桁数(小数首位)問題
タイプ：入試の標準 レベル：★★★
対数独特の問題として、最後の方に待ち構えているのがこれです．このページでは最高位の数字(小数首位の数字)についても言及します．
解法の方針と常用対数の凄さ
ポイント
桁数(小数首位)問題
$N$ の桁数(小数首位)や最高位の数字(小数首位の数字)が知りたいとき，$N$ の常用対数(底が $10$ の対数)をとり
$\displaystyle \boldsymbol{\log_{10}N=n+\alpha}$ $\displaystyle ( \ \boldsymbol{n} \ \bf{は整数，}\boldsymbol{0\leqq \alpha < 1} )$
上の式での $n$ を指標，$\alpha$ を
方針
桁数(小数首位)が知りたいとき：$\boldsymbol{N}$ を$\boldsymbol{10^{\bf{常用対数}} \ (10^{\log_{10}N})}$ に変形して判断．
最高位(小数首位)の数字が知りたいとき：仮数を常用対数で挟む．
上にマニュアルをまとめましたが，少し噛み砕いて下で説明します．
常用対数の凄さ
常用対数を使えば，どんな数でも$\boldsymbol{10^{\bf{常用対数}}}$ の形にできます．
以下は例です．
$\log_{10}3=0.4771 \ \Longleftrightarrow \ \color{red}{3=10^{0.4771}}$
$\log_{10}3^{100}=47.71 \ \Longleftrightarrow \ \color{red}{3^{100}=10^{47.71}}$
2行目でズバリ $\boldsymbol{3^{100}}$ が$\boldsymbol{47}$ 桁ぐらいであることがわかりますね！？桁数がわかっちゃいます．
例題を解きましょう．
桁数問題(例題と練習問題)
例題
例題1
$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$ とする．$3^{100}$に関して
(1) 桁数を求めよ．
(2) $\log_{10}4$，$\log_{10}5$，$\log_{10}6$，$\log_{10}8$，$\log_{10}9$ をそれぞれ求めよ．
(3) 最高位の数字を求めよ．
講義
$3^{100}$ を $\boldsymbol{10^{\bf{常用対数}}}$ の形にします．そうすると $3^{100}$ の正体がつかめてきます．
解答 (1) まず常用対数をとります．
$\log_{10}3^{100}$
$\displaystyle =100\log_{10}3$
$\displaystyle =47.71$
$\boldsymbol{10^{\bf{常用対数}}}$ の形にすると
$\color{red}{3^{100}=10^{47.71}}$
これより
$10^{47} < 3^{100} < 10^{\color{red}{48}}$
上の式より，桁数は $\boldsymbol{48 \ 桁}$．
※ 右上の指数を見てください．具体例 $10^2 < 777 < 10^3$
(2) $\log_{10}4=2\log_{10}2=\boldsymbol{0.6020}$
$\log_{10}5=\log_{10}\color{red}{\dfrac{10}{2}}=\log_{10}10-\log_{10}2=\boldsymbol{0.6990}$
$\log_{10}6=\log_{10}2+\log_{10}3=\boldsymbol{0.7781}$
$\log_{10}8=3\log_{10}2=\boldsymbol{0.9030}$
$\log_{10}9=2\log_{10}3=\boldsymbol{0.9542}$
(3) 仮数を常用対数で挟みます．
$\log_{10}5 <$ (仮数) $=0.71 < \log_{10}6$
これより
$5 < 10^{0.71} < 6$
すべての辺に $10^{47}$ をかけます．
$5\cdot 10^{47} < 10^{47.71} < 6\cdot 10^{47}$
$\therefore 5\cdot10^{47} < 3^{100} < 6\cdot10^{47}$
上の式より，最高位の数字は $\boldsymbol{5}$．
練習問題
練習1
$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$ とする．$5^{100}$ に関して
(1) 桁数を求めよ．
(2) $\log_{10}4$，$\log_{10}5$，$\log_{10}6$，$\log_{10}8$，$\log_{10}9$ をそれぞれ求めよ．
(3) 最高位の数字を求めよ．
練習1の解答
小数首位の問題(例題と練習問題)
例題
例題2
$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$ とする．$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{20}$に関して
(1) 小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか．
(2) (1)の数字を求めよ．
講義
方針は桁数問題と同じです．$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}$ を $\boldsymbol{10^{\bf{常用対数}}}$ の形にします．
(2)の小数首位の数字は，仮数が $0$ 以上であることに注意して求めます．
解答
(1) まず常用対数とります．
$\displaystyle \log_{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{20}$
$\displaystyle =\log_{10}2^{-20}$
$\displaystyle =-6.02$
$\boldsymbol{10^{\bf{常用対数}}}$ の形にすると
$\color{red}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}=10^{-6.02}}$
これより
$\displaystyle \therefore \ 10^{-\color{red}{7}} < \left(\frac{1}{2}\right)^{20} < 10^{-6}$
上の式より，$\boldsymbol{小数第 \ 7 \ 位}$に初めて $0$ でない数字が現れる．
※ 左上の指数を見てください．具体例$10^{-2} < 0.07 < 10^{-1}$
(2) 仮数を常用対数で挟みます．(この時点で $\log_{10}4$〜$\log_{10}9$ まですべて出しておく必要があります．)
ちなみに仮数は $\boldsymbol{0}$ 以上なので，今回は指標が $\boldsymbol{-7}$，仮数は $\boldsymbol{0.98}$ です．
$\log_{10}9 < \color{red}{(仮数)=0.98} < \log_{10}10$
これより
$9 < 10^{0.98} < 10$
すべての辺に $10^{-7}$ をかけます．
$9\cdot 10^{-7} < 10^{-6.02} < 10\cdot 10^{-7}$
$\displaystyle \therefore \ 9\cdot10^{-7} < \left(\frac{1}{2}\right)^{20} < 10\cdot 10^{-7}$
上の式より，初めて現れる $0$ でない数字は $\boldsymbol{9}$．
練習問題
練習2
$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$ とする．$\left(\dfrac{6}{7}\right)^{800}$ に関して
(1) 小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか．
(2) (1)の数字を求めよ．
練習2の解答