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必要条件,十分条件の問題の解き方

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

数学Ⅰの論理(集合と命題)で,必要条件,十分条件,必要十分条件,どれでもないを選ばせる問題があります.

なんとなく勘で選んで当たることもあるので,よく勉強しないまま模試に望んでいる人が多いです.

ここでは,確信を持って解答できるように,解説しました.ポイントの後に例題で説明します.







必要条件,十分条件の問題の解き方

ポイント

必要条件,十分条件の問題の解き方

矢印で考える.

対象となるものを2つ並べて矢印を引いて考える.

覚え方:十分な所から必要な所に流れる.(というかこれ,自然の摂理ですよね…)

矢印

集合で考える.

ベン図を描いて,どちらが広いかを考える.どちらがもう片方を含んでいるか,そうでないかに注目です.

覚え方:ひ い方がひ 要条件

矢印

以上のどちらか解きやすい方で解きます(集合が思い浮かばないことが多いので,①の方が解きやすいことが多いです).

例題を出します.例が数式だとイメージがわかないので身近な例で.



例題と練習問題

例題

例題

嵐はジャニーズであるための
 ア 

 ア 
に入る言葉を,(a)必要条件だが十分条件でない,(b)十分条件だが必要条件でない,(c)必要十分条件,(d)必要条件でも十分条件でもない から選べ.



解説と解答

嵐もジャニーズも読者の皆様の方が詳しいと思うので説明不要でしょう.上の解き方両方で解いてみます.

①で解く

必要条件と十分条件の説明1

上のように,両者を並べて書いて,とりあえず矢印を両方向書いてみます.

上の矢印の真偽を考え,◯,×を判定します.×であれば根拠となる反例を1つ書くと説得力がありますね.

必要条件と十分条件の説明2

嵐ならばジャニーズである,つまり嵐 $\Longrightarrow$ ジャニーズは真です.

しかしジャニーズならば嵐である,つまりジャニーズ $\Longrightarrow$ 嵐は偽です.なぜなら,ジャニーズは嵐以外にも,TOKIOやV6等様々なグループがありますからね.

以上より,十分な所から必要な所に流れるので


嵐(十分) $\Longrightarrow$ ジャニーズ(必要)


問題の主語は嵐なので,嵐の方を答えます.つまり十分です.嵐はジャニーズであるための十分条件であるが必要条件ではない.(b).



②で解く

必要条件と十分条件の説明3

ズバリ上のようにベン図を書きます.嵐はジャニーズに含まれていますよね.

 い方が 要条件

と覚えます(""でリンクさせて覚える).ジャニーズが広くて(必要),嵐は狭い(十分).問題の主語は嵐なので,嵐の方を答えます.嵐はジャニーズであるための十分条件であるが必要条件ではない.(b).



練習問題

練習

(1) 動物は牛であるための
 ア 


(2) キツネはネコ科であるための
 イ 


(3) $x>3$ は $x=4$ であるための
 ウ 


(4) $x=5$ は $x^2=25$ であるための
 エ 


(5) $ma=mb$ は $a=b$ であるための
 オ 


(6) $x^{2}-2x+y^{2}+1=0$ であることは $x=1$,$y=0$ であるための
 カ 


(7) $a+b$,$ab$ が有理数であることは $a$ と $b$ が有理数であるための
 キ 


(上記の$x$,$y$,$m$,$a$,$b$ はすべて実数であるとします.)


 ア 
 キ 
に入る言葉を,(a)必要条件だが十分条件でない,(b)十分条件だが必要条件でない,(c)必要十分条件,(d)必要条件でも十分条件でもない から選べ.

練習の解答



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