組分け問題全パターン
場合の数(教科書範囲) ★★★
組分け問題を扱います．
このページではすべてのパターンを扱うので，今までの知識を総整理できます．カテゴリー分けした上で解法を解説します．
組分け問題のパターン
組分け問題のパターン
高校数学における組分け問題は
・モノ(配られるもの)が区別できるか否か
・組(配属先)が区別できるか否か
・組(配属先)のモノの数に指定はあるか，指定がないならば，$0$ 個の組は許されるか
以上のカテゴリーによって以下のように分類されます．
| モノの区別 | 組の区別 | 組のモノの数 | 例題とテーマ |
|---|---|---|---|
| する | する | 指定あり | (1),(2),(3),(5):組合せ |
| する | しない | 指定あり | (4),(5):組合せ÷重複度 |
| する | する | 指定なし( $0$ 個の組OK) | (6):重複順列 |
| する | する | 指定なし( $0$ 個の組なし) | (7):重複順列 |
| する | しない | 指定なし( $0$ 個の組OK) | (8):重複順列÷重複度または書き出し |
| する | しない | 指定なし( $0$ 個の組なし) | (9):重複順列÷重複度または書き出し |
| しない | する | 指定なし( $0$ 個の組OK) | (10):重複組合せ |
| しない | する | 指定なし( $0$ 個の組なし) | (11):重複組合せ(◯を事前分配) |
| しない | しない | 指定なし( $0$ 個の組OK) | (12):書き出し |
| しない | しない | 指定なし( $0$ 個の組なし) | (13):書き出し |
上のすべてのカテゴリーの問題を例題で出題します．
例題と練習問題
例題
例題
$6$ 個の玉を次のように分ける方法は何通りあるか．
(1) $6$ 個の異なる玉を，Aさんに $3$ 個，Bさんに $2$ 個，Cさんに $1$ 個分ける方法．
(2) $6$ 個の異なる玉を，$3$ 個，$2$ 個，$1$ 個の $3$ 組に分ける方法．
(3) $6$ 個の異なる玉を，Aさんに $2$ 個，Bさんに $2$ 個，Cさんに $2$ 個分ける方法．
(4) $6$ 個の異なる玉を，$2$ 個，$2$ 個，$2$ 個の $3$ 組に分ける方法．
(5) $6$ 個の異なる玉を，$4$ 個，$1$ 個，$1$ 個の $3$ 組に分ける方法．
(6) $6$ 個の異なる玉を，$3$ 人に分ける方法．ただし，受け取らない人がいてもよい．
(7) $6$ 個の異なる玉を，$3$ 人に分ける方法．ただし，受け取らない人はいない．
(8) $6$ 個の異なる玉を，$3$ 組に分ける方法．ただし，$0$ 個の組があってもよい．
(9) $6$ 個の異なる玉を，$3$ 組に分ける方法．ただし，$0$ 個の組があってはならない．
(10) $6$ 個の区別がつかない玉を，$3$ 人に分ける方法．ただし，受け取らない人がいてもよい．
(11) $6$ 個の区別がつかない玉を，$3$ 人に分ける方法．ただし，受け取らない人はいない．
(12) $6$ 個の区別がつかない玉を，$3$ 組に分ける方法．ただし，$0$ 個の組があってもよい．
(13) $6$ 個の区別がつかない玉を，$3$ 組に分ける方法．ただし，$0$ 個の組があってはならない．
例題の解答
(1) Aさんから順に $3$ 個，$2$ 個，$1$ 個と配ればいいので
$_{6}{\rm C}_{3}\times$$_{3}{\rm C}_{2}\times$$_{1}{\rm C}_{1}=\boldsymbol{60}$
(2) 組の名前がないが，個数が違うので区別がつく．つまり(1)と同じ．
$_{6}{\rm C}_{3}\times$$_{3}{\rm C}_{2}\times$$_{1}{\rm C}_{1}=\boldsymbol{60}$
(3) Aさんから順に $2$ 個，$2$ 個，$2$ 個と配ればいいので
$_{6}{\rm C}_{2}\times$$_{4}{\rm C}_{2}\times$$_{2}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{90}$
(4) 組に名前がない上に，個数が同じなので(3)での組の区別がつかなくなる．(3)の式(値)を $3!$ で割る．
$_{6}{\rm C}_{2}\times$$_{4}{\rm C}_{2}\times$$_{2}{\rm C}_{2}\div3!=\boldsymbol{15}$
(5) 組に名前がないが $4$ 個の組と $1$ 個の組は個数が違うので区別がつく．$4$ 個，$1$ 個，$1$ 個と順に配っていき，$1$ 個の組 $2$ つは区別がつかないので，$2!$ で割る．
$_{6}{\rm C}_{4}\times$$_{2}{\rm C}_{1}\times$$_{1}{\rm C}_{1}\div2!=\boldsymbol{15}$
(6) $6$ 個の異なる玉 $1$ つ $1$ つにとっては，行き先がA〜Cさんの $3$ 通りあるので
$3^6=\boldsymbol{729}$
(7) (6)から，$2$ 人占めのケースと $1$ 人占めのケースを引く．$2$ 人占めのケースは，$2$ 人を選んだ後，$6$ 個の異なる玉1つ1つの選択肢が2択になるが，$1$ 人占めのケース( $2$ 通り)を除外することに注意．$1$ 人占めのケースは簡単で $3$ 通り．よって答えは
$3^{6}-$$_{3}{\rm C}_{2}(2^6-2)-3$
$=729-186-3$
$=\boldsymbol{540}$
(8) あまりパターンが多くない場合は書き出してみます．
組 場合の数
$(6,0,0) \cdots$ $1$
$(5,1,0) \cdots$ $_{6}$${\rm C}$$_{5}=6$
$(4,2,0) \cdots$ $_{6}$${\rm C}$$_{4}=15$
$(4,1,1) \cdots$ (5) $=15$
$(3,3,0) \cdots$ $_{6}$${\rm C}$$_{3}\div 2!=10$
$(3,2,1) \cdots$ (2) $=60$
$(2,2,2) \cdots$ (4) $=15$
以上すべて足すと，$\boldsymbol{122}$
(別解) (7)より，$3$ 人占めは $540$ 通り，$2$ 人占めは $186$ 通り，$1$ 人占めは $3$ 通り．$3$ 人占めと $2$ 人占めのケースは(8)では重複が $3!$ 通り．$1$ 人占めのケースは重複が $3$ 通りなので
$540\div3!+186\div3!+3\div3=\boldsymbol{122}$
(9) これは(2)，(4)，(5)のケースしかない．
$60+15+15=\boldsymbol{90}$
(別解) (7)で $3$ 人から $3$ 組に変わるので
$540\div3!=\boldsymbol{90}$
(10) $6$ 個の同じ玉を，A，B，Cさんに分配する話．$3$ 人に分けるためには $3$ つのエリアが必要で，そのために仕切り $2$ 本用意する．
A B C
○ ○ | ○ ○ ○ | ○
$6$ 個の同じ玉と仕切り $2$ 本の同じものを含む順列で表現できるので
$\dfrac{8!}{6!2!}=_{8}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{28}$
(11) 事前にA，B，Cさんに $1$ つずつ玉を配っておく．残った $3$ 個の玉を分配する．
A○ B○ C○
○ | ○ ○ |
$3$ 個の同じ玉と仕切り $2$ 本の同じものを含む順列で表現できるので
$\displaystyle \frac{5!}{3!2!}=_{5}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{10}$
(12) 少ないのですべて書き出します．(8)ですでに場合分けした，$(6,0,0)$，$(5,1,0)$，$(4,2,0)$，$(4,1,1)$，$(3,3,0)$，$(3,2,1)$，$(2,2,2)$ の全 $7$ 組
$\boldsymbol{7}$
(13) 同様に(8)にある中の $(4,1,1)$，$(3,2,1)$，$(2,2,2)$ の全 $3$ 組
$\boldsymbol{3}$
例題の手書きの解答
練習問題
練習
$7$ 個の玉を次のように分ける方法は何通りあるか．
(1) $7$ 個の異なる玉を，Aさんに $4$ 個，Bさんに $2$ 個，Cさんに $1$ 個分ける方法．
(2) $7$ 個の異なる玉を，$4$ 個，$2$ 個，$1$ 個の $3$ 組に分ける方法．
(3) $7$ 個の異なる玉を，Aさんに $3$ 個，Bさんに $2$ 個，Cさんに $2$ 個分ける方法．
(4) $7$ 個の異なる玉を，$3$ 個，$2$ 個，$2$ 個の $3$ 組に分ける方法．
(5) $7$ 個の異なる玉を，$3$ 人に分ける方法．ただし，受け取らない人がいてもよい．
(6) $7$ 個の異なる玉を，$3$ 人に分ける方法．ただし，受け取らない人はいない．
(7) $7$ 個の異なる玉を，$3$ 組に分ける方法．ただし，$0$ 個の組があってもよい．
(8) $7$ 個の異なる玉を，$3$ 組に分ける方法．ただし，$0$ 個の組があってはならない．
(9) $7$ 個の区別がつかない玉を，$3$ 人に分ける方法．ただし，受け取らない人がいてもよい．
(10) $7$ 個の区別がつかない玉を，$3$ 人に分ける方法．ただし，受け取らない人はいない．
(11) $7$ 個の区別がつかない玉を，$3$ 組に分ける方法．ただし，$0$ 個の組があってもよい．
(12) $7$ 個の区別がつかない玉を，$3$ 組に分ける方法．ただし，$0$ 個の組があってはならない．
練習の解答
(1) Aさんから順に4個，2個，1個と配ればいいので
$_{7}{\rm C}_{4}\times$$_{3}{\rm C}_{2}\times$$_{1}{\rm C}_{1}=\boldsymbol{105}$
(2) 組の名前がないが，個数が違うので区別がつく．つまり(1)と同じ．
$_{7}{\rm C}_{4}\times$$_{3}{\rm C}_{2}\times$$_{1}{\rm C}_{1}=\boldsymbol{105}$
(3) Aさんから順に $3$ 個，$2$ 個，$2$ 個と配ればいいので
$_{7}$${\rm C}$$_{3}\times$$_{4}$${\rm C}$$_{2}\times$$_{2}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{210}$
(4) 組に名前がないが $3$ 個の組と $2$ 個の組は個数が違うので区別がつく．$3$ 個，$2$ 個，$2$ 個と順に配っていき，$2$ 個の組 $2$ つは区別がつかないので，$2!$ で割る．
$_{7}$${\rm C}$$_{3}\times$$_{4}$${\rm C}$$_{2}\times$$_{2}$${\rm C}$$_{2}\div2!=\boldsymbol{105}$
(5) $7$ 個の異なる玉 $1$ つ $1$ つにとっては，行き先がA〜Cさんの $3$ 通りあるので
$3^7=\boldsymbol{2187}$
(6) (5)から，$2$ 人占めのケースと $1$ 人占めのケースを引く．$2$ 人占めのケースは，$2$ 人を選んだ後，$7$ 個の異なる玉 $1$ つ$1$ つの選択肢が $2$ 択になるが，$1$ 人占めのケース( $2$ 通り)を除外することに注意．$1$ 人占めのケースは簡単で $3$ 通り．よって答えは
$3^{7}-$$_{3}{\rm C}_{2}(2^7-2)-3$
$=2187-378-3$
$=\boldsymbol{1806}$
(7) あまりパターンが多くない場合は書き出してみます．
組 場合の数
$(7,0,0) \cdots$ $1$
$(6,1,0) \cdots$ $_{7}$${\rm C}$$_{1}=7$
$(5,2,0) \cdots$ $_{7}$${\rm C}$$_{2}=21$
$(5,1,1) \cdots$ $_{7}$${\rm C}$$_{5}\times$$_{2}$${\rm C}$$_{1}\times$$_{1}$${\rm C}$$_{1}\div2!=21$
$(4,3,0) \cdots$ $_{7}$${\rm C}$$_{3}=35$
$(4,2,1) \cdots$ (2) $=105$
$(3,3,1) \cdots$ $_{7}$${\rm C}$$_{3}\times$$_{4}$${\rm C}$$_{3}\times$$_{1}$${\rm C}$$_{1}\div2!=70$
$(3,2,2) \cdots$ (4) $=105$
以上すべて足すと，$\boldsymbol{365}$
(別解) (6)より，$3$ 人占めは $1806$ 通り，$2$ 人占めは $378$ 通り，$1$ 人占めは $3$ 通り．$3$ 人占めと $2$ 人占めのケースは重複が $3!$ 通り．$1$ 人占めのケースは重複が $3$ 通りなので
$1806\div3!+378\div3!+3\div3=\boldsymbol{365}$
(8) $(5,1,1)$，$(4,2,1)$，$(3,3,1)$，$(3,2,2)$ のみなので
$21+105+70+105=\boldsymbol{301}$
(別解) (6)で $3$ 人から $3$ 組に変わるので
$1806\div3!=\boldsymbol{301}$
(9) $7$ 個の同じ玉を，A，B，Cさんに分配する話．$3$ 人に分けるためには $3$ つのエリアが必要で，そのために仕切り $2$ 本用意する．
A B C
○ ○ | ○ ○ ○ | ○ ○
$7$ 個の同じ玉と仕切り $2$ 本の同じものを含む順列で表現できるので
$\displaystyle \frac{9!}{7!2!}=_{9}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{36}$
(10) 事前にA，B，Cさんに $1$ つずつ玉を配っておく．残った $4$ 個の玉を分配する．
A○ B○ C○
○ | ○ ○ | ○
$4$ 個の同じ玉と仕切り $2$ 本の同じものを含む順列で表現できるので
$\displaystyle \frac{6!}{4!2!}=_{6}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{15}$
(11) 少ないのですべて書き出します．(7)ですでに場合分けした，$(7,0,0)$，$(6,1,0)$，$(5,2,0)$，$(5,1,1)$，$(4,3,0)$，$(4,2,1)$，$(3,3,1)$，$(3,2,2)$ の全 $8$ 組
$\boldsymbol{8}$
(12) 同様に(7)にある中の $(5,1,1)$，$(4,2,1)$，$(3,3,1)$，$(3,2,2)$ の全 $4$ 組
$\boldsymbol{4}$