角の二等分線と比
平面図形(教科書範囲) ★
角の二等分線と比(angle bisector theorem)を扱います．
角の二等分線と比とその証明
内角の二等分線と外角の二等分線と公式が $2$ つあるので順に紹介します．
内角の二等分線と比
$\triangle \rm{ABC}$ で ${\rm AB}=a$，${\rm AC}=b$ とする．$\angle \rm A$ の内角の二等分線と直線 $\rm BC$ の交点 $\rm P$ において
$\boldsymbol{{\rm BP:PC}=a:b}$
上の公式は暗記必須の公式です．
一方で外角の方は知らなくても大学受験ではあまり大きな問題にはなりません．
外角の二等分線と比
$\triangle \rm{ABC}$ で ${\rm AB}=a$，${\rm AC}=b$ とする．$\angle \rm A$ の外角の二等分線と直線 $\rm BC$ の交点 $\rm P$ において
$\boldsymbol{{\rm BP:PC}=a:b}$
※ $a=b$ の場合は外角の二等分線と直線 $\rm BC$ は交わりません(平行になります)．
証明方法に関しては様々ありますが，この $2$ つを同時に(包括的に)証明する方法を当サイトでは採用します．
証明
面積比を利用します．
証明
点 $\rm P$ から直線 $\rm AB$，直線 $\rm AC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\rm H$，$\rm H'$ とする．二等分した角度を $\alpha$ とする．
$\triangle \rm{ABP}:\triangle \rm{ACP}$
$=a\cdot {\rm PH}\cdot \dfrac{1}{2}:b\cdot {\rm PH'}\cdot \dfrac{1}{2}$
$=a\cdot {\rm AP}\sin\alpha\cdot\dfrac{1}{2}:b\cdot {\rm AP}\sin\alpha\cdot\dfrac{1}{2}$
$=a:b$
$\triangle \rm{ABP}$ と $\triangle \rm{ACP}$ は辺 $\rm BP$ と辺 $\rm PC$ を底辺としたときも高さが共通なので
${\rm BP:PC}=a:b$
※ 三角比が未習の場合，$\triangle \rm{APH}\equiv \rm{APH'}$ から $\rm PH=PH'$ を言います．
※ 証明のアイデアはTwitterのフォロワーさんに教えていただきました．
例題と練習問題
例題
例題
$\rm AB=7$，$\rm BC=11$，$\rm CA=9$ である $\triangle \rm{ABC}$ の $\angle \rm A$ の内角の二等分線と直線 $\rm BC$ の交点を $\rm P$ とする．線分 $\rm BP$ の長さを求めよ．
講義
内角の二等分線と比の公式を使います．
解答
${\rm BP:PC}=7:9$
より
${\rm BP}=\dfrac{7}{16}{\rm BC}=\boldsymbol{\dfrac{77}{16}}$
練習問題
練習
$\rm AB=6$，$\rm BC=5$，$\rm CA=4$ である $\triangle \rm{ABC}$ の $\angle \rm A$ の内角の二等分線と直線 $\rm BC$ の交点を $\rm P$，$\angle \rm A$ の外角の二等分線と直線 $\rm BC$ の交点を $\rm Q$とする．線分 $\rm PQ$ の長さを求めよ．
練習の解答
${\rm BP:PC}=6:4=3:2$
より
${\rm PC}=\dfrac{2}{5}{\rm BC}$
また
${\rm BQ:QC}=6:4=3:2$
より
${\rm QC}=2{\rm BC}$
$\therefore \ {\rm PQ}={\rm PC}+{\rm CQ}=\dfrac{12}{5}{\rm BC}=\boldsymbol{12}$