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絶対値を含む方程式・不等式(基本編:1次式)

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


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絶対値を含む方程式・不等式の解説です.

このページは,1次式のみに抑えたので,基本編です.





絶対値を含む方程式・不等式の解き方

ポイント

絶対値を含む方程式の解き方

Ⅰ 場合分けをして,絶対値を外し,方程式を整理する.

Ⅱ 整理した方程式を,場合分けの範囲内で解く.


絶対値を含む不等式の解き方

Ⅰ 場合分けをして,絶対値を外し,不等式を整理する.

Ⅱ 整理した不等式を,場合分けの範囲内で解く.

Ⅲ それぞれ出した範囲を最後にまとめる.

※ グラフを利用して解きなさいという問題をよく見ますが,それにしてもまずは場合分けをしないと始まりません.


上記は基本的な解き方であって,式が以下のように簡単な場合,下の公式を使うと楽です.


ポイント

(簡単な)絶対値を含む方程式の解き方

$b$ は $0$ 以上の定数のとき

$|X|=b$

$\therefore \ X=\pm b$


(簡単な)絶対値を含む不等式の解き方

$b$ は $0$ より大きい定数のとき

(Ⅰ) $|X| < b$

$\therefore \ -b < X < b$

(Ⅱ) $|X| > b$

$\therefore \ X < -b$,$b < X$

※ $X$ には $x$ が入った式を入れます.$b$ は定数であって $x$ が入った式を持ってこれません!


下の問題で主要なパターンを丁寧に解説します.




例題と練習問題

例題

例題

以下の方程式,不等式を解け.

(1) $|x-2|=4$

(2) $3|x-3|=-4x$

(3) $|2x-1| < 3$

(4) $|x+2| \leqq -2x-3$

(5) $|x-4|+|x+3| < 9$


講義

(1)は $|X|=b \Longleftrightarrow X=\pm b$ を使います.

(2)は中身 $x-3$ が $0$ 以上か $0$ 未満か,つまり $x \geqq3$ か $x < 3$ かで場合分けをします.

(3)は $|X| < b \Longleftrightarrow -b < X < b$ を使います.

(4)は中身 $x+2$ が $0$ 以上か $0$ 未満か,つまり $x \geqq-2$ か $x < -2$ かで場合分けをします.

(5)は絶対値が2つあるので,中身が $0$ になる境界が $x=4,-3$ です.つまり $x \geqq 4$ か $-3 \leqq x < 4$ か,$x \leqq -3$ で場合分けをします.


解答

(1)

 $|x-2|=4$

$\Longleftrightarrow \ x-2=\pm4$

$\Longleftrightarrow \ x=2\pm4$

$\therefore \ \boldsymbol{x=-2,6}$


(2)

(ⅰ) $x \geqq 3$ のとき

 $3(x-3)=-4x$

$\Longleftrightarrow \ 7x=9$

 $\therefore \ x=\dfrac{9}{7}$ ( $x \geqq 3$ でないので不適)

(ⅱ) $x < 3$ のとき

 $3(3-x)=-4x$

 $\therefore \ \boldsymbol{x=-9}$


(3)

 $|2x-1| < 3$

$\Longleftrightarrow \ -3 < 2x-1 < 3$

$\Longleftrightarrow \ -2 < 2x < 4$

$\therefore \ \boldsymbol{-1 < x < 2}$


(4)

(ⅰ) $x \geqq -2$ のとき

 $x+2 \leqq -2x-3$

$\Longleftrightarrow \ x\leqq -\dfrac{5}{3}$

 $\therefore \ -2 \leqq x \leqq -\dfrac{5}{3}$ ←場合分けの範囲内で

(ⅱ) $x < -2$ のとき

 $-x-2 \leqq -2x-3$

$\Longleftrightarrow \ x\leqq -1$

 $\therefore \ x < -2$ ←場合分けの範囲内で

以上より

 $\therefore \ \boldsymbol{x\leqq -\dfrac{5}{3}}$ ←合計範囲を出す


(5)

(ⅰ) $x \geqq 4$ のとき

 $x-4+x+3 < 9$

$\Longleftrightarrow \ x < 5$

 $\therefore \ 4 \leqq x < 5$ ←場合分けの範囲内で

(ⅱ) $-3 \leqq x < 4$ のとき

 $4-x+x+3 < 9$

$\Longleftrightarrow \ 7 < 9$ ←適切な不等式が出現

 $\therefore \ -3 \leqq x < 4$ ←場合分けの範囲内の $\boldsymbol{x}$ すべてが適切

(ⅲ) $x < -3$ のとき

 $-x+4-x-3 < 9$

$\Longleftrightarrow \ -4 < x$

 $\therefore \ -4 < x < -3$ ←場合分けの範囲内で

以上より

 $\therefore \ \boldsymbol{-4 < x < 5}$ ←合計範囲を出す



練習問題

練習

以下の方程式,不等式を解け.

(1) $|2x+3|=9$

(2) $|x+1|+|x-3|=6$

(3) $|3x+1| \geqq 4$

(4) $|x-1| \geqq 3x+1$

(5) $|x-2|+|x+5| < x+7$

練習の解答



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