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必要条件,十分条件の問題の解き方

数と式(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

必要条件,十分条件,必要十分条件,どれでもないを選ばせる問題を扱います.



必要条件,十分条件の問題の解き方

ポイント

必要条件,十分条件の問題の解き方

矢印で考える.

対象となるものを2つ並べて矢印を引いて考える.

覚え方:十分な所から必要な所に流れる.(というかこれ,自然の摂理ですよね…)

矢印

集合で考える.

ベン図を描いて,どちらが広いかを考える.どちらがもう片方を含んでいるか,そうでないかに注目です.

覚え方:ひ い方がひ 要条件

集合

以上のどちらか解きやすい方で解きます(集合が思い浮かばないことが多いので,①の方が解きやすいことが多いです).

以下の例題では身近な例を扱います.

例題と練習問題

例題

例題

嵐はジャニーズであるための ア 

 ア に入る言葉を,(a)必要条件だが十分条件でない,(b)十分条件だが必要条件でない,(c)必要十分条件,(d)必要条件でも十分条件でもない から選べ.



講義

嵐もジャニーズも読者の皆様の方が詳しいと思うので説明不要でしょう.上の解き方両方で解いてみます.


解答(①で解く)

必要条件と十分条件の説明1

上のように,両者を並べて書いて,とりあえず矢印を両方向書いてみます.

上の矢印の真偽を考え,◯,×を判定します.×であれば根拠となる反例を1つ書きます.

必要条件と十分条件の説明2

嵐 $\Longrightarrow$ ジャニーズは真です.

しかし,ジャニーズ $\Longrightarrow$ 嵐は偽です.なぜなら,ジャニーズは嵐以外にも,TOKIO等様々なグループがありますからね.

以上より

嵐(十分) $\Longrightarrow$ ジャニーズ(必要)

問題の主語は嵐なので,嵐の方を答えます.つまり十分です.嵐はジャニーズであるための十分条件であるが必要条件ではない.(b).


解答(②で解く)

必要条件と十分条件の説明3

ズバリ上のようにベン図を書きます.嵐はジャニーズに含まれていますよね.

 い方が 要条件

と覚えます(""でリンクさせて覚える).

ジャニーズ $\cdots$ 広い(必要)

嵐 $\cdots$ 狭い(十分)

問題の主語は嵐なので,嵐の方を答えます.嵐はジャニーズであるための十分条件であるが必要条件ではない.(b).

練習問題

練習

$x$,$y$,$m$,$a$,$b$ はすべて実数であるとします.

(1) 動物は牛であるための ア 

(2) キツネはネコ科であるための イ 

(3) $x>3$ は $x=4$ であるための ウ 

(4) $x=5$ は $x^2=25$ であるための エ 

(5) $ma=mb$ は $a=b$ であるための オ 

(6) $x^{2}-2x+y^{2}+1=0$ であることは $x=1$,$y=0$ であるための カ 

(7) $a+b$,$ab$ が有理数であることは $a$ と $b$ が有理数であるための キ 

(8) $x>1$,$y>1$ は $x+y>2$,$xy>1$ であるための ク 

 ア  ク に入る言葉を,(a)必要条件だが十分条件でない,(b)十分条件だが必要条件でない,(c)必要十分条件,(d)必要条件でも十分条件でもない から選べ.

解答

上の①と②で解きやすいと思う方で解いてみます.


(1) ②で解く

必要条件と十分条件の説明4

動物の方が広いので,動物は牛であるための必要条件であるが十分条件ではない.ア…(a).


(2) ②で解く

必要条件と十分条件の説明5

ネコ科の方が集合は広いでしょうが,どちらかの集合がどちらかに入っていなければ,必要条件でも十分条件でもありません.イ…(d)

※ ちなみにキツネはイヌ科です.


(3) ①で解く

$x>3 \Longrightarrow x=4$ は偽(反例:$x=5$ )

$x>3 \Longleftarrow x=4$ は真.

これより,$x>3$ は $x=4$ であるための必要条件であるが十分条件ではない.ウ…(a).


(4) ①で解く

$x=5 \Longrightarrow x^2=25$ は真.

$x=5 \Longleftarrow x^{2}=25$ は偽(反例:$x=-5$ )

これより,$x=5$ は $x^{2}=25$ であるための十分条件であるが必要条件ではない.エ…(b).


(5) ①で解く

$ma=mb \Longrightarrow a=b$ は偽(反例:$m=0$,$a=1$,$b=2$ )

$ma=mb \Longleftarrow a=b$ は真.

これより,$ma=mb$ は $a=b$ であるための必要条件であるが十分条件ではない.オ…(a).


(6)

 $x^{2}-2x+y^{2}+1=0$

$\Longleftrightarrow (x-1)^{2}+y^{2}=0$

$\Longleftrightarrow x=1$,$y=0$

これより,$x^{2}-2x+y^{2}+1=0$ は $x=1$,$y=0$ であるための必要十分条件である.カ…(c).


(7) ①で解く

$a+b$,$ab$ が有理数である $\Longrightarrow$ $a$,$b$ が有理数であるは偽(反例:$a=\sqrt{2}$,$b=-\sqrt{2}$ )

$a+b$,$ab$ が有理数である $\Longleftarrow$ $a$,$b$ が有理数であるは真.

これより,$ma=mb$ は $a=b$ であるための必要条件であるが十分条件ではない.キ…(a).


(8) ①で解く

$x>1$,$y>1$ $\Longrightarrow$ $x+y>2$,$xy>1$ は真.

$x>1$,$y>1$ $\Longleftarrow$ $x+y>2$,$xy>1$ は偽(反例:$x=3$,$y=\dfrac{1}{2}$ )

これより,$x>1$,$y>1$ は $x+y>2$,$xy>1$ であるための十分条件であるが必要条件ではない.オ…(b).