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2次関数の最大最小(グラフ変動,定義域固定)

2次関数(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

2次関数のグラフが動いて定義域が固定のタイプの最大最小問題です.

本格的に場合分けが必要になるので,最初につまづく人は多いのではないでしょうか.当サイトではアニメーションも用いて丁寧に説明します.

例題では,最大値と最小値は分けて扱います.



最小値の求め方(例題1)

例題1

関数 $y=x^{2}-2ax+a$ $(-2\leqq x \leqq 4)$ の最小値 $m$ を求めよ.


講義

平方完成をすると $y=(x-a)^{2}-a^{2}+a$ で,軸は $x=a$ です.

軸に $a$ という文字が入っているので,$a$ の値に応じてグラフを横に変動させます(実際には上下にも動きますが,最大最小に影響ないので無視します).

-2 4 a

グラフが下に凸のときの最小値(上に凸のときの最大値は),軸が定義域の左か,定義域内か,定義域の右かで場合分けをします.


解答

(ⅰ) $a < -2$ のとき

-2 4 a ←最小

$x=-2$ のとき $\boldsymbol {m=5a+4}$


(ⅱ) $-2\leqq a \leqq 4$ のとき

-2 4 a ↓最小

$x=a$ のとき $\boldsymbol {m=-a^{2}+a}$


(ⅲ) $4 < a$ のとき

-2 4 a 最小→

$x=4$ のとき $\boldsymbol {m=-7a+16}$

※ 場合分けの際に例えば (ⅰ) $a \leqq -2$ などのようにしてもよく,どこかに $=$ が必ず含まれていればOKです.ご注意を.

※ $x$ 軸や $y$ 軸は書かないで考えることをオススメします.

最大値の求め方(例題2)

例題2

関数 $y=x^{2}-2ax+a$ $(-2\leqq x \leqq 4)$ の最大値 $M$ を求めよ.


講義

平方完成をすると $y=(x-a)^{2}-a^{2}+a$ で,軸は $x=a$ です.

例題1と同じように左右に変動させて考えます.最大値は $x=-2$ または $x=4$ のときになりそうですがどこが境目でしょうか.

-2 1 4 a

グラフが下に凸のときの最大値(上に凸のときの最小値は),軸が定義域の中心(今回は $\boldsymbol {x=1}$ )の右か左かで場合分けをします.


解答

(ⅰ) $a < 1$ のとき

-2 4 a 最大→

$x=4$ のとき $\boldsymbol {M=-7a+16}$


(ⅱ) $a=1$ のとき

-2 4 a= 1 最大

$x=-2$,$4$ のとき $\boldsymbol {M=9}$


(ⅲ) $a > 1$ のとき

-2 4 a ←最大

$x=-2$ のとき $\boldsymbol {m=5a+4}$

※ 最大や最小をとるときの $x$ は問われていなければ答えなくてよいというのが多数派だと思いますが,教育的配慮から,3つの場合分けにしました.実際は $a\leqq 1$ と $a\geqq 1$ で分けてもいいと思います.

練習問題

練習1

関数 $y=-x^{2}-2ax+a$ $(0\leqq x \leqq 4)$ に関して

(1) 最大値 $M$ を求めよ.

(2) 最小値 $m$ を求めよ.


練習2

関数 $y=x^{2}-2(a-1)x+2a^{2}$ $(0\leqq x \leqq 2)$ に関して

(1) 最小値 $m$ を求めよ.

(2) 最小値 $m$ が $m=4$ であるとき,$a$ の値を求めよ.

練習1の解答

平方完成をすると $y=-(x+a)^{2}+a^{2}+a$ で,軸は $x=-a$ です.

(1)

(ⅰ) $-a < 0 \ \Longleftrightarrow \ a >0$ のとき

0 4 -a ←最大

$x=0$ のとき $\boldsymbol {M=a}$


(ⅱ) $0\leqq -a \leqq 4 \ \Longleftrightarrow \ -4\leqq a \leqq 0$ のとき

0 4 -a ↓最大

$x=-a$ のとき $\boldsymbol {M=a^{2}+a}$


(ⅲ) $-a > 4 \ \Longleftrightarrow \ a < -4$ のとき

0 4 -a 最大→

$x=4$ のとき $\boldsymbol {M=-7a-16}$


(2)

(ⅰ) $-a < 2 \ \Longleftrightarrow \ a >-2$ のとき

0 4 -a 最小→

$x=4$ のとき $\boldsymbol {m=-7a-16}$


(ⅱ) $-a=2 \ \Longleftrightarrow \ a=-2$ のとき

0 4 -a 最小

$x=0$,$4$ のとき $\boldsymbol {m=-2}$


(ⅲ) $-a > 2 \ \Longleftrightarrow \ a < -2$ のとき

0 4 -a ←最小

$x=0$ のとき $\boldsymbol {m=a}$


練習2の解答

$y=\{x-(a-1)\}^{2}+a^{2}+2a-1$ より軸は $x=a-1$

(ⅰ) $a-1 < 0 \ \Longleftrightarrow \ a <1$ のとき

0 2 a -1 ←最小

$x=0$ のとき $\boldsymbol {m=2a^{2}}$


(ⅱ) $0\leqq a-1 \leqq 2 \ \Longleftrightarrow \ 1\leqq a \leqq 3$ のとき

0 2 a -1 ↓最小

$x=a-1$ のとき $\boldsymbol {m=a^{2}+2a-1}$


(ⅲ) $a-1 >2 \ \Longleftrightarrow \ a>3$ のとき

0 2 a -1 最小→

$x=2$ のとき $\boldsymbol {m=2a^{2}-4a+8}$


(2)

(ⅰ) $a <1$ のとき

$m=2a^{2}=4$

$\therefore \ \boldsymbol{a=-\sqrt{2}}$ $(\because \ a <1)$

(ⅱ) $1\leqq a \leqq 3$ のとき

$m=a^{2}+2a-1=4$

$\therefore \ \boldsymbol{a=-1+\sqrt{6}}$ $(\because \ 1\leqq a \leqq 3)$

(ⅲ) $a>3$ のとき

$m=2a^{2}-4a+8=4$

$\Longleftrightarrow \ (a-1)^{2}+1=0$

これは実数解をもたない