練習1の解答

　$f(x)$

$=3x^{4}+32-(4x^{3}+12x^{2})=3x^{4}-4x^{3}-12x^{2}+32$

とおく．

　$f'(x)$

$=12x^{3}-12x^{2}-24x=12x(x+1)(x-2)$

増減表は

$x$	$-2$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$64$	↘︎	$25$	↗︎	$32$	↘︎	$0$	↗︎

以上より $f(x)\geqq0$．

$\therefore \ 3x^{4}+32 \geqq4x^{3}+12x^{2}$

練習2の解答

　$f(x)$

$=2x^{3}-3(a+1)x^{2}+6ax+16$

とおく．

　$f'(x)$

$=6x^{2}-6(a+1)x+6a$

$=6(x-1)(x-a)$

増減表は

$x$	$1$	$\cdots$	$a$	$\cdots$
$f'(x)$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		↘︎	$-a^{3}+3a^{2}+16$	↗︎

題意を満たすためには $(f(x)$ の最小値 $)$ $\geqq0$ であればいいので

$-a^{3}+3a^{2}+16\geqq 0$

$\Longleftrightarrow \ a^{3}-3a^{2}-16\leqq 0$

$\Longleftrightarrow \ (a-4)(a^{2}+a+4)\leqq 0$

$\Longleftrightarrow \ a-4\leqq 0$　$( \because \ a^{2}+a+4>0)$

仮定から $a>1$ より

$\boldsymbol{1< a \leqq 4}$

練習3の解答

(1)

$f(x)=2\sqrt{x}-\log x$ $(x> 0)$ とおくと

$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x}$

増減表は

$x$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		↘︎	$2$	↗︎

増減表より，$f(x)>0$

$\therefore \ \log x<2\sqrt{x}$ $(x>0)$

(2)

(1)の式を両辺を正の $x$ で割ると，$x>1$ において

$0<\dfrac{\log x}{x}<\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ $(x>1)$

が成り立つ．$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2}{\sqrt{x}}=0$ より

$\displaystyle \therefore \ \lim_{x \to \infty}\dfrac{\log x}{x}=\boldsymbol{0}$

練習4の解答

(1)

$f(x)=x-\sin x$ $(x\geqq 0)$ とおくと

$f'(x)=1-\cos x\geqq0$

これより $f(x)$ は単調増加．また $f(0)=0$ より，$f(x)\geqq0$

$\therefore \ x\geqq \sin x$ $(x\geqq 0)$

(2)

$g(x)=\cos x-\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)$ とおく．$g(-x)=g(x)$ より $g(x)$ は偶関数なので，$x\geqq 0$ を調べる．

$g'(x)=-\sin x+x=f(x)\geqq0$　$(x\geqq 0)$ $ ( \because \ (1))$

$g(x)$ は単調増加．$g(0)=0$ より $g(x)\geqq0$．

$g(x)$ は偶関数であり $y$ 軸に関して対称なので，すべての実数 $x$ に関して $g(x)\geqq0$．

$\therefore \ \cos x \geqq 1-\dfrac{x^2}{2}$