2つの2次関数の大小関係
2次関数(入試の標準) ★★★★
2つの2次関数の大小関係について扱います．
一般の検定教科書に記載はないですが，過去の入試でよく問われてきた問題です．
2つの2次関数の大小関係の仕方
2次関数だけに限らず，「すべての」または「ある」を用いた2つの関数の大小関係の問題は以下のように考えます．
2つの2次関数の大小関係に使うタイプ
$x$ が特定の範囲で，関数 $f(x)$，$g(x)$ について，次の命題が成り立つような条件は
Ⅰ すべての $x$ に対して，$f(x)>g(x)$
$\boldsymbol{\color{red}{(f(x)-g(x)}}$ の最小値 $\boldsymbol{\color{red}{)>0}}$
※ $f(x)$ と $g(x)$ で使う $x$ が共通しているので $h(x)=f(x)-g(x)$ としてまとめて考えます．
Ⅱ ある $x$ に対して，$f(x)>g(x)$
$\boldsymbol{\color{red}{(f(x)-g(x)}}$ の最大値 $\boldsymbol{\color{red}{)>0}}$
※ Ⅰと同様ですが，$h(x)=f(x)-g(x)$ の最大値が正であれば十分です．
Ⅲ すべての組 $x_{1}$，$x_{2}$ に対して，$f(x)>g(x)$
$\boldsymbol{\color{red}{(f(x)}}$ の最小値 $\boldsymbol{\color{red}{)>(g(x)}}$ の最大値 $\boldsymbol{\color{red}{)}}$
※ $f(x)$ と $g(x)$ で異なる $x$ を使えるので，分けて考えます．
Ⅳ ある組 $x_{1}$，$x_{2}$ に対して，$f(x)>g(x)$
$\boldsymbol{\color{red}{(f(x)}}$ の最大値 $\boldsymbol{\color{red}{)>(g(x)}}$ の最小値 $\boldsymbol{\color{red}{)}}$
※ Ⅲと同様に分けて考えます．
例題と練習問題
例題
例題
$-\dfrac{5}{2}\leqq x \leqq 2$ の範囲で，関数 $f(x)=x^{2}+2x$，$g(x)=-x^{2}+a$ について，次の命題が成り立つような $a$ の値の範囲をそれぞれ求めよ．
(1) すべての $x$ に対して，$f(x)>g(x)$
(2) ある $x$ に対して，$f(x)>g(x)$
(3) すべての組 $x_{1}$，$x_{2}$ に対して，$f(x)>g(x)$
(4) ある組 $x_{1}$，$x_{2}$ に対して，$f(x)>g(x)$
講義
前章の内容に従って解いていきます．
解答
$h(x)$
$=f(x)-g(x)$
$=2x^{2}+2x-a$
$=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}-a$ $\left(-\dfrac{5}{2}\leqq x \leqq 2\right)$
とおく．
(1)
すべての $x$ に対して，$h(x)=f(x)-g(x)>0$ つまり
$( \ h(x)$ の最小値 $)=-\dfrac{1}{2}-a>0$
であればいいので
$\boldsymbol{a<-\dfrac{1}{2}}$
(2)
ある $x$ に対して，$h(x)=f(x)-g(x)>0$ つまり
$( \ h(x)$ の最大値 $)=h(2)=12-a>0$
であればいいので
$\boldsymbol{a<12}$
(3)
$( \ f(x)$ の最小値 $)>( \ g(x)$ の最大値 $)$
$f(-1)=-1>g(0)=a$
であればいいので
$\boldsymbol{a<-1}$
(4)
$( \ f(x)$ の最大値 $)>( \ g(x)$ の最小値 $)$
$f(2)=8>g\left(-\dfrac{5}{2}\right)=-\dfrac{25}{4}+a$
であればいいので
$\boldsymbol{a<\dfrac{57}{4}}$
練習問題
練習
次の条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ．
$-3\leqq x \leqq 3$ の範囲で，関数 $f(x)=x^{2}-2x$，$g(x)=2x+a$ について，次の命題が成り立つような $a$ の値の範囲をそれぞれ求めよ．
(1) すべての $x$ に対して，$f(x)>g(x)$
(2) ある $x$ に対して，$f(x)>g(x)$
(3) すべての組 $x_{1}$，$x_{2}$ に対して，$f(x)>g(x)$
(4) ある組 $x_{1}$，$x_{2}$ に対して，$f(x)>g(x)$
解答
$h(x)$
$=f(x)-g(x)$
$=x^{2}-4x-a$
$=\left(x-2\right)^{2}-4-a$ $(-3\leqq x \leqq 3)$
(1)
すべての $x$ に対して，$h(x)=f(x)-g(x)>0$ つまり
$( \ h(x)$ の最小値 $)=-4-a>0$
であればいいので
$\boldsymbol{a<-4}$
(2)
ある $x$ に対して，$h(x)=f(x)-g(x)>0$ つまり
$( \ h(x)$ の最大値 $)=h(-3)=21-a>0$
であればいいので
$\boldsymbol{a<21}$
(3)
$( \ f(x)$ の最小値 $)>( \ g(x)$ の最大値 $)$
$f(1)=-1>g(3)=6+a$
であればいいので
$\boldsymbol{a<-7}$
(4)
$( \ f(x)$ の最大値 $)>( \ g(x)$ の最小値 $)$
$f(-3)=15>g\left(-3\right)=-6+a$
であればいいので
$\boldsymbol{a<21}$