微分による不等式の証明
微分(数学Ⅱ，Ⅲ)(教科書範囲) ★★★
数学Ⅱ，数学Ⅲ共通ページです．
微分を用いた(1変数関数の)不等式の証明について扱います．
数学Ⅱの微分を勉強中の方は，2章までです．
ちなみに，2変数の不等式の証明問題はこちらです．
微分による不等式の証明
微分による最大値・最小値の求め方
不等式 $f(x) >g(x)$ を示すためには，$h(x)=f(x)-g(x)>0$ を示せばいい．つまり，$h(x)$ を微分して調べ
$(h(x)$ の最小値 $)$ $>0$
を示せばいい．
例題と練習問題(数学Ⅱ)
例題
例題
$x> -3$ のとき次の不等式が成り立つことを示せ．
$x^{3}+x^{2}-2x+18 >x^{2}+x$
講義
左辺 $-$ 右辺を $f(x)$ などと関数でおいて，$f(x)>0$ を示します．
解答
$f(x)$
$=x^{3}+x^{2}-2x+18-(x^{2}+x)=x^{3}-3x+18$
とおく．
$f'(x)$
$=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$
増減表は
| $x$ | $-3$ | $\cdots$ | $-1$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $0$ | ↗︎ | $20$ | ↘︎ | $16$ | ↗︎ |
$x > -3$ のとき $f(x)>0$ より
$x^{3}+x^{2}-2x+18 >x^{2}+x$
練習問題
練習1
$x\geqq -2$ のとき次の不等式が成り立つことを示せ．
$3x^{4}+32 \geqq4x^{3}+12x^{2}$
練習2
$2x^{3}-3(a+1)x^{2}+6ax+16\geqq 0$ $(a>1)$ が $x\geqq 1$ において常に成立するような $a$ のとりうる値の範囲を求めよ．
練習1の解答
$f(x)$
$=3x^{4}+32-(4x^{3}+12x^{2})=3x^{4}-4x^{3}-12x^{2}+32$
とおく．
$f'(x)$
$=12x^{3}-12x^{2}-24x=12x(x+1)(x-2)$
増減表は
| $x$ | $-2$ | $\cdots$ | $-1$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $2$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $64$ | ↘︎ | $27$ | ↗︎ | $32$ | ↘︎ | $0$ | ↗︎ |
以上より $f(x)\geqq0$．
$\therefore \ 3x^{4}+32 \geqq4x^{3}+12x^{2}$
練習2の解答
$f(x)$
$=2x^{3}-3(a+1)x^{2}+6ax+16$
とおく．
$f'(x)$
$=6x^{2}-6(a+1)x+6a$
$=6(x-1)(x-a)$
増減表は
| $x$ | $1$ | $\cdots$ | $a$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↘︎ | $-a^{3}+3a^{2}+16$ | ↗︎ |
題意を満たすためには $(f(x)$ の最小値 $)$ $\geqq0$ であればいいので
$-a^{3}+3a^{2}+16\geqq 0$
$\Longleftrightarrow \ a^{3}-3a^{2}-16\leqq 0$
$\Longleftrightarrow \ (a-4)(a^{2}+a+4)\leqq 0$
$\Longleftrightarrow \ a-4\leqq 0$ $( \because \ a^{2}+a+4>0)$
仮定から $a>1$ より
$\boldsymbol{1< a \leqq 4}$
練習問題(数学Ⅲ)
数学Ⅲの場合も方針は同じですが，1回微分しただけでは(左辺) $-$ (右辺)の様子，単調増加か減少かがわからない場合があり，様子がわかるまで複数回微分する問題もあります．
練習3
(1) 不等式 $\log x<2\sqrt{x}$ $(x>0)$ が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{\log x}{x}$ を求めよ．
練習4
次の不等式を示せ．
(1) $x\geqq \sin x$ $(x\geqq 0)$
(2) $\cos x \geqq 1-\dfrac{x^2}{2}$
練習3の解答
(1)
$f(x)=2\sqrt{x}-\log x$ $(x> 0)$ とおくと
$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x}$
増減表は
| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↘︎ | $2$ | ↗︎ |
増減表より，$f(x)>0$
$\therefore \ \log x<2\sqrt{x}$ $(x>0)$
(2)
(1)の式を両辺を正の $x$ で割ると，$x>1$ において
$0<\dfrac{\log x}{x}<\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ $(x>1)$
が成り立つ．$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2}{\sqrt{x}}=0$ より
$\displaystyle \therefore \ \lim_{x \to \infty}\dfrac{\log x}{x}=\boldsymbol{0}$
練習4の解答
(1)
$f(x)=x-\sin x$ $(x\geqq 0)$ とおくと
$f'(x)=1-\cos x\geqq0$
これより $f(x)$ は単調増加．また $f(0)=0$ より，$f(x)\geqq0$
$\therefore \ x\geqq \sin x$ $(x\geqq 0)$
(2)
$g(x)=\cos x-\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)$ とおく．$g(-x)=g(x)$ より $g(x)$ は偶関数なので，$x\geqq 0$ を調べる．
$g'(x)=-\sin x+x=f(x)\geqq0$ $(x\geqq 0)$ $ ( \because \ (1))$
$g(x)$ は単調増加．$g(0)=0$ より $g(x)\geqq0$．
$g(x)$ は偶関数であり $y$ 軸に関して対称なので，すべての実数 $x$ に関して $g(x)\geqq0$．
$\therefore \ \cos x \geqq 1-\dfrac{x^2}{2}$