組立除法
複素数と方程式(入試の標準) ★★
整式の割り算で,1次式で割るときに,素速く計算できる組立除法を扱います.
知らなくても大学入試を乗り切れますが,知っていた方が何かと楽です.
組立除法とその手順
例として 3次式を取り上げます.$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ を $x-\alpha$ で割るとき,商を $sx^{2}+tx+u$,余りを $r$ とすると
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(x-\alpha)(sx^{2}+tx+u)+r$
となる.右辺を展開すると
$sx^{3}+(t-\alpha s)x^{2}+(u-\alpha t)x+r-\alpha u$
となるので,左辺と係数比較すると
$\begin{cases}a=s \\ b=t-\alpha s \\ c=u-\alpha t \\ d=r-\alpha u \end{cases}$
目的は $s$,$t$,$u$,$r$ を出すことなので,これについて解くと
$\begin{cases}s=a \\ t=b+\alpha s \\ u=c+\alpha t \\ r=d+\alpha u \end{cases}$
右の式を機械的に算出するために,以下に組立除法の手順を記載します.
組立除法の手順
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ を $x-\alpha$ で割るとき,商を $sx^{2}+tx+u$,余りを $r$ とする.
STEP1:3次式の係数だけ書く.横線を引いて,$\alpha$ をメモしておく.
STEP2:$a$ はそのまま下におろし,$\alpha$ をかけて右上に書きます.その後 $b$ とそれを足したものを下に書きます.以後,これを繰り返します.
STEP3:下に書いてある数字が商の係数です.1番右の数字が余りです.
4次式以上でも全く同様の手続きになります.
例題と練習問題
例題
例題
次の左の式を右の式で割った商と余りを求めよ.
(1) $x^{3}+4x^{2}-7x-9$ $x-2$
(2) $2x^{4}+3x^{3}+2x^{2}-1$ $x+1$
講義
普通の整式の割り算を実行してもいいですが,組立除法が楽です.
組立除法を実行して求めてみます.
解答
(1)
商は $\boldsymbol{x^{2}+6x+5}$,余りは $\boldsymbol{1}$
(2)
商は $\boldsymbol{2x^{3}+x^{2}+x-1}$,余りは $\boldsymbol{0}$
練習問題
練習
次の式を因数分解せよ.
(1) $x^{4}-x^{3}-2x^{2}+6x-4$
(2) $x^{5}-2x^{4}-9x^{3}+22x^{2}+4x-24$
練習の解答
闇雲に因数を探すのではなく,因数の見つけ方を参考に因数を見つけます.
(1)
$x^{4}-x^{3}-2x^{2}+6x-4$
$=(x-1)(x^{3}-2x+4)$
$=\boldsymbol{(x-1)(x+2)(x^{2}-2x+2)}$
(2)
$x^{5}-2x^{4}-9x^{3}+22x^{2}+4x-24$
$=(x+1)(x^{4}-3x^{3}-6x^{2}+28x-24)$
$=(x+1)(x-2)(x^{3}-x^{2}-8x+12)$
$=(x+1)(x-2)^{2}(x^{2}+x-6)$
$=\boldsymbol{(x+1)(x-2)^{3}(x+3)}$