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正多面体が5種類しかないことの証明

タイプ:難関大対策 $+\alpha$ レベル:★★ 


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このページでは,正多面体についての説明と,5種類しかないことの証明をします.

大学入試ではほとんど見かけません(探せば見つかる).興味がある人向けですが,証明は理解しやすいと思います.





正多面体の定義と紹介

ポイント

正多面体の定義

平面で囲まれた立体を※多面体といい

1.すべての面が合同な正多角形.

2.頂点に集まる面の数が等しい.

3.凸多面体である(どこも凹んでいない).

上の条件すべてを満たす多面体を正多面体という.

※多面体は三角錐や直方体などの立体で,円柱など曲面をもつものは含まない


これらすべてを満たすのは意外にも厳しく,5つしか存在しません.

以下に紹介します.


正四面体

正三角形が4枚.


正六面体(立方体)

正方形が6枚.


正八面体

正三角形が8枚.


正十二面体

正五角形が12枚.


正二十面体

正三角形が20枚.




正多面体が5種類しかないことの証明

証明の方法

正多面体が5種類しかないことの主な証明

1.1つの頂点に集まる内角の和が $360^{\circ}$ 未満で不等式を解く.

2.オイラーの多面体定理を使う.



1での証明

わかりやすくてオススメです.

証明

立体の面が正 $n$ 角形,1つの頂点に集まる面が $m$ 枚であるとする.

正 $n$ 角形の1つの内角は $\dfrac{(n-2)\times180^{\circ}}{n}$ である.1つの頂点に面が $m$ 枚集まるが,これの和が $360^{\circ}$ 未満でないと立体が構成できないので

$\dfrac{(n-2)\times180^{\circ}}{n}\times m < 360^{\circ}$

$\Longleftrightarrow \ (n-2)m < 2n$

$\Longleftrightarrow \ (n-2)(m-2) < 4$

これを満たす組 $(n,m)$ は

$(n,m)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)$

の5組.つまり正多面体は5種類あって,それ以上はない.



2での証明

オイラーの多面体定理を知っていないといけないですし,少し難しいと思います.下に格納します.

2での証明




練習問題

練習

(1) 下の ア  イ に入る数を答えよ.

正 $n$ 角形の内角の大きさを $n$ を用いた式で表すと ア  $\times 180^{\circ}$ となる.各面が正 $n$ 角形の正多面体において,一つの頂点に集まる面の数を $m$ とする.このとき, ア  $\times 180^{\circ}\times m <360^{\circ}$ となる.これより

$(n-2)(m-2) <$  イ  $ \ \cdots$ ①

となる.

(2) ①を満たす自然数の組 $(n,m)$ を求めよ.

(2017聖マリアンナ医科大改)

練習の解答



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