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微分による不等式の証明

微分(数学Ⅱ,Ⅲ)(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

数学Ⅱ,数学Ⅲ共通ページです.

微分を用いた(1変数関数の)不等式の証明について扱います.

数学Ⅱの微分を勉強中の人は,2章までです.

ちなみに,2変数の不等式の証明問題はこちらです.



微分による不等式の証明(数学Ⅱ,数学Ⅲ共通)

微分による最大値・最小値の求め方

不等式 $f(x) >g(x)$ を示すためには,$h(x)=f(x)-g(x)>0$ を示せばいい.つまり,$h(x)$ を微分して調べ

$(h(x)$ の最小値 $)$ $>0$

を示せばいい.

例題と練習問題(数学Ⅱ)

例題

例題

$x> -3$ のとき次の不等式が成り立つことを示せ.

$x^{3}+x^{2}-2x+18 >x^{2}+x$


講義

左辺 $-$ 右辺を $f(x)$ などと関数でおいて,$f(x)>0$ を示します.


解答

 $f(x)$

$=x^{3}+x^{2}-2x+18-(x^{2}+x)=x^{3}-3x+18$

とおく.

 $f'(x)$

$=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$

増減表は

$x$ $-3$ $\cdots$ $-1$ $\cdots$ $1$ $\cdots$
$f'(x)$ $+$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $0$ ↗︎ $20$ ↘︎ $16$ ↗︎

$x > -3$ のとき $f(x)>0$ より

$x^{3}+x^{2}-2x+18 >x^{2}+x$

練習問題

練習1

$x\geqq -2$ のとき次の不等式が成り立つことを示せ.

$3x^{4}+32 \geqq4x^{3}+12x^{2}$


練習2

$2x^{3}-3(a+1)x^{2}+6ax+16\geqq 0$ $(a>1)$ が $x\geqq 1$ において常に成立するような $a$ のとりうる値の範囲を求めよ.

練習1の解答

 $f(x)$

$=3x^{4}+32-(4x^{3}+12x^{2})=3x^{4}-4x^{3}-12x^{2}+32$

とおく.

 $f'(x)$

$=12x^{3}-12x^{2}-24x=12x(x+1)(x-2)$

増減表は

$x$ $-2$ $\cdots$ $-1$ $\cdots$ $0$ $\cdots$ $2$ $\cdots$
$f'(x)$ $-$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $64$ ↘︎ $25$ ↗︎ $32$ ↘︎ $0$ ↗︎

以上より $f(x)\geqq0$.

$\therefore \ 3x^{4}+32 \geqq4x^{3}+12x^{2}$


練習2の解答

 $f(x)$

$=2x^{3}-3(a+1)x^{2}+6ax+16$

とおく.

 $f'(x)$

$=6x^{2}-6(a+1)x+6a$

$=6(x-1)(x-a)$

増減表は

$x$ $1$ $\cdots$ $a$ $\cdots$
$f'(x)$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ ↘︎ $-a^{3}+3a^{2}+16$ ↗︎

題意を満たすためには $(f(x)$ の最小値 $)$ $\geqq0$ であればいいので

$-a^{3}+3a^{2}+16\geqq 0$

$\Longleftrightarrow \ a^{3}-3a^{2}-16\leqq 0$

$\Longleftrightarrow \ (a-4)(a^{2}+a+4)\leqq 0$

$\Longleftrightarrow \ a-4\leqq 0$ $( \because \ a^{2}+a+4>0)$

仮定から $a>1$ より

$\boldsymbol{1< a \leqq 4}$

練習問題(数学Ⅲ)

数学Ⅲの場合も方針は同じですが,1回微分しただけでは(左辺) $-$ (右辺)の様子,単調増加か減少かがわからない場合があり,様子がわかるまで複数回微分する問題もあります.


練習3

(1) 不等式 $\log x<2\sqrt{x}$ $(x>0)$ が成り立つことを示せ.

(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{\log x}{x}$ を求めよ.


練習4

次の不等式を示せ.

(1) $x\geqq \sin x$ $(x\geqq 0)$

(2) $\cos x \geqq 1-\dfrac{x^2}{2}$

練習3の解答

(1)

$f(x)=2\sqrt{x}-\log x$ $(x> 0)$ とおくと

$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x}$

増減表は

$x$ $0$ $\cdots$ $1$ $\cdots$
$f'(x)$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ ↘︎ $2$ ↗︎

増減表より,$f(x)>0$

$\therefore \ \log x<2\sqrt{x}$ $(x>0)$


(2)

(1)の式を両辺を正の $x$ で割ると,$x>1$ において

$0<\dfrac{\log x}{x}<\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ $(x>1)$

が成り立つ.$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2}{\sqrt{x}}=0$ より

$\displaystyle \therefore \ \lim_{x \to \infty}\dfrac{\log x}{x}=\boldsymbol{0}$


練習4の解答

(1)

$f(x)=x-\sin x$ $(x\geqq 0)$ とおくと

$f'(x)=1-\cos x\geqq0$

これより $f(x)$ は単調増加.また $f(0)=0$ より,$f(x)\geqq0$

$\therefore \ x\geqq \sin x$ $(x\geqq 0)$


(2)

$g(x)=\cos x-\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)$ とおく.$g(-x)=g(x)$ より $g(x)$ は偶関数なので,$x\geqq 0$ を調べる.

$g'(x)=-\sin x+x=f(x)\geqq0$ $(x\geqq 0)$ $ ( \because \ (1))$

$g(x)$ は単調増加.$g(0)=0$ より $g(x)\geqq0$.

$g(x)$ は偶関数であり $y$ 軸に関して対称なので,すべての実数 $x$ に関して $g(x)\geqq0$.

$\therefore \ \cos x \geqq 1-\dfrac{x^2}{2}$