任意に三角形を作ったとき鋭角三角形になる確率
高校範囲外 ★★★★
例題
例題
任意に三角形を作ったとき，それが鋭角三角形になる確率を求めよ．
適当に三角形を作ったとき，それが鋭角三角形になる確率です．全事象も分子も，非加算集合になる点で高校範囲ではありません．
三角形は必ず外接円が引けるので，その中心を原点に持ってくることで考えてみます．
そして△$\rm ABC$ だとして，$\rm A$ を下の図のように固定します．
解答
$\rm A$ を図の位置に固定し，$\angle{\rm AOB}=x$ としたとき，$0<$ $x<\pi$ を満たす点をBとする．
一方で $\angle{\rm AOC}=y$ としたとき，$0< y < 2\pi$ $(y\neq x)$ を満たす点を $\rm C$ とする．
この中で鋭角三角形になる場合は，$\pi<y<x+\pi$ を満たすときである．これを $xy$ 平面上に図示．
全事象は図の斜線部分の長方形の部分．$\pi<y<x+\pi$ を満たすのは図の赤い領域である．よって求める確率は $\displaystyle \frac{\pi^2/2}{2\pi^2}=\boldsymbol{\frac{1}{4}}$