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組分け問題全パターン

場合の数(教科書範囲) ★★★

アイキャッチ

組分け問題を扱います.

このページではすべてのパターンを扱うので,今までの知識を総整理できます.カテゴリー分けした上で解法を解説します.



組分け問題のパターン

ポイント

組分け問題のパターン

高校数学における組分け問題は

・モノ(配られるもの)が区別できるか否か

・組(配属先)が区別できるか否か

・組(配属先)のモノの数に指定はあるか,指定がないならば,$0$ 個の組は許されるか

以上のカテゴリーによって以下のように分類されます.

モノの区別 組の区別 組のモノの数 例題とテーマ
する する 指定あり (1),(2),(3),(5):組合せ
する しない 指定あり (4),(5):組合せ÷重複度
する する 指定なし( $0$ 個の組OK) (6):重複順列
する する 指定なし( $0$ 個の組なし) (7):重複順列
する しない 指定なし( $0$ 個の組OK) (8):重複順列÷重複度または書き出し
する しない 指定なし( $0$ 個の組なし) (9):重複順列÷重複度または書き出し
しない する 指定なし( $0$ 個の組OK) (10):重複組合せ
しない する 指定なし( $0$ 個の組なし) (11):重複組合せ(◯を事前分配)
しない しない 指定なし( $0$ 個の組OK) (12):書き出し
しない しない 指定なし( $0$ 個の組なし) (13):書き出し

上のすべてのカテゴリーの問題を例題で出題します.

例題と練習問題

例題

例題

$6$ 個の玉を次のように分ける方法は何通りあるか.

(1) $6$ 個の異なる玉を,Aさんに $3$ 個,Bさんに $2$ 個,Cさんに $1$ 個分ける方法.

(2) $6$ 個の異なる玉を,$3$ 個,$2$ 個,$1$ 個の $3$ 組に分ける方法.

(3) $6$ 個の異なる玉を,Aさんに $2$ 個,Bさんに $2$ 個,Cさんに $2$ 個分ける方法.

(4) $6$ 個の異なる玉を,$2$ 個,$2$ 個,$2$ 個の $3$ 組に分ける方法.

(5) $6$ 個の異なる玉を,$4$ 個,$1$ 個,$1$ 個の $3$ 組に分ける方法.

(6) $6$ 個の異なる玉を,$3$ 人に分ける方法.ただし,受け取らない人がいてもよい.

(7) $6$ 個の異なる玉を,$3$ 人に分ける方法.ただし,受け取らない人はいない.

(8) $6$ 個の異なる玉を,$3$ 組に分ける方法.ただし,$0$ 個の組があってもよい.

(9) $6$ 個の異なる玉を,$3$ 組に分ける方法.ただし,$0$ 個の組があってはならない.

(10) $6$ 個の区別がつかない玉を,$3$ 人に分ける方法.ただし,受け取らない人がいてもよい.

(11) $6$ 個の区別がつかない玉を,$3$ 人に分ける方法.ただし,受け取らない人はいない.

(12) $6$ 個の区別がつかない玉を,$3$ 組に分ける方法.ただし,$0$ 個の組があってもよい.

(13) $6$ 個の区別がつかない玉を,$3$ 組に分ける方法.ただし,$0$ 個の組があってはならない.


例題の解答

(1) Aさんから順に $3$ 個,$2$ 個,$1$ 個と配ればいいので

 $_{6}{\rm C}_{3}\times$$_{3}{\rm C}_{2}\times$$_{1}{\rm C}_{1}=\boldsymbol{60}$


(2) 組の名前がないが,個数が違うので区別がつく.つまり(1)と同じ.

 $_{6}{\rm C}_{3}\times$$_{3}{\rm C}_{2}\times$$_{1}{\rm C}_{1}=\boldsymbol{60}$


(3) Aさんから順に $2$ 個,$2$ 個,$2$ 個と配ればいいので

 $_{6}{\rm C}_{2}\times$$_{4}{\rm C}_{2}\times$$_{2}{\rm C}_{2}=\boldsymbol{90}$


(4) 組に名前がない上に,個数が同じなので(3)での組の区別がつかなくなる.(3)の式(値)を $3!$ で割る.

 $_{6}{\rm C}_{2}\times$$_{4}{\rm C}_{2}\times$$_{2}{\rm C}_{2}\div3!=\boldsymbol{15}$


(5) 組に名前がないが $4$ 個の組と $1$ 個の組は個数が違うので区別がつく.$4$ 個,$1$ 個,$1$ 個と順に配っていき,$1$ 個の組 $2$ つは区別がつかないので,$2!$ で割る.

 $_{6}{\rm C}_{4}\times$$_{2}{\rm C}_{1}\times$$_{1}{\rm C}_{1}\div2!=\boldsymbol{15}$


(6) $6$ 個の異なる玉 $1$ つ $1$ つにとっては,行き先がA〜Cさんの $3$ 通りあるので

 $3^6=\boldsymbol{729}$


(7) (6)から,$2$ 人占めのケースと $1$ 人占めのケースを引く.$2$ 人占めのケースは,$2$ 人を選んだ後,$6$ 個の異なる玉1つ1つの選択肢が2択になるが,$1$ 人占めのケース( $2$ 通り)を除外することに注意.$1$ 人占めのケースは簡単で $3$ 通り.よって答えは

 $3^{6}-$$_{3}{\rm C}_{2}(2^6-2)-3$

$=729-186-3$

$=\boldsymbol{540}$


(8) あまりパターンが多くない場合は書き出してみます.

  組  場合の数

 $(6,0,0) \cdots$ $1$

 $(5,1,0) \cdots$ $_{6}$${\rm C}$$_{5}=6$

 $(4,2,0) \cdots$ $_{6}$${\rm C}$$_{4}=15$

 $(4,1,1) \cdots$ (5) $=15$

 $(3,3,0) \cdots$ $_{6}$${\rm C}$$_{3}\div 2!=10$

 $(3,2,1) \cdots$ (2) $=60$

 $(2,2,2) \cdots$ (4) $=15$

以上すべて足すと,$\boldsymbol{122}$

(別解) (7)より,$3$ 人占めは $540$ 通り,$2$ 人占めは $186$ 通り,$1$ 人占めは $3$ 通り.$3$ 人占めと $2$ 人占めのケースは(8)では重複が $3!$ 通り.$1$ 人占めのケースは重複が $3$ 通りなので

 $540\div3!+186\div3!+3\div3=\boldsymbol{122}$


(9) これは(2),(4),(5)のケースしかない.

 $60+15+15=\boldsymbol{90}$

(別解) (7)で $3$ 人から $3$ 組に変わるので

 $540\div3!=\boldsymbol{90}$


(10) $6$ 個の同じ玉を,A,B,Cさんに分配する話.$3$ 人に分けるためには $3$ つのエリアが必要で,そのために仕切り $2$ 本用意する.

A     B     C

○ ○ | ○ ○ ○ | ○

$6$ 個の同じ玉と仕切り $2$ 本の同じものを含む順列で表現できるので

 $\dfrac{8!}{6!2!}=_{8}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{28}$


(11) 事前にA,B,Cさんに $1$ つずつ玉を配っておく.残った $3$ 個の玉を分配する.

 A○   B○   C○

○ | ○ ○ | 

$3$ 個の同じ玉と仕切り $2$ 本の同じものを含む順列で表現できるので

 $\displaystyle \frac{5!}{3!2!}=_{5}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{10}$


(12) 少ないのですべて書き出します.(8)ですでに場合分けした,$(6,0,0)$,$(5,1,0)$,$(4,2,0)$,$(4,1,1)$,$(3,3,0)$,$(3,2,1)$,$(2,2,2)$ の全 $7$ 組

 $\boldsymbol{7}$


(13) 同様に(8)にある中の $(4,1,1)$,$(3,2,1)$,$(2,2,2)$ の全 $3$ 組

 $\boldsymbol{3}$

例題の手書きの解答

組分け問題全パターン例題解答

練習問題

練習

$7$ 個の玉を次のように分ける方法は何通りあるか.

(1) $7$ 個の異なる玉を,Aさんに $4$ 個,Bさんに $2$ 個,Cさんに $1$ 個分ける方法.

(2) $7$ 個の異なる玉を,$4$ 個,$2$ 個,$1$ 個の $3$ 組に分ける方法.

(3) $7$ 個の異なる玉を,Aさんに $3$ 個,Bさんに $2$ 個,Cさんに $2$ 個分ける方法.

(4) $7$ 個の異なる玉を,$3$ 個,$2$ 個,$2$ 個の $3$ 組に分ける方法.

(5) $7$ 個の異なる玉を,$3$ 人に分ける方法.ただし,受け取らない人がいてもよい.

(6) $7$ 個の異なる玉を,$3$ 人に分ける方法.ただし,受け取らない人はいない.

(7) $7$ 個の異なる玉を,$3$ 組に分ける方法.ただし,$0$ 個の組があってもよい.

(8) $7$ 個の異なる玉を,$3$ 組に分ける方法.ただし,$0$ 個の組があってはならない.

(9) $7$ 個の区別がつかない玉を,$3$ 人に分ける方法.ただし,受け取らない人がいてもよい.

(10) $7$ 個の区別がつかない玉を,$3$ 人に分ける方法.ただし,受け取らない人はいない.

(11) $7$ 個の区別がつかない玉を,$3$ 組に分ける方法.ただし,$0$ 個の組があってもよい.

(12) $7$ 個の区別がつかない玉を,$3$ 組に分ける方法.ただし,$0$ 個の組があってはならない.

練習の解答

(1) Aさんから順に4個,2個,1個と配ればいいので

 $_{7}{\rm C}_{4}\times$$_{3}{\rm C}_{2}\times$$_{1}{\rm C}_{1}=\boldsymbol{105}$


(2) 組の名前がないが,個数が違うので区別がつく.つまり(1)と同じ.

 $_{7}{\rm C}_{4}\times$$_{3}{\rm C}_{2}\times$$_{1}{\rm C}_{1}=\boldsymbol{105}$


(3) Aさんから順に $3$ 個,$2$ 個,$2$ 個と配ればいいので

 $_{7}$${\rm C}$$_{3}\times$$_{4}$${\rm C}$$_{2}\times$$_{2}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{210}$


(4) 組に名前がないが $3$ 個の組と $2$ 個の組は個数が違うので区別がつく.$3$ 個,$2$ 個,$2$ 個と順に配っていき,$2$ 個の組 $2$ つは区別がつかないので,$2!$ で割る.

 $_{7}$${\rm C}$$_{3}\times$$_{4}$${\rm C}$$_{2}\times$$_{2}$${\rm C}$$_{2}\div2!=\boldsymbol{105}$


(5) $7$ 個の異なる玉 $1$ つ $1$ つにとっては,行き先がA〜Cさんの $3$ 通りあるので

 $3^7=\boldsymbol{2187}$


(6) (5)から,$2$ 人占めのケースと $1$ 人占めのケースを引く.$2$ 人占めのケースは,$2$ 人を選んだ後,$7$ 個の異なる玉 $1$ つ$1$ つの選択肢が $2$ 択になるが,$1$ 人占めのケース( $2$ 通り)を除外することに注意.$1$ 人占めのケースは簡単で $3$ 通り.よって答えは

 $3^{7}-$$_{3}{\rm C}_{2}(2^7-2)-3$

$=2187-378-3$

$=\boldsymbol{1806}$


(7) あまりパターンが多くない場合は書き出してみます.

  組  場合の数

 $(7,0,0) \cdots$ $1$

 $(6,1,0) \cdots$ $_{7}$${\rm C}$$_{1}=7$

 $(5,2,0) \cdots$ $_{7}$${\rm C}$$_{2}=21$

 $(5,1,1) \cdots$ $_{7}$${\rm C}$$_{5}\times$$_{2}$${\rm C}$$_{1}\times$$_{1}$${\rm C}$$_{1}\div2!=21$

 $(4,3,0) \cdots$ $_{7}$${\rm C}$$_{3}=35$

 $(4,2,1) \cdots$ (2) $=105$

 $(3,3,1) \cdots$ $_{7}$${\rm C}$$_{3}\times$$_{4}$${\rm C}$$_{3}\times$$_{1}$${\rm C}$$_{1}\div2!=70$

 $(3,2,2) \cdots$ (4) $=105$

以上すべて足すと,$\boldsymbol{365}$

(別解) (6)より,$3$ 人占めは $1806$ 通り,$2$ 人占めは $378$ 通り,$1$ 人占めは $3$ 通り.$3$ 人占めと $2$ 人占めのケースは重複が $3!$ 通り.$1$ 人占めのケースは重複が $3$ 通りなので

 $1806\div3!+378\div3!+3\div3=\boldsymbol{365}$


(8) $(5,1,1)$,$(4,2,1)$,$(3,3,1)$,$(3,2,2)$ のみなので

 $21+105+70+105=\boldsymbol{301}$

(別解) (6)で $3$ 人から $3$ 組に変わるので

 $1806\div3!=\boldsymbol{301}$


(9) $7$ 個の同じ玉を,A,B,Cさんに分配する話.$3$ 人に分けるためには $3$ つのエリアが必要で,そのために仕切り $2$ 本用意する.

A     B     C

○ ○ | ○ ○ ○ | ○ ○

$7$ 個の同じ玉と仕切り $2$ 本の同じものを含む順列で表現できるので

 $\displaystyle \frac{9!}{7!2!}=_{9}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{36}$


(10) 事前にA,B,Cさんに $1$ つずつ玉を配っておく.残った $4$ 個の玉を分配する.

 A○   B○   C○

○ | ○  ○ | ○

$4$ 個の同じ玉と仕切り $2$ 本の同じものを含む順列で表現できるので

 $\displaystyle \frac{6!}{4!2!}=_{6}$${\rm C}$$_{2}=\boldsymbol{15}$


(11) 少ないのですべて書き出します.(7)ですでに場合分けした,$(7,0,0)$,$(6,1,0)$,$(5,2,0)$,$(5,1,1)$,$(4,3,0)$,$(4,2,1)$,$(3,3,1)$,$(3,2,2)$ の全 $8$ 組

 $\boldsymbol{8}$


(12) 同様に(7)にある中の $(5,1,1)$,$(4,2,1)$,$(3,3,1)$,$(3,2,2)$ の全 $4$ 組

 $\boldsymbol{4}$