必要条件,十分条件の問題の解き方
数と式(教科書範囲) ★★

必要条件,十分条件,必要十分条件,どれでもないを選ばせる問題を扱います.
必要条件,十分条件の問題の解き方
ポイント
必要条件,十分条件の問題の解き方
① 矢印で考える.
対象となるものを2つ並べて矢印を引いて考える.
覚え方:十分な所から必要な所に流れる.(というかこれ,自然の摂理ですよね…)

② 集合で考える.
ベン図を描いて,どちらが広いかを考える.どちらがもう片方を含んでいるか,そうでないかに注目です.
覚え方:

以上のどちらか解きやすい方で解きます(集合が思い浮かばないことが多いので,①の方が解きやすいことが多いです).
以下の例題では身近な例を扱います.
例題と練習問題
例題
例題
嵐はジャニーズであるための ア .
ア に入る言葉を,(a)必要条件だが十分条件でない,(b)十分条件だが必要条件でない,(c)必要十分条件,(d)必要条件でも十分条件でもない から選べ.
講義
嵐もジャニーズも読者の皆様の方が詳しいと思うので説明不要でしょう.上の解き方両方で解いてみます.
解答(①で解く)

上のように,両者を並べて書いて,とりあえず矢印を両方向書いてみます.
上の矢印の真偽を考え,◯,×を判定します.×であれば根拠となる反例を1つ書きます.

嵐 $\Longrightarrow$ ジャニーズは真です.
しかし,ジャニーズ $\Longrightarrow$ 嵐は偽です.なぜなら,ジャニーズは嵐以外にも,TOKIO等様々なグループがありますからね.
以上より
嵐(十分) $\Longrightarrow$ ジャニーズ(必要)
問題の主語は嵐なので,嵐の方を答えます.つまり十分です.嵐はジャニーズであるための十分条件であるが必要条件ではない.(b).
解答(②で解く)

ズバリ上のようにベン図を書きます.嵐はジャニーズに含まれていますよね.
と覚えます("ひ"でリンクさせて覚える).
ジャニーズ $\cdots$ 広い(必要)
嵐 $\cdots$ 狭い(十分)
問題の主語は嵐なので,嵐の方を答えます.嵐はジャニーズであるための十分条件であるが必要条件ではない.(b).
練習問題
練習
$x$,$y$,$m$,$a$,$b$ はすべて実数であるとします.
(1) 動物は牛であるための ア .
(2) キツネはネコ科であるための イ .
(3) $x>3$ は $x=4$ であるための ウ .
(4) $x=5$ は $x^2=25$ であるための エ .
(5) $ma=mb$ は $a=b$ であるための オ .
(6) $x^{2}-2x+y^{2}+1=0$ であることは $x=1$,$y=0$ であるための カ .
(7) $a+b$,$ab$ が有理数であることは $a$ と $b$ が有理数であるための キ .
(8) $x>1$,$y>1$ は $x+y>2$,$xy>1$ であるための ク .
ア 〜 ク に入る言葉を,(a)必要条件だが十分条件でない,(b)十分条件だが必要条件でない,(c)必要十分条件,(d)必要条件でも十分条件でもない から選べ.
解答
上の①と②で解きやすいと思う方で解いてみます.
(1) ②で解く

動物の方が広いので,動物は牛であるための必要条件であるが十分条件ではない.ア…(a).
(2) ②で解く

ネコ科の方が集合は広いでしょうが,どちらかの集合がどちらかに入っていなければ,必要条件でも十分条件でもありません.イ…(d)
※ ちなみにキツネはイヌ科です.
(3) ①で解く
$x>3 \Longrightarrow x=4$ は偽(反例:$x=5$ )
$x>3 \Longleftarrow x=4$ は真.
これより,$x>3$ は $x=4$ であるための必要条件であるが十分条件ではない.ウ…(a).
(4) ①で解く
$x=5 \Longrightarrow x^2=25$ は真.
$x=5 \Longleftarrow x^{2}=25$ は偽(反例:$x=-5$ )
これより,$x=5$ は $x^{2}=25$ であるための十分条件であるが必要条件ではない.エ…(b).
(5) ①で解く
$ma=mb \Longrightarrow a=b$ は偽(反例:$m=0$,$a=1$,$b=2$ )
$ma=mb \Longleftarrow a=b$ は真.
これより,$ma=mb$ は $a=b$ であるための必要条件であるが十分条件ではない.オ…(a).
(6)
$x^{2}-2x+y^{2}+1=0$
$\Longleftrightarrow (x-1)^{2}+y^{2}=0$
$\Longleftrightarrow x=1$,$y=0$
これより,$x^{2}-2x+y^{2}+1=0$ は $x=1$,$y=0$ であるための必要十分条件である.カ…(c).
(7) ①で解く
$a+b$,$ab$ が有理数である $\Longrightarrow$ $a$,$b$ が有理数であるは偽(反例:$a=\sqrt{2}$,$b=-\sqrt{2}$ )
$a+b$,$ab$ が有理数である $\Longleftarrow$ $a$,$b$ が有理数であるは真.
これより,$ma=mb$ は $a=b$ であるための必要条件であるが十分条件ではない.キ…(a).
(8) ①で解く
$x>1$,$y>1$ $\Longrightarrow$ $x+y>2$,$xy>1$ は真.
$x>1$,$y>1$ $\Longleftarrow$ $x+y>2$,$xy>1$ は偽(反例:$x=3$,$y=\dfrac{1}{2}$ )
これより,$x>1$,$y>1$ は $x+y>2$,$xy>1$ であるための十分条件であるが必要条件ではない.オ…(b).