必要条件，十分条件の問題の解き方
数と式(教科書範囲) ★★
必要条件，十分条件，必要十分条件，どれでもないを選ばせる問題を扱います．
必要条件，十分条件の問題の解き方
ポイント
必要条件，十分条件の問題の解き方
① 矢印で考える．
対象となるものを2つ並べて矢印を引いて考える．
覚え方：十分な所から必要な所に流れる．(というかこれ，自然の摂理ですよね…)
② 集合で考える．
ベン図を描いて，どちらが広いかを考える．どちらがもう片方を含んでいるか，そうでないかに注目です．
覚え方：
以上のどちらか解きやすい方で解きます(集合が思い浮かばないことが多いので，①の方が解きやすいことが多いです)．
以下の例題では身近な例を扱います．
例題と練習問題
例題
例題
嵐はジャニーズであるための ア ．
ア に入る言葉を，(a)必要条件だが十分条件でない，(b)十分条件だが必要条件でない，(c)必要十分条件，(d)必要条件でも十分条件でもない から選べ．
講義
嵐もジャニーズも読者の皆様の方が詳しいと思うので説明不要でしょう．上の解き方両方で解いてみます．
解答(①で解く)
上のように，両者を並べて書いて，とりあえず矢印を両方向書いてみます．
上の矢印の真偽を考え，◯，×を判定します．×であれば根拠となる反例を1つ書きます．
嵐 $\Longrightarrow$ ジャニーズは真です．
しかし，ジャニーズ $\Longrightarrow$ 嵐は偽です．なぜなら，ジャニーズは嵐以外にも，TOKIO等様々なグループがありますからね．
以上より
嵐(十分) $\Longrightarrow$ ジャニーズ(必要)
問題の主語は嵐なので，嵐の方を答えます．つまり十分です．嵐はジャニーズであるための十分条件であるが必要条件ではない．(b)．
解答(②で解く)
ズバリ上のようにベン図を書きます．嵐はジャニーズに含まれていますよね．
と覚えます("ひ"でリンクさせて覚える)．
ジャニーズ $\cdots$ 広い(必要)
嵐 $\cdots$ 狭い(十分)
問題の主語は嵐なので，嵐の方を答えます．嵐はジャニーズであるための十分条件であるが必要条件ではない．(b)．
練習問題
練習
$x$，$y$，$m$，$a$，$b$ はすべて実数であるとします．
(1) 動物は牛であるための ア ．
(2) キツネはネコ科であるための イ ．
(3) $x>3$ は $x=4$ であるための ウ ．
(4) $x=5$ は $x^2=25$ であるための エ ．
(5) $ma=mb$ は $a=b$ であるための オ ．
(6) $x^{2}-2x+y^{2}+1=0$ であることは $x=1$，$y=0$ であるための カ ．
(7) $a+b$，$ab$ が有理数であることは $a$ と $b$ が有理数であるための キ ．
(8) $x>1$，$y>1$ は $x+y>2$，$xy>1$ であるための ク ．
ア 〜 ク に入る言葉を，(a)必要条件だが十分条件でない，(b)十分条件だが必要条件でない，(c)必要十分条件，(d)必要条件でも十分条件でもない から選べ．
解答
上の①と②で解きやすいと思う方で解いてみます．
(1) ②で解く
動物の方が広いので，動物は牛であるための必要条件であるが十分条件ではない．ア…(a)．
(2) ②で解く
ネコ科の方が集合は広いでしょうが，どちらかの集合がどちらかに入っていなければ，必要条件でも十分条件でもありません．イ…(d)
※ ちなみにキツネはイヌ科です．
(3) ①で解く
$x>3 \Longrightarrow x=4$ は偽(反例：$x=5$ )
$x>3 \Longleftarrow x=4$ は真．
これより，$x>3$ は $x=4$ であるための必要条件であるが十分条件ではない．ウ…(a)．
(4) ①で解く
$x=5 \Longrightarrow x^2=25$ は真．
$x=5 \Longleftarrow x^{2}=25$ は偽(反例：$x=-5$ )
これより，$x=5$ は $x^{2}=25$ であるための十分条件であるが必要条件ではない．エ…(b)．
(5) ①で解く
$ma=mb \Longrightarrow a=b$ は偽(反例：$m=0$，$a=1$，$b=2$ )
$ma=mb \Longleftarrow a=b$ は真．
これより，$ma=mb$ は $a=b$ であるための必要条件であるが十分条件ではない．オ…(a)．
(6)
$x^{2}-2x+y^{2}+1=0$
$\Longleftrightarrow (x-1)^{2}+y^{2}=0$
$\Longleftrightarrow x=1$，$y=0$
これより，$x^{2}-2x+y^{2}+1=0$ は $x=1$，$y=0$ であるための必要十分条件である．カ…(c)．
(7) ①で解く
$a+b$，$ab$ が有理数である $\Longrightarrow$ $a$，$b$ が有理数であるは偽(反例：$a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{2}$ )
$a+b$，$ab$ が有理数である $\Longleftarrow$ $a$，$b$ が有理数であるは真．
これより，$ma=mb$ は $a=b$ であるための必要条件であるが十分条件ではない．キ…(a)．
(8) ①で解く
$x>1$，$y>1$ $\Longrightarrow$ $x+y>2$，$xy>1$ は真．
$x>1$，$y>1$ $\Longleftarrow$ $x+y>2$，$xy>1$ は偽(反例：$x=3$，$y=\dfrac{1}{2}$ )
これより，$x>1$，$y>1$ は $x+y>2$，$xy>1$ であるための十分条件であるが必要条件ではない．オ…(b)．