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桁数(小数首位)問題

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 



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対数独特の問題として、最後の方に待ち構えているのがこれです.このページでは最高位の数字(小数首位の数字)についても言及します.





解法の方針と常用対数の凄さ

ポイント

桁数(小数首位)問題

$N$ の桁数(小数首位)や最高位の数字(小数首位の数字)が知りたいとき,$N$ の常用対数(底が $10$ の対数)をとり

$\displaystyle \boldsymbol{\log_{10}N=n+\alpha}$ $\displaystyle ( \ \boldsymbol{n} \ \bf{は整数,}\boldsymbol{0\leqq \alpha < 1} )$

上の式での $n$ を指標,$\alpha$ を仮数かすうといいます.


方針

桁数(小数首位)が知りたいとき:$\boldsymbol{N}$ を$\boldsymbol{10^{\bf{常用対数}} \ (10^{\log_{10}N})}$ に変形して判断.

最高位(小数首位)の数字が知りたいとき:仮数を常用対数で挟む.


上にマニュアルをまとめましたが,少し噛み砕いて下で説明します.



常用対数の凄さ

常用対数を使えば,どんな数でも$\boldsymbol{10^{\bf{常用対数}}}$ の形にできます.

以下は例です.

$\log_{10}3=0.4771 \ \Longleftrightarrow \ \color{red}{3=10^{0.4771}}$

$\log_{10}3^{100}=47.71 \ \Longleftrightarrow \ \color{red}{3^{100}=10^{47.71}}$

2行目でズバリ $\boldsymbol{3^{100}}$ が$\boldsymbol{47}$ 桁ぐらいであることがわかりますね!?桁数がわかっちゃいます.

例題を解きましょう.




桁数問題(例題と練習問題)

例題

例題1

$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}7=0.8451$ とする.$3^{100}$に関して

(1) 桁数を求めよ.

(2) $\log_{10}4$,$\log_{10}5$,$\log_{10}6$,$\log_{10}8$,$\log_{10}9$ をそれぞれ求めよ.

(3) 最高位の数字を求めよ.


講義

$3^{100}$ を $\boldsymbol{10^{\bf{常用対数}}}$ の形にします.そうすると $3^{100}$ の正体がつかめてきます.


解答 (1) まず常用対数をとります.

 $\log_{10}3^{100}$

$\displaystyle =100\log_{10}3$

$\displaystyle =47.71$

$\boldsymbol{10^{\bf{常用対数}}}$ の形にすると

$\color{red}{3^{100}=10^{47.71}}$

これより

$10^{47} < 3^{100} < 10^{\color{red}{48}}$

上の式より,桁数は $\boldsymbol{48 \ 桁}$.

※ 右上の指数を見てください.具体例 $10^2 < 777 < 10^3$


(2) $\log_{10}4=2\log_{10}2=\boldsymbol{0.6020}$

$\log_{10}5=\log_{10}\color{red}{\dfrac{10}{2}}=\log_{10}10-\log_{10}2=\boldsymbol{0.6990}$

$\log_{10}6=\log_{10}2+\log_{10}3=\boldsymbol{0.7781}$

$\log_{10}8=3\log_{10}2=\boldsymbol{0.9030}$

$\log_{10}9=2\log_{10}3=\boldsymbol{0.9542}$


(3) 仮数を常用対数で挟みます.

$\log_{10}5 <$ (仮数) $=0.71 < \log_{10}6$

これより

$5 < 10^{0.71} < 6$

すべての辺に $10^{47}$ をかけます.

$5\cdot 10^{47} < 10^{47.71} < 6\cdot 10^{47}$

$\therefore 5\cdot10^{47} < 3^{100} < 6\cdot10^{47}$

上の式より,最高位の数字は $\boldsymbol{5}$.



練習問題

練習1

$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}7=0.8451$ とする.$5^{100}$ に関して

(1) 桁数を求めよ.

(2) $\log_{10}4$,$\log_{10}5$,$\log_{10}6$,$\log_{10}8$,$\log_{10}9$ をそれぞれ求めよ.

(3) 最高位の数字を求めよ.

練習1の解答




小数首位の問題(例題と練習問題)

例題

例題2

$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}7=0.8451$ とする.$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{20}$に関して

(1) 小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか.

(2) (1)の数字を求めよ.


講義

方針は桁数問題と同じです.$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}$ を $\boldsymbol{10^{\bf{常用対数}}}$ の形にします.

(2)の小数首位の数字は,仮数が $0$ 以上であることに注意して求めます.


解答

(1) まず常用対数とります.

 $\displaystyle \log_{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{20}$

$\displaystyle =\log_{10}2^{-20}$

$\displaystyle =-6.02$

$\boldsymbol{10^{\bf{常用対数}}}$ の形にすると

$\color{red}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}=10^{-6.02}}$

これより

$\displaystyle \therefore \ 10^{-\color{red}{7}} < \left(\frac{1}{2}\right)^{20} < 10^{-6}$

上の式より,$\boldsymbol{小数第 \ 7 \ 位}$に初めて $0$ でない数字が現れる.

※ 左上の指数を見てください.具体例$10^{-2} < 0.07 < 10^{-1}$


(2) 仮数を常用対数で挟みます.(この時点で $\log_{10}4$〜$\log_{10}9$ まですべて出しておく必要があります.)

ちなみに仮数は $\boldsymbol{0}$ 以上なので,今回は指標が $\boldsymbol{-7}$,仮数は $\boldsymbol{0.98}$ です.

$\log_{10}9 < \color{red}{(仮数)=0.98} < \log_{10}10$

これより

$9 < 10^{0.98} < 10$

すべての辺に $10^{-7}$ をかけます.

$9\cdot 10^{-7} < 10^{-6.02} < 10\cdot 10^{-7}$

$\displaystyle \therefore \ 9\cdot10^{-7} < \left(\frac{1}{2}\right)^{20} < 10\cdot 10^{-7}$

上の式より,初めて現れる $0$ でない数字は $\boldsymbol{9}$.



練習問題

練習2

$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}7=0.8451$ とする.$\left(\dfrac{6}{7}\right)^{800}$ に関して

(1) 小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか.

(2) (1)の数字を求めよ.

練習2の解答



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