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2次不等式

2次関数(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

2次不等式について扱います.

2次関数のグラフを考えるとわかりやすいので,それらの知識が必要です.



不等式のグラフを用いた解き方

例えば1次不等式 $2x-4>0$ は,$y=2x-4$ における $y$ が正$x$ の解を答えることになります.

1次不等式

図から該当する $x$ の解は $x>2$ となります.

まとめると一般の不等式については以下のようになります.

ポイント

一般の不等式の解

・不等式 $f(x)>0$ $(\geqq 0)$ の解は,$y=f(x)$ の $y$ 座標が正( $0$ 以上)になる $x$ の解を答える.

一般の不等式1

・不等式 $f(x)<0$ $(\leqq 0)$ の解は,$y=f(x)$ の $y$ 座標が負( $0$ 以下)になる $x$ の解を答える.

一般の不等式2

つまり $y=f(x)$ のグラフが書ければ不等式がビジュアル的に解けます.

次章では $f(x)$ が2次関数のとき,つまり2次不等式を扱います.

例題と練習問題

例題

例題

次の2次不等式を解け.

(1) $x^{2}-4x+3 >0$

(2) $x^{2}-3x-4 \leqq 0$

(3) $-2x^{2}+4x+3 >0$

(4) $x^{2}-4x+5 >0$

(5) $x^{2}-4x+4 \leqq 0$


講義

左辺を2次関数として,グラフを考えて解きます.最初は2次方程式と同じように因数分解を試みます.2次関数と $x$ 軸の共有点がない場合平方完成してグラフで考えるとわかりやすいです.

(3)は両辺 $-1$ 倍した $2x^{2}-4x-3 < 0$ とすると,左辺の2次関数はすべて下に凸で考えることができますね.


解答

(1)

$x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3) >0$

例題(1)

求める解は $\boldsymbol{x<1,3<x}$


(2)

$x^{2}-3x-4=(x+1)(x-4) \leqq 0$

例題(2)

求める解は $\boldsymbol{-1\leqq x\leqq 4}$


(3)

 $-2x^{2}+4x+3 >0$

$\Longleftrightarrow \ 2x^{2}-4x-3 <0$

$2x^{2}-4x-3=0$ を解くと $x=\dfrac{2\pm\sqrt{10}}{2}$

例題(3)

求める解は $\boldsymbol{\dfrac{2-\sqrt{10}}{2}< x< \dfrac{2+\sqrt{10}}{2}}$


(4)

 $x^{2}-4x+5=(x-2)^{2}+1>0$

例題(4)

求める解は すべての実数

※ 例えばもし $x^{2}-4x+5 <0$ なら解なしになります.


(5)

 $x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}\leqq 0$

例題(5)

求める解は $\boldsymbol{x=2}$

練習問題

練習

次の2次不等式を解け.

(1) $x^{2}-2x-3 <0$

(2) $2x^{2}-6x+4 >0$

(3) $-3x^{2}-5x-1 \leqq 0$

(4) $x^{2}+4x+4 >0$

(5) $-x^{2}+6x-10 \geqq 0$

解答

慣れてきたら図はなしで不等式のみでも答えられるといいと思います.練習問題では図は割愛します.

(1)

$x^{2}-2x-3=(x+1)(x-3) <0$

求める解は $\boldsymbol{-1<x<3}$


(2)

 $2x^{2}-6x+4 >0$

$\Longleftrightarrow \ x^{2}-3x+2 > 0$

$\Longleftrightarrow \ (x-1)(x-2) > 0$

求める解は $\boldsymbol{x<1,2<x}$


(3)

 $-3x^{2}-5x-1 \leqq 0$

$\Longleftrightarrow \ 3x^{2}+5x+1 \geqq 0$

$3x^{2}+5x+1=0$ を解くと $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$

求める解は $\boldsymbol{x\leqq \dfrac{-5-\sqrt{13}}{6},\dfrac{-5+\sqrt{13}}{6}\leqq x}$


(4)

 $x^{2}+4x+4=(x+2)^{2} >0$

求める解は $\boldsymbol{x=-2}$ 以外のすべての実数


(5)

 $-x^{2}+6x-10 \geqq 0$

$\Longleftrightarrow \ x^{2}-6x+10=(x-3)^{2}+1 \leqq 0$

求める解は解なし