直線の回転体でできた立体の体積
積分(数学Ⅲ)(難関大対策) ★★★★
直線(または線分)の回転体でできた立体の体積について扱います．入試の出題頻度はそこまで高くありませんが，演習効果は高いと思います．
3次元空間内の直線の知識があることが望ましいです．
直線の回転体でできた立体の体積
体積を求めるときの基本は定積分で求める体積にあるように，いかに断面積を求めて積分するかです．
直線の回転体でできた立体の体積
直線 $\rm AB$ を $x$ 軸の周りに回転させてできた面と，平面 $x=a$，$x=b$ $(a< b)$ で囲まれた立体の体積 $V$ を求めるときの手順は
STEP1：直線 $\rm AB$ を媒介変数表示する(媒介変数は $t$ とします)．
STEP2：立体を $x=u$ で切った断面積 $S(u)$ を求める(直線 $\rm AB$ と平面 $x=u$ の交点 $\rm P$ と ${\rm Q}(u,0,0)$ の距離を半径とした円の面積)．
STEP3：$\displaystyle V=\int_{a}^{b}S(u)\,du$
立体の形状
立体としては直線 $\rm AB$ が $x$ 軸とどういう関係があるかで以下のように分かれます．
Ⅰ：直線 $\rm AB$ が $x$ 軸とねじれの位置にある→一葉双曲面
Ⅱ：直線 $\rm AB$ が $x$ 軸と交わる→円錐
Ⅲ：直線 $\rm AB$ が $x$ 軸と平行→円柱
どの場合も体積の求め方は同じです．入試問題としてはⅠのケースがほとんどです．
例題と練習問題
例題
例題
座標空間上で ${\rm A}(0,1,1)$，${\rm B}(1,2,0)$ としたとき，直線 $\rm AB$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる面と，平面 $x=0$，$x=1$ によって囲まれた立体の体積を求めよ．
(2022芝浦工業大改題)
講義
直線 $\rm AB$ を媒介変数表示して $x$ で切った断面積を考えます．
解答
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$ より直線 ${\rm AB}:\begin{cases}x=t \\ y=1+t \\ z=1-t\end{cases}$ ( $t$ は実数)
平面 $x=u$ と直線 $\rm AB$ の交点 $\rm P$ の座標は $t=u$ から，$y=1+u$，$z=1-u$ より
${\rm P}(u,1+u,1-u)$
平面 $x=u$ と $x$ 軸との共有点 ${\rm Q}(u,0,0)$ に関して，立体の $x=u$ での断面の円の半径は線分 $\rm PQ$ より
$V$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}{\rm PQ}^{2}\pi\,du$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}\left\{(1+u)^{2}+(1-u)^{2}\right\}\pi\,du$
$\displaystyle =\pi\int_{0}^{1}\left(2u^{2}+2\right)\,du$
$\displaystyle =2\pi\int_{0}^{1}\left(u^{2}+1\right)\,du$
$\displaystyle =2\pi \left[\dfrac{1}{3}u^3+u\right]_{0}^{1}$
$=\boldsymbol{\dfrac{8}{3}\pi}$
※ 芝浦工大の問題では一応誘導がありました．座標は実際の問題と同じです．
練習問題
練習1
$a$，$b$ を正の実数とする．座標空間上で ${\rm A}(0,a,0)$，${\rm B}(1,0,b)$ としたとき，直線 $\rm AB$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる面と，平面 $x=0$，$x=1$ によって囲まれた立体の体積を求めよ．
(2004北海道大改題)
練習2
座標空間上で ${\rm A}(1,2,-1)$，${\rm B}(2,4,5)$ としたとき，直線 $\rm AB$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる面と，平面 $x=-1$，$x=1$ によって囲まれた立体の体積を求めよ．
練習1の解答
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\begin{pmatrix}1 \\ -a \\ b\end{pmatrix}$ より直線 ${\rm AB}:\begin{cases}x=t \\ y=a-at \\ z=bt\end{cases}$ ( $t$ は実数)
平面 $x=u$ と直線 $\rm AB$ の交点 $\rm P$ の座標は $t=u$ から，$y=a(1-u)$，$z=bu$ より
${\rm P}(u,a(1-u),bu)$
平面 $x=u$ と $x$ 軸との共有点 ${\rm Q}(u,0,0)$ に関して，立体の $x=u$ での断面の円の半径は線分 $\rm PQ$ より
$V$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}{\rm PQ}^{2}\pi\,du$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}\left[\{a(1-u)\}^{2}+(bu)^{2}\right]\pi\,du$
$\displaystyle =\pi\int_{0}^{1}\left\{a^{2}(u-1)^{2}+b^{2}u^{2}\right\}\,du$
$\displaystyle =\pi \left[\dfrac{a^2}{3}(u-1)^3+\dfrac{b^2}{3}u^3\right]_{0}^{1}$
$=\boldsymbol{\dfrac{a^2+b^2}{3}\pi}$
※ 北海道大の問題では一応誘導がありました．座標は実際の問題と同じです．
練習2の解答
$\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 6\end{pmatrix}$ より直線 ${\rm AB}:\begin{cases}x=1+t \\ y=2+2t \\ z=-1+6t\end{cases}$ ( $t$ は実数)
平面 $x=u$ と直線 $\rm AB$ の交点 $\rm P$ の座標は $u=1+t \Longleftrightarrow \ t=u-1$ から，$y=2+2(u-1)=2u$，$z=-1+6(u-1)=6u-7$ より
${\rm P}(u,2u,6u-7)$
平面 $x=u$ と $x$ 軸との共有点 ${\rm Q}(u,0,0)$ に関して，立体の $x=u$ での断面の円の半径は線分 $\rm PQ$ より
$V$
$\displaystyle =\int_{-1}^{1}{\rm PQ}^{2}\pi\,dx$
$\displaystyle =\int_{-1}^{1}\left\{(2u)^{2}+(6u-7)^{2}\right\}\pi\,dx$
$\displaystyle =\pi\int_{-1}^{1}\left(40u^{2}-84u+49\right)\,dx$
$\displaystyle =2\pi\int_{0}^{1}\left(40u^{2}+49\right)\,dx$ ←偶関数の定積分
$\displaystyle =2\pi \left[\dfrac{40}{3}u^3+49u\right]_{0}^{1}$
$=\boldsymbol{\dfrac{374}{3}\pi}$