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組分け問題全パターン

タイプ:教科書範囲 レベル:★★★ 



アイキャッチ

数Aの場合の数で,多くの人が勘で解いてしまっている問題が組分け問題です.

すべてのパターンをカテゴリー分けした上で,該当する解法まで紹介し整理しました.





組分け問題のパターン

ポイント

組分け問題のパターン

高校数学における組分け問題は

モノ(配られるもの)が区別できるか否か

組(配属先)が区別できるか否か

組(配属先)のモノの数に指定はあるか,指定がないならば,$0$ 個の組は許されるか

以上のカテゴリーによって以下のように分類されます.

モノの区別 組の区別 組のモノの数 例題とテーマ
する する 指定あり (1),(2),(3),(5):組合せ
する しない 指定あり (4),(5):組合せ÷重複度
する する 指定なし( $0$ 個の組OK) (6):重複順列
する する 指定なし( $0$ 個の組なし) (7):重複順列
する しない 指定なし( $0$ 個の組OK) (8):重複順列÷重複度または書き出し
する しない 指定なし( $0$ 個の組なし) (9):重複順列÷重複度または書き出し
しない する 指定なし( $0$ 個の組OK) (10):重複組合せ(仕切り法)
しない する 指定なし( $0$ 個の組なし) (11):重複組合せ(仕切り法,◯を事前分配)
しない しない 指定なし( $0$ 個の組OK) (12):書き出し
しない しない 指定なし( $0$ 個の組なし) (13):書き出し

上のすべてのカテゴリーの問題を例題で出題します.




例題

例題

6個の玉を次のように分ける方法は何通りあるか.

(1) 6個の異なる玉を,Aさんに3個,Bさんに2個,Cさんに1個分ける方法.

(2) 6個の異なる玉を,3個,2個,1個の3組に分ける方法.

(3) 6個の異なる玉を,Aさんに2個,Bさんに2個,Cさんに2個分ける方法.

(4) 6個の異なる玉を,2個,2個,2個の3組に分ける方法.

(5) 6個の異なる玉を,4個,1個,1個の3組に分ける方法.

(6) 6個の異なる玉を,3人に分ける方法.ただし,受け取らない人がいてもよい.

(7) 6個の異なる玉を,3人に分ける方法.ただし,受け取らない人はいない.

(8) 6個の異なる玉を,3組に分ける方法.ただし,0個の組があってもよい.

(9) 6個の異なる玉を,3組に分ける方法.ただし,0個の組があってはならない.

(10) 6個の区別がつかない玉を,3人に分ける方法.ただし,受け取らない人がいてもよい.

(11) 6個の区別がつかない玉を,3人に分ける方法.ただし,受け取らない人はいない.

(12) 6個の区別がつかない玉を,3組に分ける方法.ただし,0個の組があってもよい.

(13) 6個の区別がつかない玉を,3組に分ける方法.ただし,0個の組があってはならない.


例題の解答

(1) Aさんから順に3個,2個,1個と配ればいいので

 $_{6}$${\rm C}$$_{3}\times$$_{3}$${\rm C}$$_{2}\times$$_{1}$${\rm C}$$_{1}=\boldsymbol{60}$


(2) 組の名前がないが,個数が違うので区別がつく.つまり(1)と同じ.

 $_{6}$${\rm C}$$_{3}\times$$_{3}$${\rm C}$$_{2}\times$$_{1}$${\rm C}$$_{1}=\boldsymbol{60}$


(3) Aさんから順に2個,2個,2個と配ればいいので

 $_{6}$${\rm C}$$_{2}\times$$_{4}$${\rm C}$$_{2}\times$$_{2}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{90}$


(4) 組に名前がない上に,個数が同じなので(3)での組の区別がつかなくなる.(3)の式(値)を $3!$ で割る.

 $_{6}$${\rm C}$$_{2}\times$$_{4}$${\rm C}$$_{2}\times$$_{2}$${\rm C}$$_{2}\div3!=\boldsymbol{15}$


(5) 組に名前がないが $4$ 個の組と $1$ 個の組は個数が違うので区別がつく.$4$ 個,$1$ 個,$1$ 個と順に配っていき,$1$ 個の組2つは区別がつかないので,$2!$ で割る.

 $_{6}$C$_{4}\times$$_{2}$${\rm C}$$_{1}\times$$_{1}$${\rm C}$$_{1}\div2!=\boldsymbol{15}$


(6) $6$ 個の異なる玉1つ1つにとっては,行き先がA〜Cさんの $3$ 通りあるので

 $3^6=\boldsymbol{729}$


(7) (6)から,2人占めのケースと1人占めのケースを引く.2人占めのケースは,2人を選んだ後,$6$ 個の異なる玉1つ1つの選択肢が2択になるが,1人占めのケース( $2$ 通り)を除外することに注意.1人占めのケースは簡単で $3$ 通り.よって答えは

 $3^6-_{3}$${\rm C}$$_{2}(2^6-2)-3$

$=729-186-3$

$=\boldsymbol{540}$


(8) あまりパターンが多くない場合は書き出してみます.

  組  場合の数

 $(6,0,0) \cdots$ $1$

 $(5,1,0) \cdots$ $_{6}$${\rm C}$$_{5}=6$

 $(4,2,0) \cdots$ $_{6}$${\rm C}$$_{4}=15$

 $(4,1,1) \cdots$ (5) $=15$

 $(3,3,0) \cdots$ $_{6}$${\rm C}$$_{3}\div 2!=10$

 $(3,2,1) \cdots$ (2) $=60$

 $(2,2,2) \cdots$ (4) $=15$

以上すべて足すと,$\boldsymbol{122}$

(別解) (7)より,3人占めは $540$ 通り,2人占めは $186$ 通り,1人占めは $3$ 通り.3人占めと2人占めのケースは(8)では重複が $3!$ 通り.1人占めのケースは重複が $3$ 通りなので

 $540\div3!+186\div3!+3\div3=\boldsymbol{122}$


(9) これは(2),(4),(5)のケースしかない.

 $60+15+15=\boldsymbol{90}$

(別解) (7)で3人から3組に変わるので

 $540\div3!=\boldsymbol{90}$


(10) 6個の同じ玉を,A,B,Cさんに分配する話.3人に分けるためには3つのエリアが必要で,そのために仕切り2本用意する.

A     B     C

○ ○ | ○ ○ ○ | ○

6個の同じ玉と仕切り2本の同じものを含む順列で表現できるので

 $\displaystyle \frac{8!}{6!2!}=_{8}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{28}$


(11) 事前にA,B,Cさんに1つずつ玉を配っておく.残った3個の玉を分配する.

 A○    B○    C○

○  |  ○   ○  |  

3個の同じ玉と仕切り2本の同じものを含む順列で表現できるので

 $\displaystyle \frac{5!}{3!2!}=_{5}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{10}$


(12) 少ないのですべて書き出します.(8)ですでに場合分けした,$(6,0,0)$,$(5,1,0)$,$(4,2,0)$,$(4,1,1)$,$(3,3,0)$,$(3,2,1)$,$(2,2,2)$ の全7組

 $\boldsymbol{7}$


(13) 同様に(8)にある中の $(4,1,1)$,$(3,2,1)$,$(2,2,2)$ の全3組

 $\boldsymbol{3}$



例題の手書きの解答

組分け問題全パターン例題解答




練習問題

練習

7個の玉を次のように分ける方法は何通りあるか.

(1) 7個の異なる玉を,Aさんに4個,Bさんに2個,Cさんに1個分ける方法.

(2) 7個の異なる玉を,4個,2個,1個の3組に分ける方法.

(3) 7個の異なる玉を,Aさんに3個,Bさんに2個,Cさんに2個分ける方法.

(4) 7個の異なる玉を,3個,2個,2個の3組に分ける方法.

(5) 7個の異なる玉を,3人に分ける方法.ただし,受け取らない人がいてもよい.

(6) 7個の異なる玉を,3人に分ける方法.ただし,受け取らない人はいない.

(7) 7個の異なる玉を,3組に分ける方法.ただし,0個の組があってもよい.

(8) 7個の異なる玉を,3組に分ける方法.ただし,0個の組があってはならない.

(9) 7個の区別がつかない玉を,3人に分ける方法.ただし,受け取らない人がいてもよい.

(10) 7個の区別がつかない玉を,3人に分ける方法.ただし,受け取らない人はいない.

(11) 7個の区別がつかない玉を,3組に分ける方法.ただし,0個の組があってもよい.

(12) 7個の区別がつかない玉を,3組に分ける方法.ただし,0個の組があってはならない.

練習の解答


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