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必要条件,十分条件の問題の解き方

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

数学Ⅰの論理(集合と命題)で,必要条件,十分条件,必要十分条件,どれでもないを選ばせる問題があります.

なんとなく勘で選んで当たることもあるので,よく勉強しないまま模試に望んでいる人が多いです.

ここでは,確信を持って解答できるように,解説しました.





必要条件,十分条件の問題の解き方

ポイント

必要条件,十分条件の問題の解き方

矢印で考える.

対象となるものを2つ並べて矢印を引いて考える.

覚え方:十分な所から必要な所に流れる.(というかこれ,自然の摂理ですよね…)

矢印

集合で考える.

ベン図を描いて,どちらが広いかを考える.どちらがもう片方を含んでいるか,そうでないかに注目です.

覚え方:ひ い方がひ 要条件

集合

以上のどちらか解きやすい方で解きます(集合が思い浮かばないことが多いので,①の方が解きやすいことが多いです).

以下の例題では身近な例を扱います.



例題と練習問題

例題

例題

嵐はジャニーズであるための ア 

 ア に入る言葉を,(a)必要条件だが十分条件でない,(b)十分条件だが必要条件でない,(c)必要十分条件,(d)必要条件でも十分条件でもない から選べ.



講義

嵐もジャニーズも読者の皆様の方が詳しいと思うので説明不要でしょう.上の解き方両方で解いてみます.


解答(①で解く)

必要条件と十分条件の説明1

上のように,両者を並べて書いて,とりあえず矢印を両方向書いてみます.

上の矢印の真偽を考え,◯,×を判定します.×であれば根拠となる反例を1つ書きます.

必要条件と十分条件の説明2

嵐 $\Longrightarrow$ ジャニーズは真です.

しかし,ジャニーズ $\Longrightarrow$ 嵐は偽です.なぜなら,ジャニーズは嵐以外にも,TOKIOやV6等様々なグループがありますからね.

以上より

嵐(十分) $\Longrightarrow$ ジャニーズ(必要)

問題の主語は嵐なので,嵐の方を答えます.つまり十分です.嵐はジャニーズであるための十分条件であるが必要条件ではない.(b).


解答(②で解く)

必要条件と十分条件の説明3

ズバリ上のようにベン図を書きます.嵐はジャニーズに含まれていますよね.

 い方が 要条件

と覚えます(""でリンクさせて覚える).

ジャニーズ $\cdots$ 広い(必要)

嵐 $\cdots$ 狭い(十分)

問題の主語は嵐なので,嵐の方を答えます.嵐はジャニーズであるための十分条件であるが必要条件ではない.(b).



練習問題

練習

$x$,$y$,$m$,$a$,$b$ はすべて実数であるとします.

(1) 動物は牛であるための ア 

(2) キツネはネコ科であるための イ 

(3) $x>3$ は $x=4$ であるための ウ 

(4) $x=5$ は $x^2=25$ であるための エ 

(5) $ma=mb$ は $a=b$ であるための オ 

(6) $x^{2}-2x+y^{2}+1=0$ であることは $x=1$,$y=0$ であるための カ 

(7) $a+b$,$ab$ が有理数であることは $a$ と $b$ が有理数であるための キ 

 ア  キ に入る言葉を,(a)必要条件だが十分条件でない,(b)十分条件だが必要条件でない,(c)必要十分条件,(d)必要条件でも十分条件でもない から選べ.

練習の解答



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