等脚四面体の体積
数学ⅠA既習者(入試の標準) ★★★
1つの頂点に繋がる3つの辺の長さが等しい四面体を当サイトでは等脚四面体と呼ぶことにします(正式名称ではありません)．
あらゆる知識を動員して解くので演習効果が高く，模試や入試でもたまに見かけるかと思います．
等脚四面体の体積の求め方
上の四面体において，$\rm DA=DB=DC$ であるとき，$\rm D$ を頂上と当ページでは呼ぶことにします(正式名称ではありません)．以下の定理が成り立ちます．
等脚四面体の頂上から下ろした垂線の足
等脚四面体の頂上から下ろした垂線の足は底面の三角形の外心である．
証明
$\triangle \rm{DAH}$ と $\triangle \rm{DBH}$ と $\triangle \rm{DCH}$ において
$\rm DA=DB=DC$
$\rm DH$ 共通
$\angle{\rm DHA}=\angle{\rm DHB}=\angle{\rm DHC}=90^{\circ}$
より，直角三角形の斜辺とその他の1辺が等しいので $\triangle \rm{DAH}\equiv \triangle \rm{DBH}\equiv \triangle \rm{DCH}$．つまり $\rm AH=BH=CH$．すなわち $\rm H$ は $\triangle \rm{ABC}$ の外心．
求積の全体の流れをまとめます．
等脚四面体の体積の求め方
$\rm DA=DB=DC$ で，すべての辺が既知のとき，四面体の体積 $V$ の求め方は
$\rm H$ が $\triangle \rm{ABC}$ の外心であることを言う．
↓
余弦定理で $\cos A$ を求める．
↓
$\sin A$ に変換し，正弦定理で $\rm AH$ を出す．
↓
三平方の定理で $\rm DH$ を出す．
↓
$V=\triangle{\rm ABC} \times \rm DH\times \dfrac{1}{3}$
例題と練習問題
例題
例題
四面体 $\rm ABCD$ において，$\rm AB=3$，$\rm BC=\sqrt{13}$，$\rm CA=4$，$\rm DA=DB=DC=3$ とし，頂点 $\rm D$ から $\triangle{\rm ABC}$ に垂線 $\rm DH$ を下ろす．
(1) $\rm DH$ の長さを求めよ．
(2) 四面体 $\rm ABCD$ の体積を求めよ．
(2015東京慈恵会医大)
講義
前章の流れで求めていきます．
解答
(1)
$\triangle \rm{DAH}$ と $\triangle \rm{DBH}$ と $\triangle \rm{DCH}$ において
$\rm DA=DB=DC$
$\rm DH$ 共通
$\angle{\rm DHA}=\angle{\rm DHB}=\angle{\rm DHC}=90^{\circ}$
より $\triangle \rm{DAH}\equiv \triangle \rm{DBH}\equiv \triangle \rm{DCH}$．つまり $\rm AH=BH=CH$．すなわち $\rm H$ は $\triangle \rm{ABC}$ の外心．
余弦定理より
$\cos A=\dfrac{3^{2}+4^{2}-13}{2\cdot3\cdot4}=\dfrac{1}{2}$
正弦定理より，$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ から
$\dfrac{\sqrt{13}}{\sin A}=2{\rm AH} \ \Longleftrightarrow \ {\rm AH}=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$
三平方の定理より
${\rm DH}=\sqrt{3^{2}-\dfrac{13}{3}}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}}}$
(2)
$V$
$=\triangle{\rm ABC} \times \rm DH\times \dfrac{1}{3}$
$=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}}\times \dfrac{1}{3}$
$=\boldsymbol{\sqrt{14}}$
練習問題
練習
四面体 $\rm ABCD$ において，$\rm AB=\dfrac{4}{3}$，$\rm AC=2$，$\rm DA=DB=DC$，$\cos\angle{\rm ABD}=\dfrac{\sqrt{14}}{8}$，$\triangle{\rm ABC}$ の面積は $\dfrac{5\sqrt{7}}{12}$ である．頂点 $\rm D$ から $\triangle{\rm ABC}$ に垂線 $\rm DH$ を下ろす．
(1) $\rm DA$ の長さを求めよ．
(2) $\rm BC$ の長さを求めよ．
(3) 四面体 $\rm ABCD$ の体積を求めよ．
(2020順天堂大医学部改)
練習の解答
(1)
${\rm DA=DB}=x$ とおき，$\triangle{\rm ADB}$ に余弦定理より
$x^{2}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}+x^{2}-2\cdot\dfrac{4}{3}\cdot x\cos\angle{\rm ABD}$
$\Longleftrightarrow \ 0=16-3\sqrt{14}x$
$\therefore \ {\rm DA}=x=\boldsymbol{\dfrac{8\sqrt{14}}{21}}$
(2)
$\triangle{\rm ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot 2\cdot\sin \angle{\rm BAC}=\dfrac{5\sqrt{7}}{12}$
$\therefore \ \sin \angle{\rm BAC}=\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$
$\triangle{\rm ABC}$ に余弦定理より
${\rm BC}^{2}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}+4^{2}-2\cdot\dfrac{4}{3}\cdot 2\cos\angle{\rm BAC}$
$\cos \angle{\rm BAC}=\sqrt{1-\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{16}\right)^{2}}=\dfrac{9}{16}$ より
${\rm BC}^{2}=\dfrac{25}{9}$
$\therefore \ {\rm BC}=\boldsymbol{\dfrac{5}{3}}$
(3)
$\triangle \rm{DAH}$ と $\triangle \rm{DBH}$ と $\triangle \rm{DCH}$ において
$\rm DA=DB=DC$
$\rm DH$ 共通
$\angle{\rm DHA}=\angle{\rm DHB}=\angle{\rm DHC}=90^{\circ}$
より $\triangle \rm{DAH}\equiv \triangle \rm{DBH}\equiv \triangle \rm{DCH}$．つまり $\rm AH=BH=CH$．すなわち $\rm H$ は $\triangle \rm{ABC}$ の外心．
正弦定理より，$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ から
$\dfrac{\dfrac{5}{3}}{\sin \angle{\rm BAC}}=2{\rm AH} \ \Longleftrightarrow \ {\rm AH}=\dfrac{8\sqrt{7}}{21}$
$\triangle \rm{DAH}$ は直角二等辺三角形より
${\rm DH}={\rm AH}=\dfrac{8\sqrt{7}}{21}$
以上より
$V=\triangle{\rm ABC} \times \rm DH\times \dfrac{1}{3}=\boldsymbol{\dfrac{10}{27}}$