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2次関数の決定

2次関数(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

2次関数の決定について扱います.

少しバリエーションがありますが一通りの問題を扱います.



2次関数の決定の仕方

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題を考えます.問題によって頂点がわかったり,通る3点がわかったり様々で,条件に応じて以下の中から使う2次関数のタイプを決めると楽に問題が解けます.

ポイント

2次関数の決定に使うタイプ

Ⅰ 軸または頂点がわかっているとき

$\boldsymbol{\color{red}{y=a(x-p)^{2}+q}}$ 基本形

Ⅱ 通る点3点がわかっているとき

$\boldsymbol{\color{red}{y=ax^{2}+bx+c}}$ 一般形

Ⅲ $x$ 切片( $x$ 軸との交点)がわかっているとき

$\boldsymbol{\color{red}{y=a(x-\alpha)(x-\beta)}}$


例題と練習問題

例題

例題

次の条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ.

(1) 点 $(1,-1)$ を頂点とし,点 $(3,7)$ を通る.

(2) 3点 $(1,4)$,$(-1,6)$,$(2,6)$ を通る.

(3) 3点 $(-1,0)$,$(2,0)$,$(0,2)$ を通る.


講義

上のタイプのどのタイプを使うかがポイントです.使うタイプを間違えると問題が解けない場合があります.


解答

(1)

頂点が $(1,-1)$ なので

$\boldsymbol{\color{red}{y=a(x-1)^{2}-1}}$

これが $(3,7)$ を通るので

$7=4a-1$

$\therefore \ a=2$

求める2次関数は

$\boldsymbol{y=2(x-1)^{2}-1}$


(2)

3点通るので

$\boldsymbol{\color{red}{y=ax^{2}+bx+c}}$

とおく.$(1,4)$,$(-1,6)$,$(2,6)$ を通るので

$\begin{cases}4=a+b+c \\ 6=a-b+c \\ 6=4a+2b+c\end{cases}$

解くと $a=1$,$b=-1$,$c=4$

求める2次関数は

$\boldsymbol{y=x^{2}-x+4}$


(3)

$(-1,0)$,$(2,0)$ 通るので

$\boldsymbol{\color{red}{y=a(x+1)(x-2)}}$

とおける.$(0,2)$ を通るので

$2=-2a$

$\therefore \ a=-1$

求める2次関数は

$\boldsymbol{y=-(x+1)(x-2)}$

練習問題

練習

次の条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ.

(1) $x=4$ を軸とし,点 $(2,4)$,$\left(5,\dfrac{5}{2}\right)$ を通る.

(2) 3点 $(1,1)$,$(2,-5)$,$(3,-15)$ を通る.

(3) 3点 $(-2,0)$,$(3,0)$,$(2,-4)$ を通る.

(4) $x=-1$ で最大値 $1$ をとり,原点を通る.

(5) 放物線 $y=3x^{2}$ を平行移動した曲線で,頂点が $y=-x$ 上にあり,点 $(2,2)$ を通る.

解答

(1)

軸が $x=4$ なので

$y=a(x-4)^{2}+q$

とおける.$(2,4)$,$\left(5,\dfrac{5}{2}\right)$ を通るので

$\begin{cases}4=4a+q \\ \dfrac{5}{2}=a+q\end{cases}$

$\therefore \ a=\dfrac{1}{2}$,$q=2$

求める2次関数は

$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}(x-4)^{2}+2}$


(2)

3点通るので

$y=ax^{2}+bx+c$

とおく.$(1,1)$,$(2,-5)$,$(3,-15)$ を通るので

$\begin{cases}1=a+b+c \\ -5=4a+2b+c \\ -15=9a+3b+c\end{cases}$

解くと $a=-2$,$b=0$,$c=3$

求める2次関数は

$\boldsymbol{y=-2x^{2}+3}$


(3)

$(-2,0)$,$(3,0)$ 通るので

$y=a(x+2)(x-3)$

とおける.$(2,-4)$ を通るので

$-4=-4a$

$\therefore \ a=1$

求める2次関数は

$\boldsymbol{y=(x+2)(x-3)}$


(4)

$x=-1$ で最大値 $1$ をとるので,頂点が $(-1,1)$.

$y=a(x+1)^{2}+1$

とおける.これが原点を通るので

$0=a+1$

$\therefore \ a=-1$

求める2次関数は

$\boldsymbol{y=-(x+1)^{2}+1}$


(5)

頂点を $(t,-t)$ とおくと

$y=3(x-t)^{2}-t$

とおける.これが $(2,2)$ を通るので

$2=3(2-t)^{2}-t$

解くと

$t=1,\dfrac{10}{3}$

求める2次関数は

$\boldsymbol{y=3(x-1)^{2}-1}$

$\boldsymbol{y=3\left(x-\dfrac{10}{3}\right)^{2}-\dfrac{10}{3}}$