円のベクトル方程式
平面，空間ベクトル(教科書範囲) ★★★
平面，空間ベクトル共通ページです．
円のベクトル方程式をメインに扱います．
平面ベクトル，空間ベクトルともに概念は同じです．平面ベクトル勉強中の場合は1章，2章，4章のみご参照ください．
目次
ベクトル方程式(平面，空間ベクトル共通)
ベクトル方程式とは，ベクトルにより表現された等式です．それによってどんな図形が形成されるかが重要で，高校数学では主に直線と円が扱われます．
直線に関しては，例えば ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$ を通る方向ベクトルが $\overrightarrow{\mathstrut d}$ の直線は
$\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut d}$
と表せます．平面でも空間でも統一して表現できるのがベクトル方程式のメリットですが，直線に関しては平面では2次元平面における直線のベクトルを使った出し方，空間では3次元空間における直線の出し方で個別に扱っています．
次章以降では平面では円，空間では球に関して扱います．
円のベクトル方程式(平面ベクトル)
円のベクトル方程式(円の定義での表現)
中心が ${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$，半径が $r$ の円のベクトル方程式は $|\overrightarrow{\mathstrut \rm CP}|=r$ を変形して
$\boldsymbol{|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut c}|=r}$
※ 両辺 $2$ 乗して ${\rm P}(x,y)$ とすると，円の方程式 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ になります．
ただ円の定義をそのままベクトルで表現しただけです．$3$ 次元空間では球(球面)のベクトル方程式になります．
次は円周角の定理を利用した円のベクトル方程式です．
円のベクトル方程式(円周角の定理での表現)
直径の両端が ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$，${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ の円のベクトル方程式は $\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm BP}=0$ を変形して
$\boldsymbol{(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a})(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut b})=0}$
中心と半径が未知でも直径の両端が既知であれば，このベクトル方程式から円の方程式を導出できるのがメリットです．
球のベクトル方程式(空間ベクトル)
空間では，前章の円のベクトル方程式は，球(球面)のベクトル方程式になります．
球のベクトル方程式に $3$ つ成分を代入すると，球(球面)の方程式が導けます．
球(球面)のベクトル方程式(球の定義での表現)と球(球面)の方程式
中心が ${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$，半径が $r$ の球のベクトル方程式は $|\overrightarrow{\mathstrut \rm CP}|=r$ を変形して
$\boldsymbol{|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut c}|=r}$
両辺 $2$ 乗して ${\rm P}(x,y,z)$ として成分で表すと球(球面)の方程式は
$\boldsymbol{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2}$
※ 検定教科書では円の方程式に対して，球面の方程式としています．球の方程式の方が円の拡張の言葉としては相応しく，どうしても球面の方程式と呼ぶなら(球面を強調したいなら)円の方程式ではなく円周の方程式とした方がしっくり来ると思います．
例題と練習問題(平面ベクトル)
例題
例題
平面上の定点 $\rm O$，$\rm A$ と任意の点 $\rm P$ に関して，$2|\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}|=|\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}|$ を満たすとき，点 $\rm P$ の軌跡を求めよ．
講義
円のベクトル方程式の公式の形になるまで変形します．$2$ 乗して式を展開します．$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut p}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$ とおくと計算しやすいです．
解答
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut p}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$ とおくと
$2|\overrightarrow{\mathstrut p}|=|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a}|$
両辺 $2$ 乗して
$4|\overrightarrow{\mathstrut p}|^2=|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a}|^2$
$\Longleftrightarrow \ 4|\overrightarrow{\mathstrut p}|^2=|\overrightarrow{\mathstrut p}|^2-2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}+|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2$
$\Longleftrightarrow \ 3|\overrightarrow{\mathstrut p}|^2+2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}-|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2=0$
$\Longleftrightarrow \ |\overrightarrow{\mathstrut p}|^2+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{1}{3}|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2=0$
$\Longleftrightarrow \ \left|\overrightarrow{\mathstrut p}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathstrut a}\right|^{2}=\dfrac{4}{9}|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2$
よって
$\left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\left(-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathstrut a}\right)\right|=\dfrac{2}{3}|\overrightarrow{\mathstrut a}|$
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathstrut a}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$ とおくと
$\left|\overrightarrow{\mathstrut \rm A'P}\right|=\dfrac{2}{3}{\rm OA}$
$\boldsymbol{{\rm A}'}$ を中心とした半径 $\boldsymbol{\dfrac{2}{3}{\rm OA}}$ の円(ただし $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}}$ )．
※ $|\overrightarrow{\mathstrut p}|^2+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{1}{3}|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2=0 \ \Longleftrightarrow \ \left(\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathstrut a}\right)\left(\overrightarrow{\mathstrut p}-(-\overrightarrow{\mathstrut a})\right)=0$ として，$\rm A''$ と点 $\rm O$ に関して対称な点を直径の両端とする円(ただし $\overrightarrow{\mathstrut \rm OA'''}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}$ )という解答でもOKです．
$\rm O$ までの距離と $\rm A$ までの距離の比が $1:2$ の軌跡で，アポロニウスの円になります．
練習問題
練習
(1)平面上に $\triangle {\rm OAB}$ と任意の点 $\rm P$ に関して，$2|\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}|=3|\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}-\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}|$ を満たすとき，点 $\rm P$ の軌跡を求めよ．
(2)平面上に $\triangle {\rm OAB}$ と任意の点 $\rm P$ に関して，$2\overrightarrow{\mathstrut \rm PA}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm PB}=3\overrightarrow{\mathstrut \rm PA}\cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm PO}$ を満たすとき，点 $\rm P$ の軌跡を求めよ．
練習の解答
(1)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut p}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$ とおくと
$2|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a}|=3|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut b}|$
両辺 $2$ 乗して
$4|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a}|^2=9|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut b}|^2$
$\Longleftrightarrow \ 4|\overrightarrow{\mathstrut p}|^2-8\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}+4|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2=9|\overrightarrow{\mathstrut p}|^2-18\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}+9|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2$
$\Longleftrightarrow \ 5|\overrightarrow{\mathstrut p}|^2+8\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}-18\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}-4|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2+9|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2=0$
$\Longleftrightarrow \ |\overrightarrow{\mathstrut p}|^2+\dfrac{8}{5}\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{18}{5}\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{4}{5}|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2+\dfrac{9}{5}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2=0$
$\Longleftrightarrow \ |\overrightarrow{\mathstrut p}|^2-2\left(\dfrac{-4\overrightarrow{\mathstrut a}+9\overrightarrow{\mathstrut b}}{5}\right)\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{4}{5}|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2+\dfrac{9}{5}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2=0$
$\Longleftrightarrow \ \left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{-4\overrightarrow{\mathstrut a}+9\overrightarrow{\mathstrut b}}{5}\right|^2=\left|\dfrac{-4\overrightarrow{\mathstrut a}+9\overrightarrow{\mathstrut b}}{5}\right|^2+\dfrac{4}{5}|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2-\dfrac{9}{5}|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2$
$\Longleftrightarrow \ \left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{-4\overrightarrow{\mathstrut a}+9\overrightarrow{\mathstrut b}}{5}\right|^2=\dfrac{36|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2-72\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+36|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2}{25}$
$\Longleftrightarrow \ \left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{-4\overrightarrow{\mathstrut a}+9\overrightarrow{\mathstrut b}}{5}\right|^2=\dfrac{36}{25}|\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}|^2$
よって
$\left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{-4\overrightarrow{\mathstrut a}+9\overrightarrow{\mathstrut b}}{5}\right|=\dfrac{6}{5}|\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}|$
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}=\dfrac{-4\overrightarrow{\mathstrut a}+9\overrightarrow{\mathstrut b}}{5}$ とおくと
$\left|\overrightarrow{\mathstrut \rm CP}\right|=\dfrac{6}{5}{\rm AB}$
線分 $\boldsymbol{\rm AB}$ を $\boldsymbol{9:4}$ に外分した点を中心とした半径 $\boldsymbol{\dfrac{6}{5}{\rm AB}}$ の円．
※ $4|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a}|^2-9|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut b}|^2=0 \ \Longleftrightarrow \ \left(\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{2\overrightarrow{\mathstrut a}+3\overrightarrow{\mathstrut b}}{5}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\mathstrut p}-(-2\overrightarrow{\mathstrut a}+3\overrightarrow{\mathstrut b})\right)=0$ として，線分 $\rm AB$ を $3:2$ に内分する点と外分する点を直径の両端とする円(アポロニウスの円)という解答でもOKです．
※ 軌跡の求め方の練習(1)において，$\rm A$ と $\rm B$ の座標を一般化した問題が本問です．
(2)
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut p}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$ とおくと
$2(\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut p})\cdot(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut p})=3(\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut p})\cdot(-\overrightarrow{\mathstrut p})$
$\Longleftrightarrow \ 2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}-2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}-2\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}+2|\overrightarrow{\mathstrut p}|^2=-3\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}+3|\overrightarrow{\mathstrut p}|^2$
$\Longleftrightarrow \ |\overrightarrow{\mathstrut p}|^2-\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}+2\overrightarrow{\mathstrut b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}-2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=0$
$\Longleftrightarrow \ |\overrightarrow{\mathstrut p}|^2-(\overrightarrow{\mathstrut a}-2\overrightarrow{\mathstrut b})\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}-2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=0$
$\Longleftrightarrow \ \left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}-2\overrightarrow{\mathstrut b}}{2}\right|^2=\left|\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}-2\overrightarrow{\mathstrut b}}{2}\right|^2+2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}$
$\Longleftrightarrow \ \left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}-2\overrightarrow{\mathstrut b}}{2}\right|^2=\dfrac{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2+4\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}+4|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2}{4}$
$\Longleftrightarrow \ \left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}-2\overrightarrow{\mathstrut b}}{2}\right|^2=\dfrac{|\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}|^2}{4}$
よって
$\left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}-2\overrightarrow{\mathstrut b}}{2}\right|=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}|$
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}-2\overrightarrow{\mathstrut b}}{2}$ とおくと
$\left|\overrightarrow{\mathstrut \rm CP}\right|=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut b}|$
$\boldsymbol{\rm C}$ を中心とした半径 $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+2\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}|}$ の円(ただし $\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut \rm OC}=\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}-2\overrightarrow{\mathstrut \rm OB}}{2}}$ )．
※ $|\overrightarrow{\mathstrut p}|^2-(\overrightarrow{\mathstrut a}-2\overrightarrow{\mathstrut b})\cdot\overrightarrow{\mathstrut p}-2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=0 \ \Longleftrightarrow \ (\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a})\cdot (\overrightarrow{\mathstrut p}-(-2\overrightarrow{\mathstrut b}))=0$ として，点 $\rm A$ と，$\overrightarrow{\mathstrut \rm OD}=-2\overrightarrow{\mathstrut b}$ となる点 $\rm D$ を直径の両端とする円という解答でもOKです．
例題と練習問題(空間ベクトル)
例題
例題
空間内に，点${\rm A}(2,2,3)$ を中心とする半径 $1$ の球面 $S$，点${\rm B}(1,0,3)$ を通り，$\overrightarrow{\mathstrut d}=(1,2,1)$ を方向ベクトルにもつ直線 $l$ がある．$l$ と $S$ の共有点の座標を求めよ．
講義
解答
$l$ を媒介変数表示すると，$t$ を実数として
$l:\begin{cases}x=1+t \\ y=2t \\ z=3+t \end{cases}$
$l$ と球面 $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=1$ を連立すると
$(t-1)^{2}+(2t-2)^{2}+t^{2}=1$
$\Longleftrightarrow 6t^{2}-10t+5=1$
$\Longleftrightarrow 6t^{2}-10t+4=0$
$\Longleftrightarrow 3t^{2}-5t+2=0$
$\Longleftrightarrow (3t-2)(t-1)=0$
$\therefore \ t=1，\dfrac{2}{3}$
順に $l$ に代入すると共有点の座標は，$\boldsymbol{(2,2,4)}$，$\boldsymbol{\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{4}{3},\dfrac{11}{3}\right)}$
練習問題
練習
${\rm A}(-2,1,-1)$，${\rm B}(1,3,2)$ を通る直線を $l$ とする．${\rm C}(-2,-2,-2)$ を中心とした半径 $\sqrt{14}$ の球面と $l$ との共有点の座標を求めよ．
練習の解答
方向ベクトルは $\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$とする．媒介変数表示をすると，$t$ を実数として
$l:\begin{cases}x=-2+3t \\ y=1+2t \\ z=-1+3t \end{cases}$
$l$ と球面 $(x+2)^{2}+(y+2)^{2}+(z+2)^{2}=14$ を連立すると
$(3t)^{2}+(2t+3)^{2}+(3t+1)^{2}=14$
$\Longleftrightarrow 22t^{2}+18t-4=0$
$\Longleftrightarrow 11t^{2}+9t-2=0$
$\Longleftrightarrow (11t-2)(t+1)=0$
$\therefore \ t=-1，\dfrac{2}{11}$
順に $l$ に代入すると共有点の座標は，$\boldsymbol{(-5,-1,-4)}$，$\boldsymbol{\left(-\dfrac{16}{11},\dfrac{15}{11},-\dfrac{5}{11}\right)}$