}-2x+18-(x^{2}+x)=x^{3}-3x+18$

とおく.

 $f'(x)$

$=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$

増減表は

$x$ $-3$ $\cdots$ $-1$ $\cdots$ $1$ $\cdots$
$f'(x)$ $+$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $0$ ↗︎ $20$ ↘︎ $16$ ↗︎

$x > -3$ のとき $f(x)>0$ より

$x^{3}+x^{2}-2x+18 >x^{2}+x$



練習問題

練習1

$x\geqq -2$ のとき次の不等式が成り立つことを示せ.

$3x^{4}+32 \geqq4x^{3}+12x^{2}$


練習2

$2x^{3}-3(a+1)x^{2}+6ax+16\geqq 0$ $(a>1)$ が $x\geqq 1$ において常に成立するような $a$ のとりうる値の範囲を求めよ.

練習の解答




練習問題(数Ⅲ)

数Ⅲの場合も方針は同じですが,1回微分しただけでは(左辺) $-$ (右辺)の様子,単調増加か減少かがわからない場合があり,様子がわかるまで複数回微分する問題もあります.



練習3

(1) 不等式 $\log x<2\sqrt{x}$ $(x>0)$ が成り立つことを示せ.

(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{\log x}{x}$ を求めよ.


練習4

次の不等式を示せ.

(1) $x\geqq \sin x$ $(x\geqq 0)$

(2) $\cos x \geqq 1-\dfrac{x^2}{2}$

練習の解答



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