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任意に三角形を作ったとき鋭角三角形になる確率

タイプ:高校範囲外 レベル:★★★★ 

例題

例題

任意に三角形を作ったとき,それが鋭角三角形になる確率を求めよ.



テキトーに三角形作っちゃったとき,それが鋭角三角形になる確率です.全事象も分子も,非加算集合(数えられねえ)になる点で高校範囲ではありません.


三角形は必ず外接円が引けるので,その中心を原点に持ってくることで考えてみます.


そして△ABCだとして,Aを下の図のように固定します.


解答

Aを図の位置に固定し,∠AOB$=x$ としたとき,$0<$ $x<\pi$ を満たす点をBとする.

一方で∠AOC$=y$ としたとき,$0<$ $y<2\pi$ $(y\neq x)$を満たす点をCとする.

この中で鋭角三角形になる場合は,$\pi<$ $y$ $<$ $x+\pi$ を満たすときである.これを$xy$平面上に図示.

全事象は図の斜線部分の長方形の部分.$\pi<$ $y$ $<$ $x+\pi$ を満たすのは図の赤い領域である.よって求める確率は $\displaystyle \frac{\pi^2/2}{2\pi^2}=\boldsymbol{\frac{1}{4}}$



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