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斜軸回転体の体積(応用編:ド・モアブルの定理利用)

タイプ:難関大対策 レベル:★★★★ 


アイキャッチ

斜軸回転の問題は,斜軸回転体の体積(基本編)で一度考えました.

ここでは,ド・モアブルの定理(複素数平面)を使って解く方法を扱います.





斜軸回転体の体積の求め方まとめ

ポイント

斜軸回転体の体積の求め方

回転軸に垂直に積分する方法(基本編:正攻法)

ド・モアブルの定理利用(応用編:正攻法)(このページです!)

傘型積分(応用編:いわゆる裏ワザ.減点リスクあり)


①の基本編の考え方が難しいと感じる人には,②のド・モアブルの定理を使って回転し,強引に $x$ 軸回転の問題として解く方法をオススメします.

解く手間もそこまで変わらず,発想がわかりやすいです.




ド・モアブルの定理利用での解き方

ポイント

ド・モアブルの定理利用での解き方

1.曲線を斜軸の傾いた角度だけ,マイナス方向に回転させる.

2.$x$ 軸回転体の問題として解く.


この方法では,曲線をド・モアブルの定理によって回転させる知識と計算力が必要です.

多くの場合で媒介変数表示になると思います.




例題と練習問題

例題

例題

$x\geqq 0$ で $y=x$,$y=x^3$ で囲まれた部分を $y=x$ の周りに1回転してできた立体の体積 $V$ を求めよ.


解説と解答

斜軸回転例題の図1

図の黄色の部分が該当箇所です.

$y=x^3$ を原点を中心に $-45$° 回転すれば,$x$ 軸回転の問題になるはずです.


斜軸回転例題の図2

$y=x^3$ 上の $(t,t^3)$ を $-45$°回転した点を $(X,Y)$ とします.

そこで,これらを一度複素数平面上に起こして,$t+t^{3}i$ をドモアブルの定理で $-45$° 回転した点を $X+Yi$ とします.

 $X+Yi$

$=(t+t^{3}i)\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$

$=(t+t^{3}i)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)$

$=\dfrac{t^{3}+t}{\sqrt{2}}+\dfrac{t^{3}-t}{\sqrt{2}}i$

となるので

$\begin{cases}X=\dfrac{t^{3}+t}{\sqrt{2}} \\ Y=\dfrac{t^{3}-t}{\sqrt{2}}\end{cases}$

上の様に媒介変数表示できました.求める体積は,半径 $Y$ の円を $X$ で積分すればいいので

 $\displaystyle V=\int_{0}^{\sqrt{2}}Y^{2}\pi \,dX$

  $\displaystyle =\pi\int_{0}^{1}\left(\dfrac{t^{3}-t}{\sqrt{2}}\right)^{2} \,\dfrac{dX}{dt}dt$

  $\displaystyle =\pi\int_{0}^{1}\left(\dfrac{t^{6}-2t^{4}+t^{2}}{2}\right) \,\dfrac{3t^{2}+1}{\sqrt{2}}dt$

  $\displaystyle =\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_{0}^{1}(3t^{8}-5t^{6}+t^{4}+t^{2})\,dt$

  $\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{2}\pi}{105}}$



練習問題

練習

曲線 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ と $x$ 軸,$y$ 軸で囲まれた部分を,直線 $y=x$ の周りに回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ.

練習の解答



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