絶対値を含む方程式・不等式(基本編：1次式)
数と式(教科書範囲) ★★
絶対値を含む方程式・不等式の解説です．
このページは，1次式のみに抑えたので，基本編です．
絶対値を含む方程式・不等式の解き方
絶対値を含む方程式の解き方
STEP1：場合分けをして，絶対値を外し，方程式を整理する．
STEP2：整理した方程式を，場合分けの範囲内で解く．
絶対値を含む不等式の解き方
STEP1：場合分けをして，絶対値を外し，不等式を整理する．
STEP2：整理した不等式を，場合分けの範囲内で解く．
STEP3：それぞれ出した範囲を最後にまとめる．
※ グラフを利用して解きなさいという問題をよく見ますが，それにしてもまずは場合分けをしないと始まりません．
上記は基本的な解き方であって，式が以下のように簡単な場合，下の公式を使うと楽です．
(簡単な)絶対値を含む方程式の解き方
$b$ は $0$ 以上の定数のとき
$|X|=b$
$\therefore \ X=\pm b$
(簡単な)絶対値を含む不等式の解き方
$b$ は $0$ より大きい定数のとき
(Ⅰ) $|X| < b$
$\therefore \ -b < X < b$
(Ⅱ) $|X| > b$
$\therefore \ X < -b$，$b < X$
※ $X$ には $x$ が入った式を入れます．$b$ は定数であって $x$ が入った式を持ってこれません．
下の問題で主要なパターンを丁寧に解説します．
例題と練習問題
例題
例題
以下の方程式，不等式を解け．
(1) $|x-2|=4$
(2) $3|x-3|=-4x$
(3) $|2x-1| < 3$
(4) $|x+2| \leqq -2x-3$
(5) $|x-4|+|x+3| < 9$
講義
(1)は $|X|=b \Longleftrightarrow X=\pm b$ を使います．
(2)は中身 $x-3$ が $0$ 以上か $0$ 未満か，つまり $x \geqq3$ か $x < 3$ かで場合分けをします．
(3)は $|X| < b \Longleftrightarrow -b < X < b$ を使います．
(4)は中身 $x+2$ が $0$ 以上か $0$ 未満か，つまり $x \geqq-2$ か $x < -2$ かで場合分けをします．
(5)は絶対値が2つあるので，中身が $0$ になる境界が $x=4，-3$ です．つまり $x \geqq 4$ か $-3 \leqq x < 4$ か，$x \leqq -3$ で場合分けをします．
解答
(1)
$|x-2|=4$
$\Longleftrightarrow \ x-2=\pm4$
$\Longleftrightarrow \ x=2\pm4$
$\therefore \ \boldsymbol{x=-2，6}$
(2)
(ⅰ) $x \geqq 3$ のとき
$3(x-3)=-4x$
$\Longleftrightarrow \ 7x=9$
$\therefore \ x=\dfrac{9}{7}$ ( $x \geqq 3$ でないので不適)
(ⅱ) $x < 3$ のとき
$3(3-x)=-4x$
$\therefore \ \boldsymbol{x=-9}$
(3)
$|2x-1| < 3$
$\Longleftrightarrow \ -3 < 2x-1 < 3$
$\Longleftrightarrow \ -2 < 2x < 4$
$\therefore \ \boldsymbol{-1 < x < 2}$
(4)
(ⅰ) $x \geqq -2$ のとき
$x+2 \leqq -2x-3$
$\Longleftrightarrow \ x\leqq -\dfrac{5}{3}$
$\therefore \ -2 \leqq x \leqq -\dfrac{5}{3}$ ←場合分けの範囲内で
(ⅱ) $x < -2$ のとき
$-x-2 \leqq -2x-3$
$\Longleftrightarrow \ x\leqq -1$
$\therefore \ x < -2$ ←場合分けの範囲内で
以上より
$\therefore \ \boldsymbol{x\leqq -\dfrac{5}{3}}$ ←合計範囲を出す
(5)
(ⅰ) $x \geqq 4$ のとき
$x-4+x+3 < 9$
$\Longleftrightarrow \ x < 5$
$\therefore \ 4 \leqq x < 5$ ←場合分けの範囲内で
(ⅱ) $-3 \leqq x < 4$ のとき
$4-x+x+3 < 9$
$\Longleftrightarrow \ 7 < 9$ ←適切な不等式が出現
$\therefore \ -3 \leqq x < 4$ ←場合分けの範囲内の $\boldsymbol{x}$ すべてが適切
(ⅲ) $x < -3$ のとき
$-x+4-x-3 < 9$
$\Longleftrightarrow \ -4 < x$
$\therefore \ -4 < x < -3$ ←場合分けの範囲内で
以上より
$\therefore \ \boldsymbol{-4 < x < 5}$ ←合計範囲を出す
練習問題
練習
以下の方程式，不等式を解け．
(1) $|2x+3|=9$
(2) $|x+1|+|x-3|=6$
(3) $|3x+1| \geqq 4$
(4) $|x-1| \geqq 3x+1$
(5) $|x-2|+|x+5| < x+7$
練習の解答
(1)
$|2x+3|=9$
$\Longleftrightarrow \ 2x+3=\pm9$
$\Longleftrightarrow \ 2x=-3\pm9$
$\therefore \ \boldsymbol{x=3，-6}$
(2)
(ⅰ) $x \geqq 3$ のとき
$x+1+x-3=6$
$\Longleftrightarrow \ 2x=8$
$\therefore \ \boldsymbol{x=4}$
(ⅱ) $-1 \leqq x < 3$ のとき
$x+1-x+3=6$
$\Longleftrightarrow \ 4=6$ このときは不適
(ⅲ) $x < -1$ のとき
$-x-1-x+3=6$
$\Longleftrightarrow \ -2x=4$
$\therefore \ x=-2$
$\therefore \ \boldsymbol{x=-2}$
(3)
$|3x+1| \geqq 4$
$\Longleftrightarrow \ 3x+1 \leqq -4，4 \leqq 3x+1$
$\Longleftrightarrow \ 3x \leqq -5，3 \leqq 3x$
$\therefore \ \boldsymbol{x \leqq -\dfrac{5}{3}，1 \leqq x}$
(4)
(ⅰ) $x \geqq 1$ のとき
$x-1 \geqq 3x+1$
$\Longleftrightarrow \ x\leqq -1$ これは不適
(ⅱ) $x < 1$ のとき
$-x+1 \geqq 3x+1$
$\therefore \ \boldsymbol{x\leqq 0}$
(5)
(ⅰ) $x \geqq 2$ のとき
$x-2+x+5 < x+7$
$\Longleftrightarrow \ x < 4$
$\therefore \ 2 \leqq x < 4$
(ⅱ) $-5 \leqq x < 2$ のとき
$-x+2+x+5 < x+7$
$\Longleftrightarrow \ 0 < x$
$\therefore \ 0 < x < 2$
(ⅲ) $x < -5$ のとき
$-x+2-x-5 < x+7$
$\Longleftrightarrow \ -\dfrac{10}{3} < x$ これは不適
以上より
$\therefore \ \boldsymbol{0 < x < 4}$